ত্রুটিযুক্তকরণের চেয়ে থামিয়ে দেওয়া সমস্যার অনিশ্চয়তার আরও কি স্বজ্ঞাত প্রমাণ রয়েছে?

Question

আমি করণীয় সমস্যার উপর ভিত্তি করে থামার সমস্যার অনিশ্চয়তার প্রমাণ বুঝতে পেরেছি (উদাহরণস্বরূপ প্যাপাডিমিট্রিওর পাঠ্যপুস্তকে দেওয়া হয়েছে), ডায়াগোনাইজেশনের উপর ভিত্তি করে।

প্রমাণটি নিশ্চিত হওয়ার পরেও (আমি এটির প্রতিটি পদক্ষেপ বুঝতে পেরেছি), তবে এই সমস্যাটি আমার কাছে স্বজ্ঞাত নয় যে আমি একা সমস্যা থেকে শুরু করে কেউ কীভাবে এটি অর্জন করবে তা দেখছি না।

বইটিতে প্রমাণটি এইভাবে চলেছে: "ধরুন একটি ইনপুট এম থামিয়ে দেওয়া সমস্যাটি সমাধান করে ; এক্স , অর্থাত্ টিউরিং মেশিন এম ইনপুট এক্স এর জন্য থামবে কিনা তা স্থির করে । একটি টুরিং মেশিন ডি গঠন করুন যা টুরিং মেশিন এম হিসাবে গ্রহণ করে ইনপুট, এম এইচ ( এম ; এম ) চালায় এবং আউটপুটকে বিপরীত করে। " এটি তখন দেখায় যে ডি ( ডি ) একটি সন্তোষজনক আউটপুট উত্পাদন করতে পারে না।$M_H$$M;x$$M$$x$$D$$M$$M_H(M;M)$$D(D)$

এটি এর আপাতদৃষ্টিতে স্বেচ্ছাসেবী নির্মাণ , বিশেষত নিজের নিজের এমকে খাওয়ানোর ধারণা , এবং তারপরে নিজে নিজে ডি , যাতে আমি একটি অন্তর্দৃষ্টি পেতে চাই। লোকেরা প্রথমে এই নির্মাণগুলি এবং পদক্ষেপগুলি সংজ্ঞায়িত করতে পরিচালিত করেছিল?$D$$M$$D$

যে কারোর দ্বারা কীভাবে তির্যক যুক্তি (বা অন্য কোনও প্রমাণ) প্রবেশ করার যুক্তি জানানো হবে, সে সম্পর্কে যদি তার কোনও ব্যাখ্যা থাকে তবে তারা এই ধরণের যুক্তিটি শুরু করতে না জানলে?

প্রথম দফা উত্তর দেওয়া হয়েছে:

সুতরাং প্রথম উত্তরগুলি উল্লেখ করে যে থামানো সমস্যার অনিশ্চয়তা প্রমাণ করা ক্যান্টর এবং রাসেলের পূর্ববর্তী কাজ এবং তির্যক সমস্যার বিকাশের উপর ভিত্তি করে কিছু ছিল এবং "স্ক্র্যাচ থেকে" শুরু করার অর্থ হল এই যুক্তিটি পুনরায় আবিষ্কার করা।

যথেষ্ট ফর্সা। তবে, আমরা যদি ত্রিভুজকে যুক্তিটিকে যথাযথভাবে উপলব্ধি হিসাবে স্বীকার করি তবে আমি এখনও এটি থেকে থামার সমস্যার "অন্তর্দৃষ্টি ফাঁক" খুঁজে পাই। ক্যান্টরের সত্যিকারের সংখ্যাগুলির প্রমাণহীনতার জন্য আমি আসলে মোটামুটি স্বজ্ঞাত; রাসেলের প্যারাডক্স আরও বেশি।

আমি এখনও যা দেখছি না তা হ'ল এম এর "স্ব-প্রয়োগ" এম এর উপর ভিত্তি করে কাউকে সংজ্ঞায়িত করতে প্ররোচিত করবে ; এম , এবং তারপর আবার আবেদন ডি নিজেই। এটি তির্যককরণের সাথে কম জড়িত বলে মনে হয় (এই বিবেচনায় ক্যান্টারের যুক্তিটির মতো কিছু ছিল না), যদিও আপনি তাদের সংজ্ঞা দিলে এটি স্পষ্টতই ডায়াগোনাইজেশনের সাথে ভালভাবে কাজ করে।$D(M)$$M$$M;M$$D$

দ্রষ্টব্য

@ বাউউ আমার চেয়ে নিজের চেয়ে আরও ভাল যা কষ্ট পাচ্ছিলেন তার সংক্ষিপ্তসার জানিয়েছিলেন: "প্রমাণের অনেক সংস্করণের সমস্যা হ'ল মনে হয় যে নির্মাণগুলি কোনও ম্যাজিক টুপি থেকে টানা হয়েছে।"

Comments

সম্ভাবনা যে বিবেচনা করুন কোন , অগণ্য সেট অস্তিত্বের প্রমাণ কিছুটা counterintuitive থাকতে হবে এমনকি যদি আমরা সত্য যে তারা ব্যবহার করতে পারেন সঠিক । এই প্রশ্নটি (সঠিকভাবে পুনঃপ্রণোদিত হয়ে থাকলে ) math.stackexchange.com এর অন্তর্ভুক্ত হওয়ার সম্ভাবনাটিও বিবেচনা করুন ।

— আন্দ্রে সৌজা লেমোস

ক্যান্টর তির্যক যুক্তিটি খুঁজে পেয়েছিল এবং এখন আমরা এটিটি শিখতে পারি না: ওস ডেম প্যারাডিজ, ড্যান্ট ক্যান্টর আনসেসেজেফেন, সোজা আনস নেমেন্ড ভার্সেট্রাইবার কান্নেন ।

— হেনড্রিক জানুয়ারী

আরও চিন্তাভাবনা করার পরে, আমাকে জিজ্ঞাসা করতে হবে যে আপনি কেন রাসেলের প্যারাডক্সের থেকে আলাদা think রাসেলের প্যারাডক্স এমনকি দেখায় একই যদি আমরা স্বরলিপি ব্যবহার মানে এক্স ∈ এস (অর্থাত হচ্ছে ফাংশন যার মান যেমন সেট মনে বা )। তারপরে রাসেলের প্যারাডক্সটি সংজ্ঞায়িত করা এবং তারপরে বিবেচনা করা । $S(X)$$X \in S$truefalseD(M) = not M(M)D(D)

