ভলিউম প্রদত্ত পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল হ্রাস করতে অ্যালগরিদম

Question

নিম্নলিখিত আলগোরিদিমিক কাজ বিবেচনা করুন:

ইনপুট: একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $n$ , তার উত্তর দিবেন সহ
খুঁজুন: ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $x,y,z$ যে কমান , সীমাবদ্ধতা সাপেক্ষে যে$xy+yz+xz$$xyz=n$

এই সমস্যার জটিলতা কী? বহু-কালীন অ্যালগরিদম আছে? এটা কি এনপি-হার্ড?

---

এই সমস্যাটি মূলতঃ জিজ্ঞাসা করে: আয়তক্ষেত্রাকার ঘনগুলির মধ্যে যার ভলিউম এবং যার মাত্রা সমস্ত পূর্ণসংখ্যার, কোনটির নিম্নতম পৃষ্ঠতল রয়েছে?$n$

এই সমস্যাটি ড্যান মেয়ারের দ্বারা উত্থাপন করা হয়েছিল, দ্য ম্যাথ প্রব্লেম যে 1,000 গণিত শিক্ষক সমাধান করতে পারেন নি । এখনও পর্যন্ত তিনি যে গণিতের শিক্ষকদের সাথে কাজ করেছেন তাদের কেউই এই সমস্যার জন্য যুক্তিসঙ্গত অ্যালগরিদম খুঁজে পায়নি। তাঁর প্রসঙ্গে, "যুক্তিসঙ্গত" সংজ্ঞাটি কিছুটা অসম্পূর্ণ, তবে কম্পিউটার বিজ্ঞানী হিসাবে আমরা এই সমস্যার জটিলতা সম্পর্কে আরও সুনির্দিষ্ট প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে পারি।

স্পষ্ট পদ্ধতির জন্য সমস্ত সম্ভাবনা গণনা করা , তবে এটি ক্ষতিকারক সময় নেয়। ড্যান মেয়ারের ব্লগে মন্তব্যকারীরা অনেক দক্ষ প্রার্থী অ্যালগরিদম প্রস্তাব করেছেন যা দুর্ভাগ্যক্রমে সমস্তই ভুল হিসাবে দেখা গেছে। মার্টিন স্ট্রাউস পরামর্শ দিয়েছেন যে এই সমস্যাটি অস্পষ্টভাবে 3-বিভাজনের স্মৃতি মনে করে , তবে আমি কোনও হ্রাস দেখতে পাচ্ছি না।$x,y,z$

---

আমি মন্তব্য / উত্তরে দেখেছি এমন কিছু ভুল ধারণাও পরিষ্কার করতে দিন:

• আপনি কেবল প্রতিটি সংখ্যা প্রতিস্থাপন 3-পার্টিশন থেকে কমাতে পারে না তার ক্ষমতা সঙ্গে 2 কুই , যেমন দুটি সমস্যা উদ্দেশ্য ফাংশন ভিন্ন। সুস্পষ্ট হ্রাস কেবল কাজ করে না।$q$$2^q$

• এটা সত্য নয় যে সন্তোষজনক সমাধান জড়িত এক অবচয় $x,y,z$ নিকটতম ভাজক হতে $n$ করা $\sqrt[3]{n}$ । আমি একাধিক লোককে দেখেছি যারা ধরে নিচ্ছে এটি কেস, তবে বাস্তবে এটি সঠিক নয়। এটি ইতিমধ্যে ড্যান মায়ার ব্লগ পোস্টে অস্বীকার করা হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ,বিবেচনা করুন$n=68$; $\sqrt[3]{68} \approx 4$, এবং 4 ভাগ 68, তাই আপনার মনে হতে পারে যে অন্তত একটি$x,y,z$4 হওয়া উচিত; তবে, এটি সঠিক নয়। অনুকূল সমাধানটি হল$x=2$,$y=2$,$z=17$। অন্য কাউন্টারিক্স নমুনা হল$n=222$,$\sqrt[3]{222}\approx 6$, তবে অনুকূল সমাধানটি$x=37$,$y=3$,$z=2$। (এটাপারেসত্য যে সব হতে$n$, সন্তোষজনক সমাধান জড়িত অন্তত এক তৈরীর$x,y,z$পারেন ক্ষুদ্রতম ভাজক সমান হতে$n$অধিক মাপের$\sqrt[3]{n}$ বাসর্ববৃহৎ ভাজক$n$চেয়ে ছোট$\sqrt[3]{n}$ - এই মুহূর্তে আমার কাছে কোনও পাল্টা নমুনা নেই - তবে আপনি যদি এই বিবৃতিটি সত্য বলে মনে করেন, তবে তার প্রমাণের প্রয়োজন হবে। আপনি একেবারে সত্য বলে ধরে নিতে পারবেন না))

