ব্যাপ্ত পরিমাণের সমস্যাটি সেগমেন্ট ট্রি বাস্তবায়নের জন্য সময় জটিলতার প্রমাণ

Question

আমি বুঝতে পারি যে বিভাগের গাছগুলি এর উপ অ্যারের যোগফল খুঁজে পেতে ব্যবহার করা যেতে পারে । এবং এটি এখানে টিউটোরিয়াল অনুযায়ী সময়ে করতে পারে ।$A$$\mathcal{O}(\log n)$

তবে আমি প্রমাণ করতে পারছি না যে অনুসন্ধানের সময়টি সত্যই । এই লিঙ্কটি (এবং আরও অনেকে) বলেছেন যে আমরা প্রমাণ করতে পারি যে প্রতিটি স্তরে, প্রক্রিয়া করা নোডের সর্বাধিক সংখ্যা এবং তাই ।$\mathcal{O}(\log n)$$4$$\mathcal{O}(4 \log n) = \mathcal{O}(\log n)$

তবে কীভাবে আমরা এটি প্রমাণ করব, সম্ভবত দ্বন্দ্বের দ্বারা?

এবং যদি তাই হয়, আমরা যদি উচ্চ মাত্রিক অ্যারেগুলির বিস্তৃত পরিমাণের জন্য সেগমেন্ট গাছগুলি ব্যবহার করি, তবে কীভাবে প্রমাণটি প্রসারিত হবে?

উদাহরণস্বরূপ, আমি মূল ম্যাট্রিক্সকে 4 কোয়াড্র্যান্টে (লিনিয়ার অ্যারে অর্ধ বিভাজনের অনুরূপ) বিভাজক করে একটি চতুর্ভুজ বিভাগের বৃক্ষ তৈরি করে একটি সাব ম্যাট্রিক্স যোগফল সন্ধান করার কথা ভাবতে পারি তবে প্রমাণটি আমাকে বাদ দেয়।

Comments

সেগমেন্ট গাছের বিল্ডিং হ'ল ও (এন), অনুসন্ধান করা ও (লগ এন) এবং আপডেট হ'ল ও (লগ এন)। যোগফল অ্যারের ওপরে এর সুবিধাটি এর আপডেট জটিলতা।

— নুরলান

Answer 1

দাবিটি রয়েছে যে সর্বাধিক রয়েছে $2$নোড যা প্রতিটি স্তরে প্রসারিত। আমরা এটি দ্বন্দ্বের মাধ্যমে প্রমাণ করব।

নীচে দেওয়া সেগমেন্ট গাছটি বিবেচনা করুন।

যাক যে আছে আছে $3$এই গাছে প্রসারিত নোড। এর অর্থ হ'ল পরিসরটি বাম রঙের নোড থেকে ডান সর্বাধিক বর্ণের নোডের মধ্যে। তবে লক্ষ্য করুন যে যদি পরিসীমাটি ডানদিকের সবচেয়ে নোড পর্যন্ত প্রসারিত হয় তবে মধ্য নোডের পুরো পরিসরটি coveredেকে দেওয়া হবে। সুতরাং, এই নোডটি অবিলম্বে মানটি ফিরিয়ে দেবে এবং প্রসারিত হবে না। সুতরাং, আমরা প্রমাণ করি যে প্রতিটি স্তরে, আমরা সর্বাধিক প্রসারিত করি$2$ নোড এবং যেহেতু আছে $\log{n}$ স্তরগুলি, নোডগুলি প্রসারিত হয় $\boxed{2 \cdot \log{n} = \Theta\left( {\log{n}} \right)}$