ডায়াগোনালাইজেশন একটি মানক কৌশল । অবশ্যই একটি সময় ছিল যখন এটি জানা ছিল না তবে এটি এখন অনেক সময়ের জন্য প্রমিত ছিল, সুতরাং আপনার যুক্তিটি কেবল আপনার অজ্ঞতার কারণে হয় (আমি অভদ্র হতে চাই না, একটি সত্য: আপনি জানেন না অন্যান্য সমস্ত প্রমাণ যা এই জাতীয় প্রযুক্তি ব্যবহার করে এবং তাই এটি প্রথমবার দেখলে এটি অদ্ভুত বলে মনে হয় 50 আপনি এটি 50 বার দেখলে আপনি সম্ভবত বুঝতে পারবেন কীভাবে এটি একটি নতুন পরিস্থিতিতে প্রয়োগ করা যেতে পারে)।

— বাকুরিউ

হয়ত আপনি লুক ম্যাথিসনের সাথে তার মন্তব্যে বিনিময়টি পড়বেন (তাঁর উত্তর অনুসরণ করে)। তার উত্তর historতিহাসিকভাবে ব্যাখ্যা করে যে কেন টুরিং স্ব-প্রয়োগ ব্যবহার করেছিলেন (আপনি যে প্রশ্নে আপনার কাছে জিজ্ঞাসা করছেন)। এটি গণিতবিদরা সেই সময়ে বিষয়গুলি কীভাবে উপলব্ধি করেছিলেন তা বেশ-সুন্দর বলে মনে হচ্ছে। আমার নিজের উত্তরটি খুব সাধারণ প্রমাণ দেওয়ার চেষ্টা করে যা এটি ব্যবহার করে না (বা কমপক্ষে এটি অপরিহার্য নয়) যা আপনি জিজ্ঞাসা করেছেন এটি অন্যরকম different সম্ভবত, আমি আমার উত্তর চেয়ে এটি আরও সহজ করতে পারে। কেন শিক্ষকরা এখনও টুরিংয়ের প্রমাণ ব্যবহার করেন এটি একটি সমাজবিজ্ঞান এবং শিক্ষাগত (?!) ইস্যু। সিসি @ হেন্ডরিকজান

— বাবু

Answer 1

আপনার সম্পাদনায় আপনি লিখেছেন:

আমি এখনও যা দেখছি না তা হ'ল এম এর "স্ব-প্রয়োগ" এম এর উপর ভিত্তি করে কাউকে সংজ্ঞায়িত করতে প্ররোচিত করবে ; এম , এবং তারপর আবার আবেদন ডি নিজেই। এটি তির্যককরণের সাথে কম জড়িত বলে মনে হয় (এই বিবেচনায় ক্যান্টারের যুক্তিটির মতো কিছু ছিল না), যদিও আপনি তাদের সংজ্ঞা দিলে এটি স্পষ্টতই ডায়াগোনাইজেশনের সাথে ভালভাবে কাজ করে।$D(M)$$M$$M;M$$D$

টুরিংয়ের প্রমাণের একটি সাধারণ "জনপ্রিয়" সংক্ষিপ্তকরণ এরকম কিছু হয়:

"আমরা যদি একটি মেশিন ছিল যে সিদ্ধান্ত নিতে পারে কিনা অন্য টুরিং মেশিন স্থগিত বা না, আমরা এই ব্যবহার করতে পারে অন্য একটি মেশিনে গঠন করা ডি যে একটি টুরিং মেশিন দেওয়া এম , যদি এবং কেবল যদি বন্ধ হবে এম করেনি না স্থগিত। কিন্তু তারপর আমরা ডি নিজেই ইনপুট হিসাবে পাস করতে পারে, এবং এইভাবে একটি প্যারাডক্স পেতে পারে: এই মেশিনটি যদি থামত না এবং কেবল যদি থামত না! "$M_H$$D$$M$$M$$D$

এখন, এটি দেখতে সহজ যে উপরে একটি সংক্ষিপ্ত বিবরণ উপরে গুরুত্বপূর্ণ বিবরণ হয় - টুরিং মেশিন থামানোও তার ইনপুটটির উপর নির্ভর করে, যা আমরা নির্দিষ্ট করে নেই! কিন্তু এই সমস্যা সহজে যথেষ্ট সংশোধন করা যেতে পারে: আমরা শুধু থাকতে হবে ডি বাছাই কিছু উপযুক্ত ইনপুট x এম প্রতিটি ইনপুট মেশিনের জন্য এম তাদের কাছে ক্ষণস্থায়ী আগে, এম এইচ ।$M$$D$$x_M$$M$$M_H$

আমরা শেষ পর্যন্ত একটি বৈপরীত্য পেতে চাই যে জন্য উপযুক্ত পছন্দ কি ? ঠিক আছে, উপরের "হ্যান্ডওয়ে" প্রুফ দ্বারা সরাসরি একটি প্রাকৃতিক পছন্দ প্রস্তাবিত, যেখানে আমরা চূড়ান্তভাবে ডি মেশিনটি নিজে চালিয়ে বৈপরীত্য অর্জন করি ।$x_M$$D$

এইভাবে, এর আচরণটি সত্যিকার অর্থে বিপরীতমুখী হওয়ার জন্য, যেমন যখন ডি ( ডি ) হিসাবে আহ্বান করা হয়, তখন আমরা যা চাই তা ডি ( এম ) কে থামানো যখন এম ( এম ) হিসাবে আহ্বান করা হয় তখন এম এর আচরণের উপর নির্ভর করে । এইভাবে, আমরা এম = ডি সেট করে আমরা যে বৈপরীত্য চাই তা অর্জন করব ।$D$$D(D)$$D(M)$$M$ $M(M)$$M = D$

মনে মনে, এই একমাত্র পছন্দ নয়; আমরা একই ধরণের দ্বন্দ্বও বলতে পারি, একটি মেশিন যেমন নির্মাণ করলাম যদি ডি ′ ( এম ) থামে এবং কেবল এম ( ডি ′ ) ( এম ( এম ) এর চেয়ে ) বন্ধ না হয় তবে। কিন্তু, যেহেতু এটা পরিষ্কার যে মেশিন ডি সহজে এটি ক্ষণস্থায়ী আগে তার ইনপুট নকল করতে এম এইচ , তাই না বেশ তাই অবিলম্বে সুস্পষ্ট কিভাবে একটি মেশিন গঠন করা হচ্ছে ডি ' যে ডাকা হবে এম এইচ ইনপুট হিসাবে তার নিজস্ব কোড সহ। এইভাবে, এটি ব্যবহার করে$D'$$D'(M)$$M(D')$$M(M)$$D$$M_H$$D'$$M_H$ পরিবর্তে ডি প্রমাণ অহেতুক জটিল করে তোলে এবং এটিকে স্বজ্ঞাত করে তোলে।$D'$$D$

Comments

বাহ, আপনি সত্যিই আমার প্রশ্ন উত্সাহিত! আমি ঠিক গল্পটির সন্ধান করছিলাম! তবুও সমস্ত কিছু পড়ছে, তবে মনে হচ্ছে এটি গ্রহণযোগ্য উত্তর। ধন্যবাদ!

