ওয়েলচ-বেরলেক্যাম্প অ্যালগোরিদমে ত্রুটির সংখ্যাটি আপনি কীভাবে নির্ধারণ করবেন?

রিড-সলোমন কোডগুলি ডিকোডিংয়ের জন্য ওয়েলচ-বেরলেক্যাম্প অ্যালগরিদমে, একটিকে পয়েন্টগুলির একটি তালিকা দেওয়া হয় $(a_i, b_i)$ সাথে একটি বার্তা উপস্থাপন $e$ ত্রুটি $b_i$ অজানা স্থানে (এবং $e$ আলগোরিদিম দেওয়া হয়)। আউটপুটটি প্রদত্ত সমস্ত পয়েন্টের মধ্যে একটি ত্রুটি ঘটেছিল ব্যতীত একটি বহুভুজ যা is

পদ্ধতির মধ্যে ফর্মের রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করা জড়িত

b_{i} E (a_{i}) = Q (a_{i})

$b_i E(a_i) = Q(a_i)$

সবার জন্য $i$ কোথায় $E$ ডিগ্রি আছে $e$ এবং $Q$ সর্বাধিক ডিগ্রি আছে $e+k$ । ভেরিয়েবলগুলি এর সহগ হয় $E$ এবং $Q$ ।

সেটা নিশ্চিত করতে $E$ ডিগ্রি আছে $e$ একটি সাধারণত সহগ বাধা যোগ করে $x^e$ উপরের রৈখিক সিস্টেমের 1 যাইহোক, অনুশীলনে একটি অগত্যা জানেন না $e$ । এটির সাথে মোকাবিলা করার একটি অদক্ষ (তবে এখনও বহুপদী সময়) উপায় হল চেষ্টা করা $e$ সমস্ত মান দিয়ে শুরু $(n+k-1)/2 - 1$ সমাধান না পাওয়া পর্যন্ত নামা হচ্ছে।

আমার প্রশ্নটি: এটি নির্ধারণের জন্য আরও কার্যকর উপায় আছে কি? $e$ ? বিকল্পভাবে, লিনিয়ার সিস্টেমে এমন কোনও পরিবর্তন রয়েছে যা একজনকে উপরের বাউন্ডটি ব্যবহার করতে দেয় $e$ সঠিক মান পরিবর্তে?

বিশেষত আমি রিড-সলোমন কোডগুলির জন্য এই নির্দিষ্ট ডিকোডারটি ব্যবহার করতে চাই, এবং অন্যান্য কৌশলগুলির উপর ভিত্তি করে একেবারে পৃথক অ্যালগরিদম নয়।

ডিডাব্লু এর উত্তরের প্রতিক্রিয়া হিসাবে, এখানে আমার কাজের উদাহরণ। সব কিছু করা হয় মডুলো 7।

plain message is: [2, 3, 2]
polynomial is: 2 + 3 t^1 + 2 t^2
encoded message is: [[0, 2], [1, 0], [2, 2], [3, 1], [4, 4]]
corrupted message is: [[0, 2], [1, 0], [2, 3], [3, 1], [4, 4]]

সুতরাং ত্রুটি তৃতীয় পয়েন্ট।

কখন $e=2$ প্রশ্নে বহুপদী সমীকরণটি

খ_{আমি} (ই_{0} + + ই_{1} এক্স + + ই_{2} {এক্স}^{2}) - {কুই}_{0} - {কুই}_{1} এক্স - {কুই}_{2} {এক্স}^{2} - {কুই}_{3} {এক্স}^{3} - {কুই}_{4} {এক্স}^{4} = 0

$b_i(e_0 + e_1x + e_2x^2) - q_0 - q_1x - q_2 x^2 - q_3x^3 - q_4x^4 = 0$

এবং প্লাগ ইন $x = 0,1,2,3,4$ সিস্টেমটি ম্যাট্রিক্স আকারে দেয়:

[2, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 6, 6, 6, 6, 6, 0]
[3, 6, 5, 6, 5, 3, 6, 5, 0]
[1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 0]
[4, 2, 1, 6, 3, 5, 6, 3, 0]
[0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1]

শেষ সারিটি যে সীমাবদ্ধতা $e_2 = 1$ । আমরা পাই গাউসিয়ান নির্মূলের প্রয়োগ

[1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 4, 0]
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 3, 3, 1]
[0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1]
[0, 0, 0, 1, 0, 0, 2, 1, 0]
[0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 2, 5]
[0, 0, 0, 0, 0, 1, 4, 5, 2]

