প্রদত্ত মইটি বৈধ কিনা দক্ষতার সাথে কীভাবে নির্ধারণ করবেন?

Question

আমার স্থানীয় স্কোয়াশ ক্লাবে, একটি মই রয়েছে যা নীচের মত কাজ করে।

1. মরসুমের শুরুতে আমরা একটি পৃথক লাইনে ক্লাবের প্রতিটি সদস্যের নাম সহ একটি টেবিল তৈরি করি।
2. তারপরে আমরা প্রতিটি নামের পাশে গেমসের সংখ্যা এবং খেলাগুলির সংখ্যা লিখি (ফর্মটিতে: প্লেয়ারের জয় / গেমস)।

এইভাবে মরসুমের শুরুতে টেবিলটি দেখতে এমন লাগে:

Carol 0/0
Billy 0/0
Alice 0/0
Daffyd 0/0

যে কোনও খেলোয়াড় একটি ম্যাচ খেলতে পারে, এতে একজন খেলোয়াড় জিততে পারে। যদি টেবিলের নীচের অংশের প্লেয়ারটি জিততে পারে তবে খেলোয়াড়দের অবস্থান পরিবর্তন করা হয়। তারপরে আমরা প্রতিটি পদক্ষেপের ২ বার পুনরুক্তি করি এবং প্রতিটি খেলোয়াড়ের পাশের জয় এবং গেমের সংখ্যা আপডেট করে থাকি। উদাহরণস্বরূপ, অ্যালিস যদি বিলিকে মারধর করে তবে আমাদের আছে

Carol 0/0
Alice 1/1
Billy 0/1
Daffyd 0/0

এই ম্যাচগুলি পুরো মরসুম জুড়ে চলে এবং ফলস্বরূপ খেলোয়াড়দের আনুমানিক শক্তি ক্রমে তালিকাভুক্ত করা হয়।

দুর্ভাগ্যক্রমে, হালনাগাদটি বরং এক অচল পথে ঘটে তাই ভুল হয়। নীচে অবৈধ টেবিলগুলির কয়েকটি উদাহরণ দেওয়া আছে, যা কিছু শুরুর আদেশের জন্য উপরের পদক্ষেপগুলি সঠিকভাবে অনুসরণ করে তৈরি করা যায়নি (মরসুমের শুরুতে আমরা যে আদেশটি ব্যবহার করেছি তা ভুলে গিয়েছি) এবং ম্যাচগুলি এবং ফলাফলগুলির ক্রম:

Alice 0/1
Billy 1/1
Carol 0/1
Daffyd 0/0

Alice 2/3
Billy 0/1
Carol 0/0
Daffyd 0/0

Alice 1/1
Billy 0/2
Carol 2/2
Daffyd 0/1

একটি সারণী দেওয়া, আমরা কার্যকরভাবে এটি কার্যকর কিনা তা নির্ধারণ করতে পারি? আমরা নিম্নলিখিতটি উল্লেখ করে শুরু করতে পারি:

1. নামগুলির ক্রম কোনও ব্যাপার নয়, যেহেতু আমরা আসল শুরুর আদেশটি ভুলে গিয়েছি।

2. মোট জয়ের সংখ্যা খেলাগুলির সংখ্যার অর্ধেক যোগ হওয়া উচিত। (এটি দেখায় যে উপরের প্রথম উদাহরণটি অবৈধ))

3. ধরুন টেবিলটি বৈধ is তারপরে একটি মাল্টিগ্রাফ রয়েছে - একটি গ্রাফ একাধিক প্রান্তকে স্বীকার করে তবে কোনও লুপ নেই - প্রতিটি খেলোয়াড়ের সাথে প্রতিটি ভার্টেক্সের সাথে মিলিত হয় এবং প্রতিটি প্রান্ত ম্যাচের সাথে মিলিত হয়। তারপরে প্রতিটি খেলোয়াড়ের দ্বারা খেলানো মোট খেলাগুলির বহুগুণে প্লেয়ারের ভার্টেক্সের ডিগ্রির সাথে মিল রয়েছে। সুতরাং যদি উপযুক্ত ভার্টেক্স ডিগ্রিগুলির সাথে কোনও মাল্টিগ্রাফ না থাকে, তবে অবশ্যই টেবিলটি অবৈধ। উদাহরণস্বরূপ, এক ডিগ্রি এক এবং একটি ডিগ্রি তিনটির একটি ভার্টেক্স সহ কোনও মাল্টিগ্রাফ নেই, তাই দ্বিতীয় উদাহরণটি অবৈধ। [আমরা এই জাতীয় মাল্টিগ্রাফের অস্তিত্বের জন্য দক্ষতার সাথে পরীক্ষা করতে পারি]]