— ব্যবহারকারী 118967

Answer 2

এটি সহজভাবেই ভেবে ভুল হতে পারে যে কেউ কেউ "সরল" প্রসঙ্গে পূর্বের কোনও পর্যায়ে অনুরূপ যুক্তি না দিয়েই এই যুক্তির দিকে তাদের যুক্তি দেখিয়ে দেবে।

মনে রাখবেন যে টুরিং ক্যান্টারের বাস্তবের অগণিততার প্রমাণটি জানতেন। তদুপরি তাঁর রচনাটি গণিতের ইতিহাসের অংশ যা রাসেলের প্যারাডক্স (যা একটি তির্যক যুক্তি ব্যবহার করে) এবং গডেলের প্রথম অসম্পূর্ণতা উপপাদ (যা একটি তির্যক যুক্তি ব্যবহার করে) অন্তর্ভুক্ত করে। প্রকৃতপক্ষে, গডেলের ফলাফল হোল্টিং সমস্যার অঘোষিততার প্রমাণের সাথে গভীরভাবে সম্পর্কিত (এবং তাই হিলবার্টের এন্টশেডংস্প্রোব্লেমের নেতিবাচক জবাব)।

সুতরাং আমার যুক্তি হ'ল আপনার প্রশ্নটি একটি অর্থে খারাপভাবে প্রতিষ্ঠিত হয়েছে এবং আপনি বিশ্রামটি (বা উল্লেখযোগ্যভাবে অনুরূপ কিছু) আগে না গিয়ে হাল্টিং সমস্যায় পৌঁছাতে পারবেন না । ইতিহাসের মধ্যে না গিয়ে আমরা শিক্ষার্থীদের কাছে এই জিনিসগুলি দেখানোর সময়, আপনি যদি একজন কর্মরত গণিতবিদ হন তবে মনে হয় না আপনি কিছুতেই ট্যুরিং মেশিনের মধ্যে কিছু না রেখেই যান - এগুলির পুরো বিষয়টি হ'ল গণনা আনুষ্ঠানিকভাবে করা, অনেক লোকের একটি সমস্যা ছিল এই মুহূর্তে কয়েক দশক ধরে কাজ করে যাচ্ছি।

ক্যান্টর এমনকি সত্যিকারের অগণিততার প্রথম প্রমাণে তির্যক ব্যবহার করেননি, আমরা যখন প্রকাশের তারিখগুলি যখন ধারণার (সর্বদা নির্ভরযোগ্য জিনিস নয়) ভাবতাম তখন এটির সমীকরণ হিসাবে গ্রহণ করি তবে ইতিমধ্যে এটি জেনে প্রায় 17 বছর লেগেছিল ত্রিভুজটি তির্যক আর্গুমেন্টটি কার্যকর করার জন্য, বাস্তবগুলি ছিল অগণিত।

আপনি যে প্রমাণটি উল্লেখ করেছেন তাতে "স্ব-প্রয়োগের" প্রসঙ্গে, এটি রাসেলের প্যারাডক্সের (যা পুরোপুরি স্ব-রেফারেন্সের উপর নির্ভর করে) একটি অবিচ্ছেদ্য অঙ্গ এবং গডেলের প্রথম অসম্পূর্ণতা উপপাদ্য রাসেলের প্যারাডক্সের উচ্চ-শক্তিযুক্ত সংস্করণের মতো । হাল্টিং সমস্যাটির অনিশ্চয়তার প্রমাণ গডেলের কাজ দ্বারা এতটা ভারীভাবে অবহিত করা হয়েছে যে এটি ব্যতীত সেখানে উপস্থিত হওয়া কল্পনা করা খুব কঠিন, সুতরাং "স্ব-প্রয়োগ" ধারণাটি ইতিমধ্যে আপনার হ্যালটিং সমস্যায় পৌঁছানোর প্রয়োজনীয় পটভূমির জ্ঞানের অংশ is । একইভাবে, গডেলের কাজ রাসেলের প্যারাডক্সের কাজ করা, সুতরাং আপনি অন্যটি ছাড়া সেখানে পৌঁছাতে পারবেন না (দ্রষ্টব্য যে রাসেল প্রথম এইরকম প্যারাডক্সটি পর্যবেক্ষণ করেন নি, তাই তির্যক যুক্তির প্রোটোটাইপগুলি প্রায় আনুষ্ঠানিক যুক্তিতেই প্রায় রয়েছে। 600BCE)। টুরিং এবং গডেল উভয়ের কাজ (আমরা এখানে যে বিটগুলির কথা বলছি) স্ব-রেফারেন্স সহ সমস্যাগুলির ক্রমবর্ধমান শক্তিশালী বিক্ষোভ হিসাবে এবং এটি কীভাবে গণিতে এম্বেড হচ্ছে তা দেখা যেতে পারে। সুতরাং আবারও, টিউরিং তাদের সাথে যে স্তরের আচরণ করছিল তা এই পরামর্শগুলি এসেছে তা বোঝানো খুব কঠিনপ্রথমত , তারা ছিল দর্শনের, গণিত এবং যুক্তির অংশগুলিতে সহস্রাব্দের কাজের সমাপ্তি।