এবং উভয় বিনামূল্যে ভেরিয়েবলের জন্য 1 বাছাই করা আমরা এর সমাধান ভেক্টর পাই

[2, 2, 1, 4, 1, 0, 1, 1]

যা অনুবাদ করে

E is 2 + 2 t^1 + 1 t^2
Q is 4 + 1 t^1 + 0 t^2 + 1 t^3 + 1 t^4

এবং $E$ বিভক্ত হয় না $Q$ । মনে রাখবেন যে $Q$ কারণ হিসাবে $(t + 6) (t^3 + 2t^2 + 2t + 3) \mod 7$

জন্য $e=1$ আমি একটি ভাল সমাধান পেতে:

system is:    
[2, 0, 6, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 6, 6, 6, 6, 0]
[3, 6, 6, 5, 3, 6, 0]
[1, 3, 6, 4, 5, 1, 0]
[4, 2, 6, 3, 5, 6, 0] 
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 1]

reduced system is:

[1, 0, 0, 0, 0, 0, 5]
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 1]
[0, 0, 1, 0, 0, 0, 3]
[0, 0, 0, 1, 0, 0, 3]
[0, 0, 0, 0, 1, 0, 6]
[0, 0, 0, 0, 0, 1, 2]

solution is [5, 1, 3, 3, 6, 2]
Q is 3 + 3 t^1 + 6 t^2 + 2 t^3
E is 5 + 1 t^1
P(x) = 2 + 3 t^1 + 2 t^2 # this is correct!
r(x) = 0

মনে রাখবেন যে উপরোক্ত কাউন্টারেক্সেক্সটি কোডটি স্ক্র্যাচ থেকে লেখা হয়েছিল (এটি প্রথমত আমি চেষ্টা করেছি), সমাধানগুলি নিজের হাতে বৈধ কিনা তা পরীক্ষা করতে পারে, সুতরাং আমার কোডটি বগি হলেও এটি এখনও দাবির বৈধ প্রতিদ্বন্দ্বী ample যে ব্যবহার করে $e=2$ কাজ করে।

algorithms error-correcting-codes

— JeremyKun
সূত্র

@ DW- এর সমাধান ভেক্টরটি বৈধ। এটি আসলে 1 * 2 + 1 * 1 + 4 * 1 (ম্যাট্রিক্সের শেষ কলামটি বাদ থাকায় সমাধান ভেক্টরের মাত্রিকতা এক বন্ধ)। আমার বাইরে যাওয়া

b_{i}

$b_i$ এখানে লেখার টাইপ একটি টাইপ, তবে আমার বাস্তবায়নে এটি সঠিক। আপনি এর প্রভাব দেখতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ, সিস্টেমের দ্বিতীয় সারিতে যা পয়েন্টটি [1, 0] ব্যবহার করে এবং প্রথম তিনটি এনট্রেস সবগুলি শূন্য কারণ তারা 0 দ্বারা গুণিত হয়েছে তবে আমার উদাহরণটি যদি অস্পষ্ট হয় তবে আমি পোস্ট করতে পারি গিথুবে আমার কোড আমি আমার কোডটিকে পরিষ্কার মনে করি, তবে এটি সাধারণতার কারণে মেসেজার হবে।

— জেরেমিকুন

একই পদ্ধতিটি আসলে যেকোন সংখ্যক ত্রুটি সংশোধন করতে কাজ করে $e$ ।

প্রয়োজনটি হ'ল ত্রুটিটি বহুপদী $E(x)$ প্রতিটি পয়েন্টে শূন্য হতে হবে $a_i$ যেখানে একটি ত্রুটি ছিল। কিছুই বলে না এটি কেবলমাত্র সেই পয়েন্টগুলিতে শূন্য হতে হবে; আপনি একটি করতে পারেন $E(x)$ এটি অন্যান্য পয়েন্টগুলিতেও শূন্য এবং এটি ঠিক আছে, যতক্ষণ তার ডিগ্রি থাকবে $e$ ।

তাই যদি $e$ ত্রুটি সংখ্যার উপর একটি উপরের আবদ্ধ হয়, সেখানে একটি বহুবচন উপস্থিত থাকবে $E(x)$ সমস্ত পছন্দসই বৈশিষ্ট্য সহ (যেমন, ডিগ্রী ঠিক আছে $e$ এবং যেখানে প্রতিটি ত্রুটি রয়েছে সেখানে শূন্য হয়)। উদাহরণস্বরূপ, যদি এর চেয়ে কম থাকে $e$ ত্রুটি, তারপরে একটি বহুপদী রয়েছে $E(x)$ প্রতিটি ত্রুটিতে শূন্য এবং আরও কিছু পয়েন্টে শূন্য হুবহু শূন্যের সংখ্যা পেতে $e$ ।