সুতরাং আমাদের দুটি চেক রয়েছে যা দিয়ে শুরু করার জন্য আমরা আবেদন করতে পারি, তবে এটি তৃতীয় উদাহরণের মতো অবৈধ টেবিলগুলিকে অনুমতি দেয়। এই টেবিলটি অবৈধ আছে তা দেখতে, আমরা টেবিলটি উত্থাপিত হতে পারে এমন সমস্ত সম্ভাব্য উপায়ে ক্লান্ত হয়ে পিছনের দিকে কাজ করতে পারি।

আমি ভাবছিলাম যে এই সিদ্ধান্তটির সমস্যা সমাধানের জন্য অ্যালগোরিদমটি কোনও বহুপদী সময় (প্লেয়ার সংখ্যা এবং গেমের সংখ্যায়) কেউ ভাবতে পারেন কিনা?

Comments

পরিচালিত মাল্টিগ্রাফগুলির জন্য সম্ভবত একটি হাভেল হাকিমি টাইপ উপপাদ্য রয়েছে ...

— আর্যভট্ট

তৃতীয় উদাহরণ কেন সম্ভব হচ্ছে না? অ্যালিস ববকে জিতলে কী হবে, ক্যারল ববকে ও ক্যারল জিতেছে ড্যাফাইডকে। তারপরে অ্যালিস 1 টি গেমের মধ্যে 1 জিতেছে, বব 2 টি গেমের মধ্যে 0 জিতেছে, ক্যারল 2 টি গেমের 2 জিতেছে এবং ডাফাইড 1 টি গেমের মধ্যে 0 জিতেছে?

— উদ্বিগ্ন

উদ্বিগ্ন: প্রতিটি গেমের পরে, নিম্ন প্লেয়ার জিতলে, প্লেয়ারগুলি স্যুইচ করা হয়। তৃতীয় উদাহরণটি সম্ভব তা দেখানোর জন্য আপনাকে প্রথমে একটি কনফিগারেশন এবং গেমের ক্রম দেওয়া দরকার - এটি একটি আদেশ সহ - প্রদত্ত টেবিলের ফলস্বরূপ।

— বেন

আর্যভট্ট: ধন্যবাদ - হ্যাঁ, এটি একটি কার্যকর পদক্ষেপ হবে। দুর্ভাগ্যক্রমে, এটি বরং শক্ত শোনায় ...

— বেন

এটি অধ্যয়ন / সমাধান করার জন্য একটি পরামর্শ। এটি স্যাট সমস্যা হিসাবে উল্লেখ করুন। তারপরে অনেক এলোমেলো ক্ষেত্রে চেষ্টা করুন। মানক সলভারের জন্য কোনও কঠিন কিনা তা দেখুন। যদি তা না হয়, তবে এটি পি।

— ভিজেএন

Answer 1

এটি সম্পূর্ণ উত্তর নয়। আমি সমস্যার একটি সহজ বক্তব্য এবং কিছু মন্তব্য।

আমরা এমন একটি গ্রাফ দিয়ে শুরু করি যেখানে শীর্ষস্থানগুলি দিয়ে লেবেলযুক্ত রয়েছে ।$[n]$

আমাদের একটি অপারেশন রয়েছে যা গ্রাফের জন্য থেকে পর্যন্ত নির্দেশিত প্রান্ত যুক্ত করে এবং যদি তাদের লেবেল স্যুইচ করে।তোমার দর্শন লগ করা ঠ একটি খ ই ঠ ( বনাম ) < ঠ একটি খ ই ঠ ( U $v$$u$$label(v)<label(u)$

