একটি বর্গাকার ক্রোম্যাটিক বহুবচন

Question

একটি বর্গ বিবেচনা করুন, এবিসিডি। স্বজ্ঞাতভাবে আমার কাছে মনে হয়েছিল যে এর রঙিন বহুবর্ষটি যেখানে রঙ উপলব্ধ ..$\lambda(\lambda - 1)(\lambda - 1)(\lambda - 2)$$\lambda$

এটি এমন উপায় রয়েছে যেখানে A এর জন্য একটি রঙ বাছাই করা যায়, সেখানে B এবং D এর জন্য রঙগুলির জন্য উপায় (B এবং D এ এর ​​সাথে সংলগ্ন) এবং রঙের জন্য উপায় সি বাছাই করার জন্য।λ - 1 λ - $\lambda$$\lambda - 1$$\lambda - 2$

তবে পঁচন তত্ত্বটি (47 স্লাইড, উদাহরণ 11.33) ব্যবহার করে এবং বর্গক্ষেত্রকে 3 এবং একটি ত্রিভুজের পথে বিভক্ত করা দেখায় যে আমার প্রাথমিক যুক্তিটি ভুল।

আমার চিন্তাভাবনা নিয়ে আমি কোথায় ভুল করছি আমাকে বলতে পারেন?

Answer 1

আপনাকে অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে একে অপরের থেকে শীর্ষে ত্রিভুজ একই রঙ করা যায়! আপনার সূত্র এটি বিবেচনায় নেয় না। অন্তর্ভুক্তি-বর্জন নীতির মাধ্যমে আমরা কোনও গ্রাফের ক্রোম্যাটিক সংখ্যাটি পাই। এটি একটি খুব সাধারণ গণনা কৌশল যা আমাদের জটিল কাঠামোগুলি গণনা করতে সহায়তা করে, যদি আমরা কিছু সাবসেটের নির্দিষ্ট সীমাটি প্রমাণ করতে পারি।

মূল ধারণাটি হ'ল আমরা কিছু সম্পত্তি হওয়ার সম্ভাব্য সমস্ত উপায় গণনা করি। তারপরে আমরা কিছু "খারাপ" আইটেম সরিয়ে ফেলি। তবে, আমরা খুব বেশি সরিয়ে ফেলেছি এবং কিছু "ভাল" আইটেম যুক্ত করতে হবে। আমরা সমস্ত সাবসেটের মধ্য দিয়ে না যাওয়া পর্যন্ত এটি পিছনে পিছনে যায়।

অন্তর্ভুক্তি-বর্জন নীতি আমাদের যে বলে কিছু স্থল সেট দেওয়া , এর উপাদানের সংখ্যা এক্স যা সাব-সেট নির্বাচন কেউই থাকা একজন আমি হয় Σ আমি ⊆ [ এন ] ( - 1 ) | আমি | | এ আই | $|X|=n$$X$$A_i$

$$\sum_{I \subseteq [n]} (-1)^{|I|}|A_I| \text{, where } \\ I \text{ is the set of indices in } X \text{ and } A_I = \bigcap_{i \in I} A_i$$

যাক রঙের সংখ্যা হতে, এবং দিন এক্স সব সম্ভব রং সেট হতে (অর্থাত, | এক্স | = λ 4 ), এবং দিন একটি ই = { শোভা : ই = ( আমি , ঞ ) ∈ ই , রঙ ( আমি ) = রঙ ( জে ) $\lambda$$X$$|X| = \lambda^4$

$$A_{e} = \{\text{coloring} : e=(i,j) \in E, \text{color}(i) = \text{color}(j) \}$$

আগে আমরা আমাদের চূড়ান্ত বহুপদী পেতে, আমরা আমাদের সেট আকার গণনা প্রয়োজন , এবং সমস্ত ছেদ সাব-সেট নির্বাচন মাপ।$A_{e}$

পর্যবেক্ষণ করুন । এটি কেবলমাত্র আমরা রঙিন জি রঙের কারণে কিন্তু প্রতিবেশী কোণে অবস্থিত সর্বদা একই রং বাছাইয়ের কারণে। আমাদের এগিয়ে আছে,$|A_{12}| = |A_{23}| = |A_{34}| = |A_{41}| = \lambda^3$$G$

$|A_{12} \cap A_{23} | = |A_{23} \cap A_{34} | = |A_{34} \cap A_{41}| = |A_{41} \cap A_{12}| = |A_{12} \cap A_{34}| = |A_{41} \cap A_{23}| = \lambda^2$

আমি প্রতিটি 3-সেট তালিকার জন্য যাচ্ছি না, তবে তাদের সকলেরই একই গণনা রয়েছে। । এবং অবশেষে, | এ 12 ∩ এ 23 ∩ এ 34 ∩ এ 41 | = λ । এখন আমাদের পদগুলি সংগ্রহ করতে এবং যোগ করতে দিন।$|A_e \cap A_{e'} \cap A_{e''}| = \lambda$$|A_{12} \cap A_{23} \cap A_{34} \cap A_{41}| = \lambda$

$$\lambda^4 - 4\lambda^3 + 6\lambda^2 - 4\lambda + \lambda = \lambda^4 - 4\lambda^3 + 6\lambda^2 - 3\lambda$$

এখন এই সমস্যার জন্য অন্তর্ভুক্তি-বর্জন সহ গণনা এতটা খারাপ ছিল না কারণ আমাদের একটি সাধারণ 4-চক্র ছিল। যদি গ্রাফটির আরও কাঠামো থাকে তবে এটি সম্ভব সমস্ত ছেদগুলির জন্য প্রতিটি ছেদ আকারের আকার বের করে তাড়াতাড়ি বিরক্তিকর হয়ে উঠত।

Answer 2

উপরে নিকোলাস দ্বারা উত্তর এবং এই এক আমার চিন্তাধারায় ত্রুটি দেখতে সাহায্য করেছিল। আমি নিকোলাসের উপর আরও সুনির্দিষ্টভাবে বিশদ বর্ণনা করার কথা ভেবেছিলাম,

আপনাকে অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে একে অপরের থেকে শীর্ষ সূচিগুলি একই রঙ করা যায়

এবং আমার ভুল যুক্তির জন্য সামঞ্জস্য করে ক্রোমাটিক বহুভুজও পান।

$\lambda - 2$$\lambda - 1$

$P(ABCD, \lambda)$
$λ(λ−1)(1)(λ−1) + λ(λ−1)(λ−2)(λ−2)$