এই স্ব-রেফারেন্সটিও ক্যান্টারের যুক্তির অংশ, এটি টুরিংয়ের আরও মূলত যৌক্তিক কাজের মতো অপ্রাকৃত ভাষায় উপস্থাপিত হয়নি। ক্যান্টরের ডায়াগোনালাইজেশনটি কোনও সেটের পাওয়ার সেট (মূলত ক্যান্টোরের উপপাদ্যের অংশ) থেকে উপাদানগুলির নির্বাচন হিসাবে পুনরায় সংশোধন করা যেতে পারে। যদি আমরা (ধনাত্মক) বাস্তবের সেটটিকে প্রাকৃতিক উপগ্রহ হিসাবে বিবেচনা করি (দ্রষ্টব্য যে এটির জন্য কাজ করার জন্য আমাদের অঙ্কগুলি অর্ডার করার জন্য সত্যই দরকার নেই, এটি কেবল একটি সহজ উপস্থাপনা করে) এবং দাবি করি যে প্রাকৃতিক দিক থেকে কোনও অনুমান রয়েছে রিয়েলস, তারপরে আমরা পাওয়ার সেটটির একটি উপাদান তৈরি করতে পারি (অর্থাত্ একটি বাস্তব) যা অনুমানের চিত্রে নেই (এবং সুতরাং একটি বৈপরীত্য উত্পন্ন করে) এই উপাদানটিকে তাদের নিজস্ব নয় এমন প্রাকৃতিক সংস্থারূপে গ্রহণ করে অনুমানের অধীনে চিত্র। একবার আমরা এইভাবে এই শব্দটি উচ্চারণ করি, এটি '

Comments

হ্যাঁ, মনে হচ্ছে ট্যুরিংয়ের পুরো বিষয়টিটি সময় সম্পর্কে কিছু বিমূর্ত ধারণা প্রবর্তনের উদ্দেশ্যে মেশিনগুলি ব্যবহার করে বিজ্ঞপ্তি (যা থেকে তির্যক আসে) পুনরায় তৈরি করা ছিল , যার সাথে একটি নতুন উপায়ে চূড়ান্ততার বিষয়ে কথা বলা হয়েছিল।

— আন্দ্রে সৌজা লেমোস

সম্ভবত আপনি আমাকে আলোকিত করতে পারেন, কারণ আমি এই কয়েকটি প্রমাণের সাথে পরিচিত নই। আমি বুঝতে পারি যে স্ব-রেফারেন্সিং ব্যবহার করে এই প্রমাণগুলি কন্ডুক্ট করা যেতে পারে। আমি এমনকি বিশ্বাস করতে পারি (যদিও এটির কোনও প্রমাণের প্রয়োজন হতে পারে) যে উদ্দেশ্যে যে কোনও কাঠামো তৈরি করা হয়েছে সেখানে সর্বদা কিছু স্ব-রেফারেন্স পাওয়া যায়। তবে আমি এর উপসংহারের প্রমাণটি পরিচালনা করতে এটি স্পষ্টভাবে ব্যবহার করার প্রয়োজন দেখছি না। আপনি ক্যান্টারের যুক্তিটি সেভাবে পুনরায় লিখতে পারেন, তবে আপনার দরকার নেই। এবং থামার সমস্যার জন্য আপনাকে কেন এটি করতে হবে তা আমি দেখতে পাচ্ছি না। আমি একটা পদক্ষেপ মিস করতে পারি, তবে কোনটি?

— বাবু

আমার পূর্ববর্তী মন্তব্যটি আরও পরিষ্কার করার জন্য, আসল প্রশ্নটি হ'ল : " থামানো সমস্যার অনিশ্চয়তার আরও কোন স্বজ্ঞাত প্রমাণ আছে ... "। আমি শেষটি বাদ দিচ্ছি, যেহেতু আমার অনুভূতি হ'ল ওপি মূলত স্বজ্ঞাততার অভাব সম্পর্কে অভিযোগ করে। আমি বিশ্বাস করি যে প্রকৃতপক্ষে আরও স্বজ্ঞাত প্রমাণ রয়েছে, স্ব-উল্লেখটি ব্যবহার না করে। আপনি মনে করতে পারেন যে এই প্রমাণটি ব্যবহার করা শিক্ষামূলকভাবে বুদ্ধিমানের (রাসেলের এবং গডেলের কাজের সাথে সম্পর্কিত নয়) তবে এটি যদি জিজ্ঞাসা করা প্রশ্নের উত্তর দেয় তবে এটিকে প্রত্যাখ্যান করার উপায় কী? আপনি প্রশ্নের উত্তর না দিয়ে প্রশ্নটিকে অস্বীকার করছেন বলে মনে হচ্ছে।

— বাবু

@ বাবুঃ আমার মনে হয় এখানে সমস্যাটি হ'ল আমরা বিভিন্ন প্রশ্নের উত্তর দিচ্ছি। আমার ধারণা, ওপিটি তেমন ভালভাবে অঙ্কিত হয়নি। ওপি-র শিবিরে পুনরাবৃত্তি হওয়া প্রশ্নটি আমার কাছে মনে হয় "কেউ কীভাবে প্রমাণ করার জন্য তির্যক যুক্তিটি কীভাবে ভাবা হয়েছিল ..." (অবশ্যই অনুচ্ছেদে), এবং "নির্মাণগুলি ম্যাজিক টুপি থেকে টানা বলে মনে হচ্ছে"। ।

— লুক ম্যাথিসন

@ বাবুও, একটি সঠিক কীবোর্ডের সাহায্যে কিছুটা ব্যাখ্যা করার জন্য, আমি মনে করি না যে কোনওভাবেই বা অন্য কোনওভাবে প্যাডোগোগিকভাবে দরকারী (এটি প্রসঙ্গে খুব বেশি নির্ভর করবে)। প্রকৃতপক্ষে, বেশিরভাগ সিএস কোর্সের জন্য, তির্যক যুক্তি ছাড়াই এটি করা সম্ভবত ভাল, বেশিরভাগ সিএস শিক্ষার্থীরা ব্যাকগ্রাউন্ডটি জানার পক্ষে যথেষ্ট পরিমাণে ঝুঁকছেন না, তবে আমি অবশ্যই উত্তরটি দিয়েছিলাম আসল দেহের পাঠ্যটি যে প্রশ্নটি শেষ করেছে: ...

— লুক ম্যাথিসন

Answer 3

স্ব প্রয়োগের প্রমাণের প্রয়োজনীয় উপাদান নয়

সংক্ষেপে

$H$$L$

$D$$L$

$H$$L$$L$$L$$H$$H$

$L$$0$$1$

$L$

দ্রষ্টব্য : এটি হতে পারে যে, অসম্ভব বৈশিষ্ট্যযুক্ত থামানো কার্যকারীর কোনও গঠনমূলক পছন্দের জন্য, ট্যুরিং মেশিনের গণনার একটি গণনাযোগ্য পুনর্ব্যবহার রয়েছে যাতে এটি তির্যক হয়ে যায় (আমি জানি না)। তবে, ইমো, স্ব-প্রয়োগটি এমন একটি পরোক্ষ প্রমাণ কৌশল যা আরও স্বজ্ঞাত এবং আকর্ষণীয় সত্যকে আড়াল করে change

