হ্যালটিং সমস্যার অনিশ্চয়তার প্রমাণ কি বিপরীত ফলাফলের দ্বারা প্রতারণা করে?

12

টুরিংয়ের থামার সমস্যাটি বুঝতে আমার সমস্যা হয়।

তার প্রমাণটি ধরে নিয়েছে যে একটি জাদুকরী মেশিন যা কোনও কম্পিউটার প্রদত্ত ইনপুটটির জন্য চিরতরে থামবে বা লুপ করবে কিনা তা নির্ধারণ করতে পারে। তারপরে আমরা অন্য একটি মেশিন সংযুক্ত করি যা আউটপুটকে উল্টে দেয় এবং আমাদের একটি বৈপরীত্য হয় এবং তাই অস্তিত্ব থাকতে পারে না। $H$ $H$

আমার উদ্বেগটি হ'ল মনে হচ্ছে যেন আমরা কোনও উত্তর বলছি কারণ এটির বিপরীত হয়েছে vers সাদৃশ্য হিসাবে, যদি নামক কোনও মেশিন থাকে যা নির্দিষ্ট ইনপুটগুলির জন্য সঠিক উত্তর এবং অন্যদের উপর একটি ভুল উত্তর দেয়। তারপর আমরা অন্য একটি মেশিনে যে ফল reverses সংযুক্ত যাতে সমন্বয় দুই মেশিন কিভাবে সঙ্গে একটি অসঙ্গতি আছে সংজ্ঞায়িত করা হয়। দুই মেশিন এখন ইনপুট যে জন্য ভুল উত্তরের উৎপন্ন আউটপুট সঠিক উত্তর সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং ইনপুট যে জন্য সঠিক উত্তরের আউটপুট হয় আউটপুট ভুল উত্তরের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়। এটিকে কি বৈপরীত্য বলা হবে এবং সুতরাং এমন কোনও মেশিনের অস্তিত্ব নেই যা কিছু ইনপুটগুলির সঠিক উত্তর এবং অন্যের উপর ভুল উত্তর দেয়? $A$ $A$ $A$ $A$ $A$

computability halting-problem

— user27819
সূত্র

20

সংক্ষিপ্ত সংস্করণ: মেশিনগুলির আউটপুটগুলি সঠিক বা ভুল নয়, সেগুলি কেবলমাত্র বিপরীত, যা প্রমাণ করে যে প্রাথমিক মেশিনটি সিদ্ধান্ত দেয় যে ইনপুট মেশিন প্রদত্ত স্ট্রিংয়ে থামবে কি না তা বিদ্যমান থাকতে পারে না।

দীর্ঘ সংস্করণ : প্রথমে আমরা প্রমাণটি স্কেচ করব (বা এর কমপক্ষে একটি সংস্করণ - অনেকগুলি রয়েছে)।

ধরে নিন যে আমাদের কাছে একটি ট্যুরিং মেশিন রয়েছে যা সিদ্ধান্ত নেয় যে টুরিং মেশিন ইনপুট থামবে কিনা । $\mathrm{HALT}(\langle M\rangle, x)$ $M$ $x$
ব্যবহার আমরা একটি মেশিন গঠন করা যা ব্যবহার কি না চেক করতে উপর স্থগিত বা না হয়, তাহলে বিপরীত, অর্থাৎ হলে উপর স্থগিত , লুপ, যদি উপর বন্ধ না , বন্ধ হয়ে যাবে। $\mathrm{HALT}$ $\mathrm{FLIP}(\langle M\rangle, x)$ $HALT$ $M$ $x$ $M$ $x$ $\mathrm{FLIP}$ $M$ $x$ $\mathrm{FLIP}$
অবশেষে আমরা একটি টি এম তৈরি (আমি আউট ভাল নামের দৌড়ে), যা একটি টি এম এবং রানের বিবরণ লাগে ইনপুট দিয়ে , whatever আউটপুট যাই হোক না কেন আউটপুট। $\mathrm{C}(\langle M \rangle)$ $\mathrm{FLIP}$ $(\langle M \rangle, \langle M \rangle)$ $\mathrm{FLIP}$