• " একই আকার করুন" অগত্যা সব ক্ষেত্রেই সর্বোত্তম উত্তর পাওয়া যায় বলে মনে হয় না; পাল্টা উদাহরণগুলির জন্য ড্যান মেয়ারের ব্লগ পোস্ট দেখুন। বা, কমপক্ষে, "এগুলিকে মোটামুটি একই আকারে করুন" এই উক্তিটির কিছু যুক্তিসঙ্গত ব্যাখ্যার জন্য এমন কিছু পাল্টা উদাহরণ রয়েছে যা দেখায় যে এই কৌশলটি বাস্তবে অনুকূল নয়। আপনি যদি এই ধরণের কিছু কৌশল চেষ্টা করতে চান তবে নিশ্চিত হয়ে নিন যে আপনি দাবিটি যথাযথভাবে বর্ণনা করেছেন এবং তারপরে একটি সাবধানে গাণিতিক প্রমাণ সরবরাহ করুন।$x,y,z$

• এর চলমান সময় বহুপদী নয়। এই সমস্যাটি পি তে থাকার জন্য, চলমান সময়টি ইনপুটটির দৈর্ঘ্যের মধ্যে বহুবচন হতে হবে । ইনপুটটির দৈর্ঘ্য হ'ল এলজি এন , এন নয় । সুস্পষ্ট ব্রুট-ফোর্স অ্যালগরিদমটি ও ( এন 3 ) বা ও ( এন 2 ) সময়ে চালানোর জন্য তৈরি করা যেতে পারে তবে এটি এলজি এন- তে ক্ষতিকারক এবং সুতরাং এটি একটি ক্ষতিকারক-সময় অ্যালগরিদম হিসাবে গণনা করা হয়। সুতরাং যে সহায়ক নয়।$O(n^3)$$\lg n$$n$$O(n^3)$$O(n^2)$$\lg n$

Comments

মজাদার. আমার নিষ্পাপ দৃষ্টিভঙ্গি হবে "মেক মোটামুটি একই আকারের", এই ধারণাটি সাধারণকরণ যে ঘনক্ষেত্রটি প্রদত্ত পরিমাণের জন্য সবচেয়ে ছোট পৃষ্ঠের আয়তক্ষেত্রাকার শক্ত solid কাজ করবে? এবং যদি তাই হয়: আমি কীভাবে দক্ষতার সাথে এটি করব তা দেখছি না, তবে এমন কোনও হ্রাস রয়েছে যা অর্জন করা সহজ, সম্ভবত? $x,y,z$

— জি। বাখ

আপনার হ্রাস একটি দুঃস্বপ্ন হতে চলেছে যেহেতু আপনার পক্ষে উপযুক্ত প্রাথমিক সংখ্যা তৈরির উপায় দরকার। আপনি যে সর্বোত্তম আশা করতে পারেন তা হ'ল একটি এলোমেলোভাবে হ্রাস, ডাইরিচলেটের উপপাদ্য জাতীয় কিছু ব্যবহার করে উপযুক্ত প্রাইমগুলি তৈরি করতে পারে তবে এটি অসম্ভব বলে মনে হয়।

— টম ভ্যান ডার জ্যান্ডেন

@ G.Bach আমি মনে করি ব্লগ নিবন্ধ যে শিরা এর হিউরিস্টিক একটি গুচ্ছ বিবেচনায় (যেমন, প্রতিটি দিয়ে শুরু নিকটতম পূর্ণসংখ্যা হতে 3 $x,y,z$ এবং তারপরে এগুলি একটি সামান্য বিট সামঞ্জস্য করুন) এবং প্রত্যেকটির জন্য সুস্পষ্ট প্রতিরূপ উদাহরণ দেখায়। তবে সম্ভবত আপনার কাছে এমন একটি অ্যালগরিদম আছে যা তারা বিবেচনা করেনি? $\sqrt[3]{n}$