প্রমাণগুলির বিশদ বিশ্লেষণ

আমি historicalতিহাসিক হতে যাচ্ছি না (তবে যারা আছেন তাদের ধন্যবাদ, আমি এটি উপভোগ করি), তবে আমি কেবল স্বজ্ঞাত পক্ষই কাজ করার চেষ্টা করছি।

আমি মনে করি @vzn প্রদত্ত উপস্থাপনাটি , যা আমি অনেকদিন আগে মুখোমুখি হয়েছিলাম (আমি ভুলে গিয়েছিলাম) আসলে বরং স্বজ্ঞাত এবং এমনকি নামটি তিরস্কারের ব্যাখ্যা দেয়। আমি কেবল বিশদে এটি পুনরাবৃত্তি করছি কারণ আমার মনে হয় @vzn এর সরলতার পক্ষে যথেষ্ট জোর দেয়নি।

আমার উদ্দেশ্য ক্যান্টরের বিষয়টি জেনে প্রমাণটি পুনরুদ্ধার করার জন্য একটি স্বজ্ঞাত উপায়। প্রমাণের বহু সংস্করণে সমস্যাটি হ'ল মনে হয় যে নির্মাণগুলি কোনও ম্যাজিক টুপি থেকে টানা হয়েছিল।

আমি যে প্রমাণটি দিয়েছি তা প্রশ্নের মধ্যে ঠিক একই রকম নয়, তবে যতদূর আমি দেখতে পাচ্ছি এটি সঠিক। যদি আমি কোনও ভুল না করে থাকি তবে এটি যথেষ্ট স্বজ্ঞাত যেহেতু আমি গণনা করা যত্নের চেয়ে বেশি বছর পরে এটি পুনরুদ্ধার করতে পেরেছিলাম, খুব ভিন্ন ইস্যুতে কাজ করে।

এর সাবসেটের ক্ষেত্রে$\mathbb N$

$S_j$$C_j(i)$$1$$i\in S_j$$0$

$T$$T[i,j]=C_j(i)$

$D$$D(i)=\overline{T[i,i]}$

$D$

$D$$\mathbb N$

এটি প্রাথমিকভাবে মোটামুটি স্বজ্ঞাত প্রশ্ন অনুসারে স্বীকৃত। আমরা কি থামানো সমস্যার প্রমাণকে স্বজ্ঞাত হিসাবে তৈরি করতে পারি?

থামার সমস্যার ক্ষেত্রে (ট্যুরিং)

$M_j$$H_j(i)$$1$$M_j$$i$$0$

$T$$T[i,j]=H_j(i)$

$D$$D(i)=\overline{T[i,i]}$

$D$

$D$

$T$$H_j$

$H$$H(i,j)$$H_j(i)$

$H$$L$$D$$L$$H$$L(i)$$H(i,i)$$H(i,i)$$1$$L(i)$

$L$$H$$D$$L$$H$

_{আমি ইচ্ছাকৃতভাবে প্রথম প্রমাণ নকল করেছিলাম এবং ছোট বিবরণে গিয়েছিলাম}

আমার অনুভূতি হ'ল পদক্ষেপগুলি প্রাকৃতিকভাবে এইভাবে আসে, বিশেষত যখন কেউ ক্যান্টরের প্রমাণকে যুক্তিসঙ্গত স্বজ্ঞাত হিসাবে বিবেচনা করে।

একজন প্রথমে মামলা-মোকদ্দমা সংক্রান্ত কাঠামো গণনা করে। তারপরে আচরণের জন্য অনাহূত হওয়ার জন্য তাদের সকলকে স্পর্শ করার সুবিধাজনক উপায় হিসাবে তির্যকটি গ্রহণ করে এবং সংশোধন করে, তারপরে আচরণের জন্য অ্যাকাউন্টহীন এমন কোনও বস্তুর প্রদর্শন করে একটি দ্বন্দ্ব হয় ... যদি কিছু অনুমান সত্য হয়: অস্তিত্বের অস্তিত্ব ক্যান্টরের জন্য গণনা, এবং টুরিংয়ের জন্য একটি গণনামূলক থামানো ওরাকলটির অস্তিত্ব।

$D$$T$$T$$L$$D$$L(i)$$H$$H(i,i)$

"অন্যান্য" প্রমাণের সাথে তুলনা করুন

$L$$D$

আমরা কেবল এটি এমনভাবে তৈরি করি যাতে এটির কোনও বৈশিষ্ট্য বন্ধ করার ফাংশন রয়েছে যা কোনও টুরিং মেশিনের সাথে মিলে যায় না এবং সেখান থেকে সরাসরি একটি বৈপরীত্য পান। এটি আমাদেরকে তির্যকটি ব্যবহার না করার স্বাধীনতা দেয় (এটির জন্য মূল্য কী)।

$L$$j_L$$L=M_{j_L}$$L(j_L)$$T[j_L,j_L]=H(j_L,j_L)=1$$L(j_L)$$L(j_L)$$T[j_L,j_L]=H(j_L,j_L)=0$$L(j_L)$$L$$L$ টিউরিং মেশিন হতে পারে না কারণ এটি এমন একটি বৈশিষ্ট্য রোধকারী ফাংশন যা টিউরিং মেশিনের নয় এটির জন্য নির্মিত।

একটি সাইড পয়েন্ট হ'ল আমরা তির্যকটি না বেছে নিলে এই স্বাভাবিক প্রমাণটি অনেক বেশি বেদনাদায়ক হবে, যদিও উপরে ব্যবহৃত প্রত্যক্ষ পদ্ধতির সাথে এতে কোনও সমস্যা নেই। যে দরকারী হতে পারে, আমি জানি না।

Comments

খুব সুন্দর, ধন্যবাদ! দেখে মনে হচ্ছে যে কোনওরকমে আপনি স্ব-প্রয়োগমূলক নির্মাণগুলি ঘিরেই আমাকে পরিচালনা করতে পেরেছিলেন যাতে আমি ঝামেলা পেয়েছি। এখন আমি অবাক হয়েছি কেন লোকেরা এগুলিকে প্রথমে প্রয়োজনীয় মনে করেছিল।