এটি লক্ষ করা গুরুত্বপূর্ণ যে যতক্ষণ না সিদ্ধান্তক বিদ্যমান থাকে ততক্ষণ এই প্রতিটি পদক্ষেপ কার্যকর করা সহজ; শুধু ব্যবহার করতে হয়েছে কি করতে হবে তা চেক করতে, এবং ঠিক এর ইনপুট সদৃশ পাস করার । $\mathrm{HALT}$ $\mathrm{FLIP}$ $\mathrm{HALT}$ $\mathrm{C}$ $\mathrm{FLIP}$

আমরা যখন চালাই তখন কী ঘটে তা যখন দেখি তখন এই দ্বন্দ্ব দেখা দেয় । হয় যখন ইনপুট হিসাবে দেওয়া হয় বা না দেওয়া হয় তখন থামে। this এটি সিদ্ধান্ত নেবে: $\mathrm{C}(\langle\mathrm{C}\rangle)$ $\mathrm{C}$ $\mathrm{HALT}$

তাহলে ইনপুটের স্থগিত , বলবে , কিন্তু তারপর ইচ্ছা লুপ, তাই ইচ্ছা লুপ , contradicting । $\mathrm{C}$ $\langle\mathrm{C}\rangle$ $\mathrm{HALT}$ $\mathsf{Yes}$ $\mathrm{FLIP}$ $\mathrm{C}$ $\mathrm{HALT}$
তাহলে ইনপুটের loops , বলবে , কিন্তু তারপর থেমে যাবে, তাই এছাড়াও করবে স্থগিত, contradicting । $\mathrm{C}$ $\langle\mathrm{C}\rangle$ $\mathrm{HALT}$ $\mathsf{No}$ $\mathrm{FLIP}$ $\mathrm{C}$ $\mathrm{HALT}$

যেহেতু নির্মাণের প্রতিটি পদক্ষেপ স্পষ্টরূপে দুর্দান্ত, আমরা কেবলমাত্র এই সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারি যে exist থাকতে পারে না; আমরা একটি কেস তৈরি করেছি যেখানে তা যাই না কেন, output গাণিতিক। হাল্ট what কী আউটপুট দেবে তা সিদ্ধান্ত নিতে পারছে না, সমস্যাটি অনস্বীকার্য। কিছুটা হলেও সত্যই হাতুড়ি , exist অস্তিত্ব রাখতে পারে না - এটি এমন কোনও টিএম হতে পারে না যা হ্যালটিং সমস্যাটি স্থির করে - কারণ সেখানে কমপক্ষে একটি ক্ষেত্রে রয়েছে যেখানে আমরা স্পষ্টভাবে নির্মাণ করেছি যেখানে নেই is যৌক্তিকভাবে সম্ভব উত্তর। মনে রাখবেন কোনও সিদ্ধান্ত গ্রহণকারীকে ভুল উত্তর আউটপুট দেওয়ার অনুমতি দেওয়া হয় না এবং কোনও কিছু আউটপুট করতে হয়, তবে আমরা যে ক্ষেত্রে নির্মাণ করেছি, উভয়ই সম্ভব উত্তর ভুল। $\mathrm{HALT}$ $\mathrm{HALT}$ $\mathrm{HALT}$

— লুক ম্যাথিসন
সূত্র

মেশিন এর আপনার সংজ্ঞাটি বোঝায় না কারণ এটি গ্রহণ করে এমন কোনও ইনপুট গ্রহণ করে না । তাহলে এটি কীভাবে চলতে পারে?