— ডিডাব্লিউ

oeis.org/A075777 একটি অ্যালগরিদম দাবি করেছে বলে মনে হচ্ছে তবে এটি অরণ্যযুক্ত বলে মনে হচ্ছে (এন = 1332 উদাহরণস্বরূপ 6,6,37 এর পরিবর্তে 9,4,37 জেনারেট করে)

— স্কট ফারার

এখানে একটি পর্যবেক্ষণ যা কার্যকর হতে পারে's প্রদত্ত , অনুকূল Y , z- র না আসলে "সরল স্বপ্ন" সন্তুষ্ট তারা কারণের জোড়া হতে হবে এন / এক্স নিকটতম করার $x$$y,z$$n/x$ । (এটি প্রমাণ করা সহজ)) একটি অনুকূল সমাধানেx∗,y∗,z∗, এই শর্তটি একই সাথে তিনটি ভেরিয়েবলের জন্য রাখা উচিত:x∗,y∗জেড∗এর সাথে সম্পর্কিত জুটিetc. ইত্যাদি Onez, কেবলমাত্র একটি সম্ভাব্য জুড়িx,yযা এটি অনুকূল হতে পারে। দুর্ভাগ্যক্রমে, (1) এই শর্তটিস্বতন্ত্রভাবেসর্বোত্তম ট্রিপল সনাক্তকরে না; (২) আমি কীভাবে সম্পর্কিত জুটি দ্রুত খুঁজে পেতে পারি তা দেখছি না। $\sqrt{n/x}$$x^*,y^*,z^*$$x^*,y^*$$z^*$$z$$x,y$

— usul

Answer 1

এখানে "কিউব মূলের নিকটে বিভাজক চয়ন করুন" অ্যালগরিদমের একটি পরিবর্তিত সংস্করণ version এটি এখনও অনেক ক্ষেত্রে জোর করে জোর করা উচিত, সুতরাং আমি নিশ্চিত নই যে সমস্ত ক্ষেত্রে গুনের তুলনায় এটি কতটা বাস্তব উন্নতি হবে speed তবে, আমি এটিকে ওইআইএসের অ্যালগরিদমের সংশোধন হিসাবে জমা দিয়েছি (যা ভুল ফলাফল উত্পন্ন করেছিল) কারণ আমি বিশ্বাস করি এটি কমপক্ষে সঠিক হওয়া উচিত।

আয়তক্ষেত্রাকৃত প্রিজমের ভলিউম এন প্রদান করার জন্য এখানে (s1, s2, s3) অ্যালগরিদম এবং পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলটি পাওয়া যাবে:

1. এন দেওয়া হয়েছে, কিউব রুটটি সন্ধান করুন।
2. সেই কিউব মূলের সিলিংয়ে একটি প্রাথমিক মান পূর্ণসংখ্যার এস 1 সেট করুন।
3. S1 টি n এর বিভাজক কিনা তা পরীক্ষা করুন এবং তা না হলে s1 কে 1 দ্বারা হ্রাস করুন।
4. যদি কোনও বিভাজক এস 1 পাওয়া যায় তবে (এন / এস 1) এর বর্গমূলের সিলিং হতে একটি প্রাথমিক এস 2 সেট করুন।
5. তারপরে এস 2 এন / এস 1 এর বিভাজক কিনা তা পরীক্ষা করুন এবং তা না হলে এস 2 কে 1 দ্বারা হ্রাস করুন।
6. যখন কোনও বিভাজক s2 পাওয়া যায়, তখন s3 n / (s1 * s2) এ সেট করা থাকে।
7. বর্তমান পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 2 * (s1 * s2 + s1 * s3 + s2 * s3) দ্বারা গণনা করা হয়।
8. বর্তমান এসএকে বর্তমানের সর্বনিম্নের সাথে তুলনা করা হয়। যদি এটির প্রথম পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল গণনা করা হয় তবে এটি মিনিএসএ হিসাবে সঞ্চিত হয়। প্রথমটির পরে, আমরা বর্তমান এসএ minSA এর চেয়ে ছোট কিনা তা পরীক্ষা করে দেখি এবং যদি তা হয় তবে এটি minSA এ সঞ্চয় করুন।