— ব্যবহারকারী 118967

@ ব্যবহারকারী118967 আমি নীচে বোঝানোর চেষ্টা করেছি যে তির্যকটি ব্যবহার করা সত্যিই গুরুত্বপূর্ণ নয়। আপনারা যা চান তা হ'ল একটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত হোলিং ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করা যা টেবিলের তালিকাভুক্ত সমস্ত থেকে আলাদা এবং এটি তালিকাভুক্তদের থেকে গণ্যযোগ্য, তবে শর্ত থাকে যে আমাদের একটি থামানো ওরাকল রয়েছে। এইরকম অনেকগুলি বৈশিষ্ট্যযুক্ত হোলিং ফাংশন রয়েছে। এটি এখনকার সাধারণ প্রমাণে তেমন দৃশ্যমান বলে মনে হয় না এবং এটি হতে পারে যে প্রমাণটির কিছু নির্মাণকাজগুলি স্বেচ্ছাসেবী বলে মনে হয় কারণ তারা উপরের প্রমাণে তির্যকটি বেছে নেওয়ার মতো। এটি কেবল সহজ, প্রয়োজনীয় নয়।

— বাবু

@ ব্যবহারকারী118967 আমি যুক্ত করেছি এবং পরিচিতি যা বিভিন্ন প্রমাণের বিশ্লেষণের সংক্ষিপ্তসার করে। শেষ পর্যন্ত দেওয়া প্রমাণগুলির মধ্যে (স্ব প্রয়োগের সাথে এবং ছাড়াও) এটি তুলনা পরিপূরক করে। আমি যেমন জিজ্ঞাসা করলাম তির্যককরণটি সরিয়ে রেখেছি কিনা তা আমি জানি না :) (আমি মনে করি এটি বলা অনুচিত হবে) তবে কীভাবে সুস্পষ্ট তির্যকটি দূর করতে হবে সে সম্পর্কে আমি ইঙ্গিত দিই। এবং প্রমাণটি স্ব-প্রয়োগ ব্যবহার করে না, যা একটি অপ্রয়োজনীয় বলে মনে হচ্ছে, তবে চটজলদি, কৌশল যা লুকিয়ে রয়েছে তার চেয়ে বেশি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়, আটকানো আচরণ।

— বাবু

@ user118967 আপনার প্রথম মন্তব্যের উত্তর দেওয়ার জন্য, এবং সর্বাধিক উত্সাহিত উত্তরটি পড়ার পরে, মনে হচ্ছে মূল অনুপ্রেরণা রাসেল এবং গডেলের কাজের সাথে সম্পর্কিত। এটি সেই লক্ষ্যে সত্যই প্রয়োজনীয় কিনা তা আমার কোনও ধারণা নেই এবং স্ব-প্রয়োগকারী নির্মাণের বিভিন্ন রূপটি অবশ্যই সেই উদ্দেশ্যেই অধ্যয়ন করা যেতে পারে, তবে আমি এটি সবার উপরে চাপিয়ে দেওয়ার বিষয়টি দেখতে পাচ্ছি না। তদতিরিক্ত, আরও প্রত্যক্ষ প্রমাণ আরও স্বজ্ঞাত বলে মনে হয় এবং স্ব-প্রয়োগকারী সংস্করণটিকে আরও বিশ্লেষণ করার জন্য সরঞ্জামটি দেয়। তাহলে কেন?

— বাবু

হ্যাঁ, আমি তাতে আপনার সাথে একমত হতে চাই।

— ব্যবহারকারী 118967

Answer 4

এই সত্যটির একটি প্রমাণও রয়েছে যে এটি একটি ভিন্ন প্যারাডক্স ব্যবহার করে, বেরির প্যারাডক্স যা আমি রন রাজের কাছ থেকে শুনেছিলাম।

$B(n)$$n$$S(n)$$n$$B(n)$$S(n)$

নিম্নলিখিত প্রোগ্রাম বিবেচনা করুন:

1. $n$

2. $L$

3. $L$

$B(n)$$n$$O(\log n)$$n$$O(\log n)$$C\log n$$N$$C\log N \leq N$$N$$B(N)$$B(N)$

একই ধারণাটি গডেলের অসম্পূর্ণতা উপপাদ্য প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, যেমন ক্রিচম্যান এবং রাজের দেখানো ।

Comments

সম্ভবত এটি আমি যে কাগজে উদ্ধৃত করেছি সেই কাগজে বা লি এবং ভিটিনিয়ের ক্লাসিক মনোগ্রাফ কোলমোগোরভ জটিলতায়।

— যুবাল ফিল্মাস

যাইহোক, আপনি কি মনে করেন যে এই পদ্ধতিটি এনপি বনাম কোএনপি সমস্যার উপর আক্রমণ সরবরাহ করে?

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি

না। এই জাতীয় সমস্যাগুলি এই মুহূর্তে আমাদের বাইরে।

— যুবাল ফিল্মাস

$n$

$n$$n$$n$

Answer 5

এখানে "পুনরাবৃত্তি উপপাদ্য" নামে আরও একটি সাধারণ ধারণা জড়িত রয়েছে যা আরও স্বজ্ঞাত হতে পারে: টুরিং মেশিনগুলি তাদের নিজস্ব বিবরণ ব্যবহার করতে পারে (এবং এইভাবে তারা নিজেরাই চালিত হয়)। আরও স্পষ্টভাবে, একটি উপপাদ্য রয়েছে:

যে কোনও ট্যুরিং মেশিনের জন্য T, একটি টুরিং মেশিন রয়েছে Rযা গণনা করে R(x) = T(R;x)।

যদি আমাদের কাছে ট্যুরিং মেশিন থাকে যা থামার সমস্যাটি সমাধান করতে পারে, তবে উপরের বর্ণিত ধারণাটি ব্যবহার করে আমরা সহজেই বিভিন্ন "মিথ্যাবাদী" টিউরিং মেশিন তৈরি করতে পারি: যেমন পাইথনের মতো স্বরলিপিতে,

def liar():
    if halts(liar):
        return not liar()
        # or we could do an infinite loop
    else:
        return True

আরও জটিল যুক্তিটি মূলত কেবল পুনরাবৃত্তি তত্ত্বটির কাছে আবেদন না করে সরাসরি এটি করার চেষ্টা করা হয়। এটি, এটি "স্ব-রেফারেন্সিয়াল" ফাংশনগুলি তৈরির একটি রেসিপি পুনরাবৃত্তি করছে। যেমন একটি ট্যুরিং মেশিন দেওয়া T, একটি Rসন্তোষজনক নির্মাণের জন্য এখানে একটি অনুরূপ রেসিপি এখানে রয়েছে

R(x) = T(R; x)

প্রথমে সংজ্ঞা দিন

S(M; x) = T(M(M; -); x)

কোথা থেকে M(M; -), আমার সত্যিকারের অর্থ হ'ল আমরা গণনা করছি (এর বিবরণটি ব্যবহার করে M) এবং একটি টুরিং মেশিনের একটি বিবরণ প্লাগ করি যা ইনপুটটিতে yমূল্যায়ন করে M(M; y)।