C

$C$

M

$M$

— আলেকসান্দ্র

7

আপনি "দ্বন্দ্ব" এর দুটি পৃথক অর্থ আলোচনা করছেন।

আপনার উপমা অনুসারে, যন্ত্র A এবং এর উল্টানো পরিবর্তন একে অপরের সাথে কেবলমাত্র এই অর্থে বিরোধিতা করে যে তাদের ফলাফলগুলি সর্বদা আলাদা। (উদাহরণস্বরূপ, তারা পূর্ণসংখ্যার উপর দুটি পরীক্ষা ফাংশন প্রয়োগ করতে পারে, " x ≤ 5?" এবং " x > 5?") এটি অবশ্যই একটি বিষয় যা "বিপরীতে" দৈনন্দিন ব্যবহারের অর্থ হতে পারে, তবে এটি যৌক্তিকতার দ্বারা বোঝানো কী নয় প্রমাণাদি।

যৌক্তিক প্রমাণগুলিতে এর অর্থ শক্তিশালী কিছু: এমন কিছু যা কেবল অসম্ভব। যেমন একটি ফাংশন যা 5 এরও বেশি ইনপুটগুলিতে "সত্য" দেয় এবং 10 এর চেয়ে কম ইনপুটগুলিতে "মিথ্যা" - এটি দৃ stronger় অর্থে বিরোধী কারণ কারণ, 7 বলার জন্য, এর আউটপুট উভয়ই "সত্য" হতে হবে এবং "মিথ্যা", কিন্তু সেগুলি এক নয়। টিউরিংয়ের যুক্তি দেখায় যে থামানো প্রোগ্রামটি দৃ stronger় অর্থে বিরোধী: এটি ধরে নেওয়া অসম্ভব বা ইতিমধ্যে মিথ্যা হিসাবে পরিচিত এমন কিছু দিকে নিয়ে যায়।

— পিটার লেফানু লামসডাইন
সূত্র

2

এখানে আরও একটি প্রমাণ রয়েছে যে থামার সমস্যাটি অনস্বীকার্য। আমরা বলি যে কোনও প্রোগ্রাম একটি স্ট্রিং আউটপুট করে যদি এটি বন্ধ হয়ে যায় এবং আউটপুট হয় । (যদি প্রোগ্রাম কখনোই স্থগিত, তাহলে এটি না আউটপুট কোন স্ট্রিং আছে।) নির্ধারণ করুন দীর্ঘতম স্ট্রিংটি সর্বাধিক দৈর্ঘ্য একটি সি প্রোগ্রাম দ্বারা আউটপুট দৈর্ঘ্য হতে । $x$ $x$ $f(n)$ $n$

মনে করুন যে থামার সমস্যাটি সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য ছিল। তারপরে একটি সি প্রোগ্রাম দ্বারা গণনা করা যায়: $f(m)$

ইনপুট , বেশিরভাগ দৈর্ঘ্যের সমস্ত থামানো সি প্রোগ্রামের উপর দিয়ে চালান , এবং তাদের আউটপুট নির্ধারণ করুন; সর্বাধিক আউটপুট দৈর্ঘ্য প্রদান। $m$ $m$

এর অর্থ হ'ল প্রতিটি জন্য আমরা একটি প্রোগ্রাম লিখতে যা আউটপুট করে । দৈর্ঘ্য ? একটি স্থির সি প্রোগ্রামের টেম্পলেট রয়েছে, একটি স্থানধারক সহ, যা প্রয়োগ ; স্থানধারক ধ্রুবক । দ্বারা ভরাট করা উচিত । নির্দিষ্ট করা নেয়অক্ষর (এখানে এর দশমিক প্রতিনিধিত্বের দৈর্ঘ্য হল , যেখানে) । টেমপ্লেট কিছু নির্দিষ্ট সংখ্যা লাগে অক্ষরের, এবং তাই দৈর্ঘ্য হয় । আমরা যদি চয়ন $m$ $P_m$ $f(m)+1$ $P_m$ $P_m$ $m$ $m$ $|m|$ $|m|$ $m$ $|m| \approx \log_{10} m$ $T$ $P_m$ $T + \log_{10} m$ $m$ যথেষ্ট পরিমাণে বড় ( করবে), আমাদের এবং তাই কমপক্ষে স্ট্রিং আউটপুটটির দ্বারা , যেমন, । আমরা একটি দ্বন্দ্ব পৌঁছেছে। $m=2T$ $T + \log_{10} m \leq m$ $f(m)$ $P_m$ $f(m) \geq f(m) + 1$

— যুবাল ফিল্ম
সূত্র