পরিশেষে, নির্ভুলতা উপপাদ্য বলেছেন যে যদি এই জাতীয় বহুবচন হয় $E(x)$ বিদ্যমান আছে, তারপরে বেরলেক্যাম্প-ওয়েলচ অ্যালগরিদম এটি সন্ধান করতে সক্ষম হবে। সুতরাং, এর চেয়ে কম থাকলেও $e$ ত্রুটিগুলি, প্রক্রিয়াটি এখনও সনাক্ত করতে সঠিকভাবে কাজ করবে $E(x)$ । একদা তোমার ছিলো $E(x)$ , আপনি সনাক্ত করতে পারেন $n-e$ অবস্থানগুলি যা ত্রুটি-মুক্ত এবং তারপরে আপনি সোজা উপায়ে ডিকোড করতে পারেন।

প্রশ্নে "কাউন্টারিক্স নমুনা" সম্পর্কে কথোপকথনের ফলাফলটি নথিভুক্ত করতে:

এটি আসলে কোনও বৈধ কাউন্টারিক্স নমুনা নয়। ত্রুটিটি বেরেলেক্যাম্প-ওয়েলচের সংশোধন করতে সক্ষম হবেন এমন কতটা ত্রুটি আপনার প্রত্যাশা করা উচিত ছিল তার গণনায় ছিল। দূরত্ব হয় $n-k+1$ , তাই আপনার এটি আশা করা উচিত যে এটি পর্যন্ত সংশোধন করতে সক্ষম হবে $(n-k)/2$ ত্রুটি (রন জি পয়েন্ট হিসাবে)। আপনার প্রতিস্থাপনে $n=5$ এবং $k=3$ তাই $(n-k)/2=1$ , সুতরাং আপনার কেবল এই প্রক্রিয়াটি একটি ত্রুটি সংশোধন করতে সক্ষম হওয়ার আশা করা উচিত, যেমন, $e=1$ । সুতরাং, আপনি যখন উদাহরণ দিয়ে পদ্ধতিটি চালিয়েছিলেন $e=2$ , পদ্ধতিটি সঠিকভাবে কাজ করার আশা করার কোনও কারণ নেই।

সুতরাং, কাউন্টারেরেক্সাম্পলটি আসলে একটি কাউন্টারিক্স নমুনা নয় এবং এটি উপরে আমার উত্তরটির বিরোধিতা করে না।

— DW
সূত্র

@ জেরেমিকুন দূরত্ব

n - k + 1

$n-k+1$ যাতে কোডটি সঠিক হতে পারে

(n - k) / 2

$(n-k)/2$ ত্রুটি, তাই না?

— রান

যদিও একটি প্রমাণ অনুপস্থিত, এই উত্তরের ব্যাখ্যাটি আমার কাছে বোধগম্য। জিরো সেট করা হচ্ছে

E (x)

$E(x)$ বহুগুণকে ঘিরে যখন অ্যালগরিদমকে এটি উপেক্ষা করা উচিত "বলুন"। সুতরাং যতক্ষণ না জিরো সেট থাকে

E (x)

$E(x)$ ত্রুটিগুলি ঘটেছে এমন বিন্দুর সেটে রয়েছে , ডিকোডিংয়ের কাজ করা উচিত। এক্ষেত্রে আরও নিখরচায় ভেরিয়েবল থাকা উচিত (অন্য স্থানগুলিকে স্বেচ্ছাসেবীভাবে সেট করার জন্য)।

— রণ জি।

ওওহ এই সমস্যা ... আমি সিঙ্গলটনের গণ্ডি গণ্ডগোল করেছি? সুতরাং যাচাই করার জন্য, যদি আমি সেট করেছিলাম

n = 7

$n = 7$ , একটি ত্রুটি পরিচয় করিয়ে দিন এবং সেট করুন

e = 2

$e=2$ , তারপরে আমাদের সমস্ত কিছু কাজ করার আশা করা উচিত। আমি এখন এটি চেষ্টা করব।

— জেরেমিকুন

ঠিক আছে, এটি উদাহরণগুলির উপর কাজ করে যা আমি চেষ্টা করছি। অসাধারণ!

— জেরেমিকুন