এক্সওর-রিলেশনশিপগুলির সাথে 2-স্যাট কি এনপি-সম্পূর্ণ?

Question

আমি ভাবছি "XOR- সম্পর্কের সাথে 2-স্যাট" এর জন্য একটি বহুপদী আলগোরিদম আছে কিনা। 2-স্যাট এবং এক্সওআর-স্যাট উভয়ই পি-তে রয়েছে তবে এর সংমিশ্রণটি কি?

উদাহরণ ইনপুট:

• 2-স্যাট অংশ: (a or !b) and (b or c) and (b or d)

• এক্সওর অংশ: (a xor b xor c xor 1) and (b xor c xor d)

অন্য কথায়, ইনপুটটি নিম্নলিখিত বুলিয়ান সূত্র:

$$(a \lor \neg b) \land (b \lor c) \land (b \lor d) \land (a \oplus b \oplus \neg c) \land (b \oplus c \oplus d).$$

উদাহরণ আউটপুট: সন্তুষ্টিযোগ্য: a = 1, খ = 1, সি = 0, ডি = 0।

2-স্যাট অনুচ্ছেদের সংখ্যা এবং ইনপুটটিতে এক্সওআর ক্লজের সংখ্যা উভয়ই হ'ল , যেখানে বুলিয়ান ভেরিয়েবলের সংখ্যা।$O(n)$$n$

Comments

এই সমস্যাটি মোটামুটি কাছাকাছি, একটি লক্ষ্য ভেক্টরের সমান করতে ভেক্টরগুলির বিটওয়াইজ জোর, সিটিওরি.এস

— ভিজেএন

Answer 1

এক্সওর-সম্পর্কের সাথে 2-স্যাট-কে 3-স্যাট থেকে হ্রাস করে এনপি-সম্পূর্ণ প্রমাণিত করা যায়। যে কোনও 3-স্যাট ধারা or লোর এক্সওর-সম্পর্ক এক্সপ্রেশন মধ্যে পুনঃলিখন করা যেতে পারে সঙ্গে এবং নতুন ভেরিয়েবলের হিসাবে।

$$(x_1 \lor x_2 \lor x_3)$$ $$(x_1 \lor \overline{y}) \land (y \oplus x_2 \oplus z) \land (\overline{z} \lor x_3)$$ $y$$z$

Comments

সমস্ত উত্তর সঠিক বা সহায়তা করা বলে মনে হচ্ছে, তবে আমি এটিকে সবচেয়ে মার্জিত (ইমো) পেয়েছি।

— অ্যালবার্ট হেন্ডরিক্স

চমৎকার উত্তর. এটি উল্লেখযোগ্য যে এখানে নিখুঁত সামঞ্জস্যতা যথেষ্ট হবে না (যেহেতু একটি সন্তুষ্টিযোগ্য সিএনএফের সমস্ত ধারাগুলির সাথে সম্পর্কিত অভিব্যক্তির সন্তোষজনক কার্যভারগুলি মেলে না) তবে আপনার পুনর্লিখনের এক্সপ্রেশনটি প্রতিটি সন্তোষজনক কার্যভারের জন্য যথাযথভাবে সন্তোষজনক অ্যাসাইনমেন্ট রয়েছে মূল ধারা।

— ক্লাউস ড্রায়ার

Answer 2

আপনি আপনার এক্সওআর সম্পর্কের আধ্যাত্মিকতা নির্দিষ্ট করেন নি, তবে সাধারণ SAT-to-3SAT হ্রাসের মতো, আপনি সর্বদা এটির ব্যবস্থা করতে পারেন যে তাদের আধ্যাত্মিকতা সর্বাধিক ৩ be হওয়া উচিত Now এখন আপনি শেফারের দ্বৈতত্ত্বের উপপাদ্য প্রয়োগ করার জন্য দুর্দান্ত অবস্থানে রয়েছেন যা ফলস্বরূপ হবে আপনাকে বলুন যে আপনার সমস্যা পি বা এনপি-সম্পূর্ণ (এটি কেবলমাত্র দুটি বিকল্প) in এটি পি তে পরিণত হলে, পরবর্তী পদক্ষেপটি অ্যালেঞ্জার এট আল এর দিকে তাকানো হতে পারে । , যা আপনাকে জানাবে যে আপনার সমস্যাটি কতটা সহজ।