এই অ্যালগরিদম কিছু ট্রিপল (এস 1, এস 2, এস 3) গণনা করে তবে কেবল কিউব মূলের নীচে বিভাজকদের পরীক্ষা করা প্রয়োজন। (যেহেতু তিনটি বিভাজনই কিউব মূলের উপরে হতে পারে না)। একই ধরণের ক্ষেত্রে, এস 2 এর কেবলমাত্র এন / এস 1 এর বর্গমূলের নীচে এন / এস 1 এর বিভাজকদের পরীক্ষা করা দরকার, কারণ উভয় বিভাজক বর্গমূলের উপরে হতে পারে না)

পদক্ষেপ 3 এ একটি নোট: যদি কিউব মূলটি একটি বিভাজক হয় তবে n একটি ঘনক্ষেত্র হয় এবং আমরা বাক্সের (স 1, এস 1, এস 1) ন্যূনতম পৃষ্ঠতল 6 * এস 1 ^ 2 দিয়ে সেখানে থামাতে পারি।

পাইথন:

import math
def minSArectprism(n):
    s1_0 = int(math.ceil(n ** (1 / 3.0))) 
    minSA=-1
    s1 = s1_0
    while s1>=1:
        while n % s1 > 0:  
            s1 = s1 - 1
        s1quot = int(n/s1) 
        s2_0 = int(math.ceil(math.sqrt(n/s1)))
        s2 = s2_0
        while s2>=1:
            while s1quot % s2 > 0:
                s2 = s2 - 1
            s3 = int(n / (s1 * s2))  
            SA = 2*(s1*s2 + s1*s3 + s2*s3)  
            if minSA==-1:
                minSA=SA
            else:
                if SA<minSA:
                    minSA=SA
            s2 = s2 - 1
        s1 = s1 - 1    
    return minSA

Comments

আপনার অ্যালগরিদম তাত্পর্যপূর্ণ সময় নেয়। প্রতিটি লুপ প্রায় 3 √ পরীক্ষা করে √ সম্ভাব্য প্রার্থী, তাই চলমান সময়হে( 3 $\sqrt[3]{n}$, যা সূচকীয় না বহুপদী সময়। সুতরাং, এই অ্যালগরিদম প্রশ্নের উত্তর দেয় না। (আমি ইতিমধ্যে প্রশ্নে একটি ক্ষতিকারক-সময়ের অ্যালগরিদমের উল্লেখ করেছি।)$O(\sqrt[3]{n}^2) = O(n^{2/3})$

— ডিডাব্লু

হুম, y এন এর ঘনক্ষেত্রের মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়, উদাহরণস্বরূপ, এন = 1332, আমরা শেষ পর্যন্ত এস 1 = 2 পরীক্ষা করব, যার অর্থ এস 2 1332/2 এর বর্গমূলের অধীনে হবে 26 = 26. প্রকৃতপক্ষে (2,18, 37) কিউব মূলের উপরে y এবং z দিয়ে পরীক্ষা করা হয়।

— স্কট ফারার 18

@ স্কটফারার, হ্যাঁ, আমি জানি। আমি জটিলতার বিশ্লেষণের সমস্ত অজানা বিবরণ অন্তর্ভুক্ত করি নি; একটি মন্তব্যে জায়গা ছিল না। আপনি যদি বিব্রত বিশদটি অন্তর্ভুক্ত করেন তবে আমার মনে হয় আপনি আমার উদ্ধৃত সময়টি পেয়ে যাবেন। আপনি হয় আমাকে বিশ্বাস করতে পারেন :-), বা এই বিশ্রী বিবরণ সম্পর্কে আরও জানতে আমাদের রেফারেন্স প্রশ্নটি পড়তে পারেন। যাই হোক, এমনকি যদি আপনি ভিতরের লুপ মুছে, বাইরের লুপ এখনও আছে পুনরাবৃত্তিও, তাই আপনার অ্যালগরিদম চলমান সময় অন্তত হয় Ω ( ঢ 1 / 3 ) - অর্থাত, এটা অবশ্যই সূচকীয়। $\Theta(n^{1/3})$$\Omega(n^{1/3})$