এখন, আমরা পর্যবেক্ষণ করি যে যদি আমরা Sনিজের মধ্যে প্লাগ ইন করি

S(S; x) = T(S(S; -); x)

আমরা যে নকল চাই তা পাই get সুতরাং যদি আমরা সেট

R = S(S; -)

তারপর আমাদের আছে

R(x) = T(R; x)

পছন্দসই হিসাবে

Comments

প্রথম অনুচ্ছেদটি আপনার উদ্ধৃত তত্ত্বটির সাথে মেলে না, যা আমি স্মিন উপপাদ্যের নামে জানি।

— রাফায়েল

@ রাফেল: এটি আমার পাঠ্যপুস্তকে পুনরাবৃত্তি উপপাদ্য বলা হয়। :( গুগলে আমার সংক্ষিপ্ত প্রয়াস কোনও বিকল্প নাম পরিবর্তন করতে ব্যর্থ হয়েছে

কোন চিন্তা করো না; হতে পারে আমি আপনাকে ভুল বুঝতে পারি, বা একই জিনিসটির জন্য আলাদা আলাদা নাম রয়েছে। এটি বলেছিল, আপনার "ট্যুরিং মেশিনগুলি তাদের নিজস্ব বিবরণ ব্যবহার করতে পারে" বাক্যটি আপনার উদ্ধৃত তত্ত্বটির দ্বারা সমর্থিত নয়। প্রকৃতপক্ষে, আমি এটি ভুল বলে মনে করি: যদি কোনও টিএম গণনা ফাংশনটি তার সূচকের উপর নির্ভর করে, তবে একই ফাংশনটি গণনা করা সমস্ত অসীম বহু টিএম দেখতে কেমন হবে?

— রাফায়েল

$T$liarTruenot liar()False

$T$$R$$R(x) = T(R; x)$$T$$R$$R(x) = T(R; x)$

Answer 6

টুরিং প্রুফ ক্যান্টরস প্রুফের সাথে একেবারে মিলে যায় যে রিয়েলসের কার্ডিনালিয়ালিটি ("অগণিত") এর মূল কার্ডিনালিটির চেয়ে বড় ("গণনীয়") কারণ এগুলি 1-1 চিঠিপত্রের মধ্যে রাখা যায় না তবে এটি নোট / জোর দেওয়া হয়নি অনেকগুলি রেফারেন্স (কেউ কি কিছু জানেন?)। (iirc) একজন সিএস অধ্যাপক এই বছর আগে ক্লাসে একবার দেখিয়েছেন (তিনি নিজে কোথায় পেলেন তা নিশ্চিত নয়)। ক্যান্টরস প্রুফের সাথে সংখ্যার n ^তম সংখ্যা এবং উল্লম্ব মাত্রাটি সেটের n ^তম সংখ্যা সহ একটি গ্রিড কল্পনা করতে পারে ।

টুরিং হোল্টিং প্রুফ নির্মাণটি সারণির বিষয়বস্তুগুলির পরিবর্তে 1/0 এর পরিবর্তে টেবিলের বিষয়বস্তু হ্যাল্ট / ননহাল্ট এবং আনুভূমিক অক্ষটি এন ^ম ইনপুট এবং উল্লম্ব অক্ষটি এন ^ম কম্পিউটার প্রোগ্রাম। অন্য কথায় কম্পিউটার প্রোগ্রাম এবং ইনপুটগুলির সংমিশ্রণ গণনাযোগ্য তবে একটি সর্বজনীন মেশিন সিমুলেটর নির্মাণের উপর ভিত্তি করে অসীম টেবিল / অ্যারে অগণনীয় যা একটি থামানো ডিটেক্টর মেশিনের উপস্থিতি ধরে রেখে ননহাল্টিং কেসটিতে "থামিয়ে" ফেলতে পারে (অতএব অবসিডাম অ্যাডামডাম ) ।

টুরিংয়ের আংশিকভাবে ক্যান্টরস নির্মাণের কয়েকটি প্রমাণ হ'ল তাঁর একই কাগজটি থামানো প্রমাণের সাথে গণনাযোগ্য সংখ্যার (যেমন লাইন বরাবর) গণনাযোগ্য সংখ্যাসমূহ নিয়ে কথা বলেছেন।

Comments

সংযোজন, অনির্বাচিততা দেখার সত্যিই একটি খুব "স্বজ্ঞাত" উপায় আছে তবে এটি উপলব্ধি করার জন্য অনেক উচ্চতর গণিতের প্রয়োজন (অর্থাত্ কোনও বিশেষজ্ঞের অন্তর্দৃষ্টি থেকে একটি নিওফাইটের স্বীকৃতি অনেক আলাদা)। গণিতবিদরা থামার সমস্যাটিকে বিবেচনা করেন এবং ল্যাভেরের নির্দিষ্ট পয়েন্ট উপপাদ্যের মাধ্যমে দেবতাদের অভিন্ন প্রমাণাদি প্রমাণ করেন, তবে এটি একটি উন্নত সত্য যা স্নাতক "এখনও" তে খুব সহজলভ্য নয়। দেখতে বিরাম সমস্যা, uncomputable সেট, সাধারণ গণিত সমস্যা? তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞান এবং

— রেফার্সের

Answer 7

এই মুহুর্তে এটি এমিল পোস্টের কাজটি লক্ষ্য করার মতো, যিনি (ন্যায়বিচারে) গণ্যতার প্রাথমিক ফলাফলগুলির সহ-আবিষ্কারক হিসাবে কৃতিত্ব পেয়েছিলেন, যদিও দুঃখের সাথে এন্টশেডংস্প্রোবিলমের সমাধানের সহ-আবিষ্কারক হিসাবে বিবেচিত হতে খুব দেরিতে প্রকাশিত হয়েছিল । তিনি অবশ্যই তথাকথিত চার্চ-টিউরিং থিসিসের বিশদ বিবরণে অংশ নিয়েছিলেন ।