শিখর এবং প্রান্ত সহ একটি নির্দেশিত মাল্টি-গ্রাফ দেওয়া , উপরের ক্রিয়াকলাপটি ব্যবহার করে এটি প্রাপ্ত করা যায় কিনা তা পরীক্ষা করুন।এন $G$$n$$e$

এটি দেখতে যে সমস্যা রয়েছে সহজ : একটি শংসাপত্রটি (বহুপদী আকারের) ফলে অপারেশনের ক্রম ।$\mathsf{NP}$$G$

পর্যবেক্ষণ

দেখে মনে হচ্ছে যে আমরা সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই ধরে নিতে পারি যে শেষ প্রান্তের সমস্ত প্রান্তটি ক্রমটির শেষে যুক্ত করা হয়েছে এবং এটি থেকে সমস্ত প্রান্তগুলি ক্রমের শুরুতে যুক্ত করা হয়েছে। এটি অন্যান্য শীর্ষেকে সাধারণ করা যেতে পারে। ধরে নিন যে আমরা লেবেল চেয়ে বড় লেবেলযুক্ত সমস্ত শীর্ষবিন্দু সরিয়েছি । সকল প্রান্ত ক্রম শেষে যোগ করা হয় এবং সকল প্রান্ত ক্রম শুরুতে যোগ করা হয়।v $label(v)$$v$$v$

আমি মনে করি যে বহু -কালিক অ্যালগরিদম দেওয়ার জন্য হাভেল-হাকিমির সাথে এই পর্যবেক্ষণটি একত্রিত করা সম্ভব হবে ।

Comments

হাই। ধন্যবাদ. মইয়ের প্রসঙ্গে আপনার পর্যবেক্ষণটিকে আবারো কীভাবে যুক্ত করা উচিত মনে করবেন? আমি মনে করি অর্ডার 3 এর গ্রাফের জন্য একটি পাল্টা নমুনা রয়েছে তবে সম্ভবত আমি ভুল পড়েছি।

— বেন

@ বেন, আমি মনে করি এটি নিম্নলিখিত হবে: আপনি ধরে নিতে পারেন যে মইয়ের শেষ ব্যক্তিটি টুর্নামেন্টের শুরুতে যে সমস্ত গেম জিতেছিল সেগুলি খেলেছিল এবং টুর্নামেন্টের শেষে যে সমস্ত গেমটি সে হেরেছে সেগুলি খেলেছিল । যদি এর কোনও পাল্টা উদাহরণ থাকে তবে আমাকে জানান, আমি এটি সাবধানতার সাথে পরীক্ষা করে দেখিনি।

— কাভেঃ

দুর্ভাগ্যক্রমে, এর মতো মই রয়েছে: এ 2/2 বি 0/1 সি 0/1

— বেন

@ বেন, আমি মনে করি উদাহরণটি আমি যা লিখেছি তার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, অর্থাত্ পর্যবেক্ষণের পক্ষে এটি কোনও পাল্টা উদাহরণ নয়।

— কাভেঃ

মই বৈধ। আসুন ধরে নেওয়া যাক শেষ খেলাটি সি'র জন্য ক্ষতি ছিল Then অতএব, আমরা ধরে নিতে পারি না শেষ খেলাটি সি এর জন্য একটি ক্ষয়ক্ষতি ছিল

— বেন

Answer 2

আমি সমস্যার সমাধান করি নি, তবে আমার আংশিক ফলাফল রয়েছে, যার বিবৃতি নীচে দেওয়া হয়েছে। কারও আগ্রহী হলে আমি প্রমাণগুলি লিখে রাখব।

প্রস্তাব । মনে করুন যে মই (1) এ একাধিক খেলোয়াড় রয়েছে (2) সমান সংখ্যক জয় এবং ক্ষয় রয়েছে; এবং (3) এমন যে প্রতিটি প্লেয়ার কমপক্ষে একটি গেম জিতেছে এবং কমপক্ষে একটি গেম হারিয়েছে। মই বৈধ।

$W_i$$i$$L_i$$i$$R_i$

$L_i=0$

$$W_i \le \sum_{k:R_k > R_i, W_k > 0} (L_k - 1)^+ + \sum_{k:R_k<R_i}L_k,$$ $L_i$$W_i=0$