— ডিডাব্লু

Answer 2

সমস্যাটি অবশ্যই ফ্যাক্টরিং জটিলতার সাথে সম্পর্কিত যদি প্রধান ক্ষয় না দেওয়া হয়। কারণগুলি এবং সমস্ত মৌলিক উপাদানগুলির লগ গ্রহণ করার ফলে, এই পার্টিশনটি পার্টিশনের পরিমাণগুলির বিচ্যুতি-মধ্য-গড়কে হ্রাস করার মতোই বলে মনে হয় (অনুশীলন, সম্ভবত বিশ্লেষণাত্মক বা পরীক্ষামূলকভাবে, এই স্বজ্ঞাত সান্নিধ্যকে কত ঘনিষ্ঠভাবে আবিষ্কার করুন) সমস্যা ধারণ করে)।$k$

এখানে এই 3-উপায় ক্ষেত্রে দেখা যায় (পার্টিশন অঙ্কের হয় )। 2-মুখের কেসটি ব্যাপকভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে এবং এটি এনপি হার্ড (1 ^ম রেফারেন্ট থেকে)। (এই দ্বিমুখী কেসটি জানা এনপি-সম্পূর্ণ দ্বি-পার্ট পার্টিশন সমস্যার মতো একই নয় যেখানে পার্টিশনের পরিমাণগুলি সমান Note দ্রষ্টব্য সমান পার্টিশনের যোগফলগুলি পার্টিশনের অঙ্কগুলিতে 0 বিচ্যুতি বোঝায় এবং বিপরীতে )) 2- ^রেড রেফারেন্স 3- উপায় এবং এন- ওয়ে পার্টিশন, আংশিকভাবে বুদ্ধিমানভাবে যেখানে 2-ওয়ে মামলার মতো অধ্যয়ন নেই।$\log(x), \log(y), \log(z)$$n$

• সবচেয়ে সহজ সমস্যা: সংখ্যা বিভাজন / Mertenes

• মাল্টি-ওয়ে নম্বর পার্টিশন / কর্ফ

Comments

এই উত্তরটি সহায়ক নয় এবং প্রশ্নের উত্তর দেয় না। ১. আমি অনুমান বা প্রমাণ খুঁজছি, অনুমান নয়। বিচ্যুতি হ্রাস করা একটি সর্বোত্তম সমাধান দেয় এমন কোনও প্রমাণ নেই। এমনকি যদি এটি সত্য হয় তবে এটি প্রশ্নের উত্তর দেবে না: এটি বিচ্যুতি হ্রাস করার জটিলতা আমাদের জানায় না। ২. প্রথম রেফারেন্সটি প্রায় ২-পার্টিশন। আমাকে 2-পার্টিশনের বিষয়ে একটি রেফারেন্সে নির্দেশ করা সহায়ক নয়। আমার সমস্যাটি কেবল 3-পার্টিশন (বা 2-বিভাজন) নয় কেন আমি প্রশ্নটিতে ইতিমধ্যে ব্যাখ্যা করেছি। যে সমস্যার বিষয়ে আমি জিজ্ঞাসা করি না তার বৈকল্পিক সম্পর্কিত একটি কাগজ সহায়ক নয়।

— DW

$n=68$$1,4,17$$2.85342$$2,2,17$$|\log(x)-\mu|+|\log(y)-\mu|+|\log(z)-\mu|$$\mu=(\log(x)+\log(y)+\log(z))/3$