পোস্টটি খুব দার্শনিক বিবেচনার দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিল, যাহাতে গণনা করার ক্ষমতা মানুষের তাত্ত্বিক সীমাবদ্ধতা, বা এমনকি একটি সুসংগত পদ্ধতিতে সুনির্দিষ্ট উত্তর পেতে পারে। তিনি একটি সিস্টেম তৈরি করেছিলেন, যাকে এখন পোস্ট ক্যানোনিকাল সিস্টেম বলা হয় , যার বিবরণ গুরুত্বহীন, যা তিনি দাবি করেছিলেন যে কোনও সমস্যার সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যা প্রতীকের কারসাজি দ্বারা নিখরচায়ভাবে সমাধান করা যায় । মজার বিষয় হচ্ছে, তিনি স্পষ্টতই মানসিক অবস্থাকে স্পষ্টভাবে "স্মৃতি" এর অংশ হিসাবে বিবেচনা করেছিলেন, তাই সম্ভবত এটি কমপক্ষে তার গণনার মডেলটিকে সম্পূর্ণরূপে মানব চিন্তার একটি মডেল হিসাবে বিবেচনা করেছিলেন।

অ্যান্টসিডেংস্প্রোব্লম প্রিন্সিপিয়া ম্যাথমেটিকার সিস্টেমে প্রকাশযোগ্য কোনও প্রস্তাবের তাত্ত্বিকতা নির্ধারণ করার জন্য এইরূপ গণনার উপায় ব্যবহারের সম্ভাব্যতা বিবেচনা করে । কিন্তু প্রধানমন্ত্রীর এক্সটেনশন (সময়, যখন অন্তত এ দ্বারা একটি সিস্টেম স্পষ্টভাবে গাণিতিক যুক্তি সমস্ত প্রতিনিধিত্ব পাবে পরিকল্পিত ছিল, এবং, Logicism মানুষের যুক্তি প্রচলিত এখনও ছিল) সমস্ত!

অতএব এটি অত্যন্ত উদ্বেগজনক যে, এই জাতীয় ব্যবস্থার মনোযোগ পোস্ট ক্যানোনিকাল সিস্টেমে নিজের দিকে ফিরিয়ে দেওয়া, ঠিক যেমনটি মানুষের মন, ফ্রিজ, রাসেল এবং শতাব্দীর পরের লজিস্টিয়ানদের কাজগুলির মাধ্যমে যুক্তি অনুষদের দিকে মনোনিবেশ করেছিল? মানুষের মন নিজেই।

সুতরাং এই মুহুর্তে এটি স্পষ্ট, স্ব-রেফারেন্স, বা তাদের নিজস্ব বর্ণনা করার সিস্টেমগুলির ক্ষমতা, 1930 এর দশকের গোড়ার দিকে একটি প্রাকৃতিক বিষয় ছিল। প্রকৃতপক্ষে, ডেভিড হিলবার্ট গণিত সংক্রান্ত যুক্তি নিজেই "বুটস্ট্র্যাপ" করার আশা করছিলেন, সমস্ত মানবিক গণিতের একটি আনুষ্ঠানিক বিবরণ দিয়েছিলেন, যা তখন গাণিতিকভাবে নিজেই ধারাবাহিকভাবে প্রমাণিত হতে পারে!

একবার নিজের সম্পর্কে বিতর্ক করার জন্য কোনও আনুষ্ঠানিক ব্যবস্থা ব্যবহারের পদক্ষেপটি পাওয়া গেলে, এটি একটি হপ এবং সাধারণ স্ব-রেফারেন্টাল প্যারাডক্স (যাঁর একটি পুরানো ইতিহাস রয়েছে ) থেকে দূরে চলে যান ।

যেহেতু প্রিন্সিপিয়াতে সমস্ত বিবৃতি কিছু আধ্যাত্মিক অর্থে "সত্য" বলে ধরে নেওয়া হয় এবং প্রিন্সিপিয়া প্রকাশ করতে পারে

প্রোগ্রাম ইনপুট pফলাফল trueদেয়n

যদি কোনও সিস্টেম সেই সিস্টেমে সমস্ত উপপাদ্য সিদ্ধান্ত নিতে উপস্থিত থাকে, তবে সরাসরি মিথ্যাবাদীর প্যারাডক্সটি প্রকাশ করা বেশ সহজ:

এই প্রোগ্রাম সর্বদা মিথ্যা।

দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারে

প্রোগ্রামটি pসর্বদা প্রিন্সিপিয়া গণিত যা বলে pফিরে আসবে তার বিপরীতে ফিরে আসে।

অসুবিধা হচ্ছে প্রোগ্রামটি তৈরি করা p। তবে এই মুহুর্তে, আরও সাধারণ বাক্যটি বিবেচনা করা স্বাভাবিক

প্রোগ্রামটি pসর্বদা প্রধানমন্ত্রী যা বলবে qতার বিপরীতে ফিরে আসে returns

কিছু ইচ্ছামত জন্য q। তবে যে p(q)কোনও প্রদত্তের জন্য এটি তৈরি করা সহজ q! প্রধানমন্ত্রীর ভবিষ্যদ্বাণী করা কেবল এটি গণনা করুন যা আউটপুট আসবে, এবং বিপরীত উত্তর ফিরে আসবে। আমরা শুধু প্রতিস্থাপন করতে পারবেন না qদ্বারা pসাল থেকে এই বিন্দু যদিও এ pসময় লাগে qইনপুট হিসাবে, এবং qনা (এটি কোনো ইনপুট নেয়)। আসুন আমাদের বাক্য যাতে পরিবর্তন করা যাক p না ইনপুট নিন:

অনুষ্ঠানটি pপ্রধানমন্ত্রী যা বলবে q(r)তার বিপরীতে ফিরে আসে।

ARG! তবে এখন p2 টুকরো ইনপুট লাগে: qএবং r, যেখানে qমাত্র 1 লাগে But তবে অপেক্ষা করুন: আমরা pউভয় জায়গায় যেভাবেই চাই, তথ্যের rকোনও নতুন অংশ নয় , আবার কেবল একই টুকরা তথ্য, যথা q! এটি সমালোচনা পর্যবেক্ষণ।

সুতরাং আমরা অবশেষে পেতে

অনুষ্ঠানটি pপ্রধানমন্ত্রী যা বলবে q(q)তার বিপরীতে ফিরে আসে।

আসুন এই নির্বোধ "প্রধানমন্ত্রী বলেন" ব্যবসায় সম্পর্কে ভুলে যাই, এবং আমরা পাই

প্রোগ্রামটি p(q)ফিরে q(q)আসবে তার বিপরীতে ফিরে আসে।

এই একটি বৈধ প্রোগ্রাম উপলব্ধ আমরা একটি প্রোগ্রাম যে সবসময় কি আমাদের বলে আছে q(q)আয় । কিন্তু এখন আমরা আমাদের প্রোগ্রাম আছে p(q), আমরা প্রতিস্থাপন করতে পারেন qদ্বারা pএবং আমাদের মিথ্যাবাদী এর প্যারাডক্স পেতে।