Comments

এটি শর্তটি বিবেচনা করে না যে সীমাবদ্ধতা রয়েছে তবে শর্তটি সন্তুষ্ট কিনা তা নিশ্চিত করতে আপনি সর্বদা ডামি ভেরিয়েবল যুক্ত করতে পারেন। $O(n)$

— ইয়ুভাল ফিল্মাস

Answer 3

শেফারের দ্বৈতত্ত্বের উপপাদ্য দ্বারা এটি এনপি-সম্পূর্ণ।

সমস্ত দফার মধ্যে 2 বা 3 আক্ষরিক রয়েছে সেই ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন; তারপর আমরা একটি সেট উপর একটি বাধ্যতা সন্তুষ্টি সমস্যা হিসেবে এই বিবেচনা করতে পারেন arity 3. সম্পর্ক বিশেষ করে এর সম্পর্ক অনুসরণ করছেন: , , , , ।$\Gamma$$R(x,y,z)$$x \lor y$$x \lor \neg y$$\neg x \lor \neg y$$x \oplus y \oplus z$$x \oplus y \oplus \neg z$

এখন স্কেফারের দ্বৈতত্ত্বের উপপাদ্যটিকে আধুনিক রূপে প্রয়োগ করুন । ছয়টি ক্রিয়াকলাপের প্রত্যেকটি পরীক্ষা করে দেখুন যে সেগুলি বহুবর্ষ রয়েছে:

• ইউনারি 0: বহুবচন নয় ।$x \lor y$
• ইউনারি 1: বহুবচন নয় ।$\neg x \lor \neg y$
• বাইনারি এবং: । (বিবেচনা করুন এবং ; তারা উভয়ই সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে তবে তাদের দৃষ্টিকোণ-এবং তা দেয় না))$x \lor y$$(0,1,0)$$(1,0,0)$$(0,0,0)$
• বাইনারি ওআর: । (বিবেচনা করুন এবং ; তারা সম্পর্কটি সন্তুষ্ট করে তবে তা দেয় না))$\neg x \lor \neg y$$(0,1,0)$$(1,0,0)$$(1,1,0)$
• টার্নারি সংখ্যাগরিষ্ঠ: বহুবচন নয় । (বিবেচনা করুন এবং এবং ; তারা সম্পর্কটি সন্তুষ্ট করে তবে তাদের সংখ্যাগরিষ্ঠ তা দেয় না))$x \oplus y \oplus z$$(0,0,1)$$(0,1,0)$$(1,0,0)$$(0,0,0)$
• স্বল্প সংখ্যালঘু: । (বিবেচনা করুন , , এবং ; তারা সম্পর্কটি সন্তুষ্ট করে তবে তাদের সংখ্যালঘু তা দেয় না))( 0 , 1 , 0 ) ( 1 , 0 , 0 ) ( 1 , 1 , 0 ) ( 0 , 0 , 0 $x \lor y$$(0,1,0)$$(1,0,0)$$(1,1,0)$$(0,0,0)$

এটি অনুসরণ করে যে এই সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ, এমনকি যদি আপনি সমস্ত এক্সওআর ক্লজগুলি সর্বোচ্চ 3 এর দৈর্ঘ্যে সীমাবদ্ধ করেন।

---

অন্যদিকে, যদি সব XOR যাও ক্লজ সবচেয়ে 2 এ দৈর্ঘ্যের হতে সীমাবদ্ধ, তাহলে এই বিশেষ করে পি হয় সমতূল্য , সুতরাং এই জাতীয় কোনও সূত্র 2SAT সূত্রের সমতুল্য, যার সন্তুষ্টিযোগ্যতা বহুপদী সময়ে নির্ধারণ করা যেতে পারে।( x ∨ y ) ∧ ( ¬ x ∨ ¬ y $(x \oplus y)$$(x \lor y) \land (\neg x \lor \neg y)$