ঠিক আছে! এই অ্যালগরিদমটি সঠিক ছিল এমন কোনও দাবি কখনও হয়নি, এটি কয়েকটি উদাহরণের মন্তব্য এবং মন্তব্যে অন্যদের পরামর্শের ভিত্তিতে তৈরি হয়েছিল। এটি কেবলমাত্র একটি একক পাল্টে দেওয়া নমুনা (আপনি নির্দেশ করেছেন যে সংশোধিত পোস্টে ন্যূনতম বিচ্যুতি পদ্ধতিটি ত্রুটিযুক্ত )। এই অ্যালগরিদম "কত ঘন ঘন" একটি সঠিক সমাধান দেয় তা প্রশ্ন আকর্ষণীয় কারণ এটি সঠিক অপ্টিমাইজেশন মেট্রিককে কিছু সংকেত দিতে পারে। অনুমান এই অ্যালগরিদম "প্রায়শই" সঠিক উত্তর দেয়। 2-উপায় সুত্র একটি দেখানোর জন্য বিচ্যুতি সমস্যা যা সাধারণত থেকে ভিন্ন সংস্করণ সঠিক উইকিপিডিয়া ইত্যাদি সংস্করণটি

— vzn

এছাড়াও Lakatos দেখতে প্রমাণের refutations

— vzn

Answer 3

সম্পাদন করা

দ্রুত অ্যালগরিদমের কেন অস্তিত্বের সম্ভাবনা নেই তার জন্য এখানে একটি অনানুষ্ঠানিক যুক্তি। এই বাক্যটি পরিবর্তিত হয়নি, তবে আমি এখানে যা ব্যবহার করতাম তা এড়িয়ে গিয়েছি কারণ এটি পরবর্তী বিভাগের আনুষ্ঠানিক প্রমাণের মতো অনেকটা কাঠামোযুক্ত ছিল এবং আলোচনাটি তার বাগগুলিতে বিভক্ত হয়ে উঠছিল, যার মধ্যে কয়েকটি আমি নিজের এবং একটি লক্ষ্য করেছি যার মধ্যে ডিডব্লিউ দয়া করে আমাকে নির্দেশ করেছেন। এর পরিবর্তে এর পিছনে স্বজ্ঞাতটি প্রকাশ করার চেষ্টা করি।

$N$

যখন আমরা একই পদক্ষেপগুলি একটি আলাদা বীজগণিতে অনুবাদ করি, যেমন গুণ এবং বিভাগের পরিবর্তে সংযোজন এবং বিয়োগফল? আমরা জানি (নীচে লেমা দেখুন) আমাদের অ্যালগরিদম এমন একটি 3-পার্টিশন খুঁজে পাবে যার পণ্য সমান, যদি বিদ্যমান থাকে, বা অন্যথায় নির্ধারণ করুন যে এরকম 3-পার্টিশনের উপস্থিতি নেই। সুতরাং, আমরা যদি যুক্ত কৌশলগুলিতে একই কৌশলগুলি অনুবাদ করতে পারি তবে আমরা একটি 3-পার্টিশন খুঁজে পেতে পারি যার পরিমাণ সমান, বা নির্ধারণ করতে পারে যে এরকম কোনও পার্টিশন নেই exists অন্য কথায়, আমরা বহু-কালীন সময়ে 3-বিভাজন সমাধান করতে পারি। এটা খুব প্রশংসনীয় নয়।

সুতরাং, কেন এই জাতীয় একটি অ্যালগরিদম গুণনের জন্য কাজ করতে পারে এবং সংযোজন ব্যর্থ হয়? একটি সম্ভাব্য কারণ হ'ল প্রতিটি পূর্ণসংখ্যার গুণকের অধীনে একটি অনন্য মৌলিক উপাদান রয়েছে তবে সংযোজনে এটি চক্রাকার। আর একটি হ'ল গুণটি সংযোজন সহ একটি রিং তৈরি করে, তাই আপনার ব্যবহারের জন্য আরও একটি সেট রয়েছে। আর একটি হ'ল আপনাকে অ-প্রাইমগুলির জন্য কাজ করার জন্য অ্যালগরিদমকে সাধারণীকরণ করতে হবে এবং এটি তাদের আদিমতার উপর নির্ভর করে। একটি ডিডাব্লু নির্দেশ করেছে যে অনুবাদটির নির্দিষ্ট পদ্ধতিটি আপনার ইনপুটগুলির আকারটি তাত্পর্যপূর্ণভাবে বাড়িয়ে তুলতে পারে। এবং সম্ভবত পি = এনপি পরে।

তবে যদি সেগুলি যদি একটি দ্রুত অ্যালগরিদমকে কাজ করতে দেয় তবে আমি এটি এখনও জেনে রাখা কার্যকর বলে মনে করি কারণ এটি আমাদের পরামর্শ দেয় কোথায় আমাদের মনোনিবেশ করা উচিত। আমাদের এমন কোনও কিছু সন্ধান করা উচিত যা আমরা যদি এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার সাথে এটি প্রয়োগ করার চেষ্টা করি তবে ভেঙে যায়। এমন একটি পদ্ধতির যা অন্য বীজগণিতগুলিতে সাধারণীকরণ করতে পারে সম্ভবত ভুল গাছটি ছাঁটাই করছে। যদিও আমার সন্দেহ হয় যে সেই গুনটি কাজ করার জন্য খুব বেশি আলাদা নয়, তবে এটি কেবল একটি কুঁচকে।

থিম

$m = \sqrt[3]{N}$$(am, bm, \frac{m}{ab})$$a$$b$$(ab + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})m^2$$a = b = 1$

$xyz = N$

$(am)(bm) + (am)(\frac{m}{ab}) + (bm)(\frac{m}{ab}) = abm^2 + \frac{m^2}{b} + \frac{m^2}{a} = (ab+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})m^2$

$f(a,b) = ab + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$$\frac{\delta f}{\delta a} = b - \frac{1}{a^2}$$\frac{\delta f}{\delta b} = a - \frac{1}{b^2}$$a = b^2, b = a^2$$a$$b$$a = b = 1$. We see from the matrix of second-order partial derivatives that this is a global minimum.

My immediate motivation to prove this was to fill in a hand wave in my proof above that, if a perfect-cube solution exists, it is optimal. However, this formula could be useful for pruning the search tree.

Assorted Thoughts

I don’t see any obvious symmetry except the interchangeability of x, y and z, which only gives us at best a constant factor of 6. We do have some speedups for the 2-partition that basically say we’d want both terms to be as close to each other as possible, but I don’t immediately see an application to this problem.

Off the top of my head, simply taking the log of all the numbers immediately reduces this to a classic 3-partition problem using addition, or equivalently, taking some number to the power of the numbers in any 3-partition addition problem turns it into a multiplication problem such as this. That implies this problem should not be any easier. We do have here the prime factorization, whereas that factorization would not be prime, but does that help us?

Graphically, the surface xyz = 0 would look like the union of the xy-, yz- and xz-planes, and for any positive n, the equation would look like y = n/xz, so each slice along a coordinate plane would be a hyperbola. We can generally say that the quantity we’re trying to minimize is lowest at the origin and grows most rapidly along the line where x = y = z. If we can search only along this manifold, we might be able to reduce to a two-dimensional problem.

Comments

If x+y+z=n, 2^n=2^(x+y+z)=2^x*2^y*2^z, which is an instance of this problem minus the restriction that the inputs are a prime decomposition of the product. They would instead all be powers of two.

— Davislor

It’s true that the weight to minimize will be different, but if x=y=z in the original problem, won’t x'y'+x'z'+y'z' be minimized in the corresponding problem where each w is replaced by w'=2^w, meaning that if a solution to the original problem exists, the reduction would find it? We might get a spurious solution from the transformed problem, but we can detect that in linear time when converting back by verifying the sums.

— Davislor

as above comment by GBach suggests, maximizing $xy + yz + xz$ subject to $xyz=n$ likely happens when $x,y,z$ are "close together" or have low deviation (from average). this is not necessarily the same as "close to $\sqrt[3]{n}$". the numerical examples given by Meyer on his page appear to fit this pattern.

— vzn

@vzn: We’re trying to minimize surface area, not maximize it. If the 3-partition problem has a solution, that translates into a modified box-dimension problem where the solution is a perfect cube. A hypothetical poly-time algorithm would find the factors of the sides of that cube, and we could then translate it back into the original domain, while checking for spurious solutions, in linear time. That suggests an algorithm for a slightly-relaxed problem could serve as an oracle for a hard problem, making it unlikely a better-than-exponential algorithm exists.

— Davislor

? am not disagreeing with you. arent we saying the same thing? plz drop by Computer Science Chat to untangle/ sort this out further. also cant follow @D.W.s claim that the logarithmic transformation doesnt work, can you? am using some of your (seemingly on-target) analysis as basis for my own answer.

— vzn