নথ, ডি ব্রুইজন এবং রাইস দ্বারা "রোপিত প্লেন গাছগুলির গড় উচ্চতা" উপর (1972)

আমি শিরোনামে ক্লাসিক পেপারটি কেবল প্রাথমিক উপায়ে (কোনও উত্পাদনকারী কাজ, কোনও জটিল বিশ্লেষণ, কোনও ফুরিয়ার বিশ্লেষণ) দ্বারা প্রাপ্ত করার চেষ্টা করছি না যদিও অনেক কম নির্ভুলতার সাথে। সংক্ষেপে, আমি "শুধুমাত্র" দেখাতে চেয়েছেন গড় উচ্চতা সঙ্গে একটি গাছের নোড (যে পাতার রুট থেকে নোড সর্বাধিক সংখ্যা) সন্তুষ্ট । $h_n$ $n$ $h_n \sim \sqrt{\pi n}$

রূপরেখা নিম্নরূপ: যাক কম উচ্চতার সঙ্গে সঙ্গে গাছের সংখ্যা হতে বা সমান (কনভেনশন সঙ্গে সকলের জন্য এবং) গাছের সংখ্যা নোড উচ্চতা চেয়ে বড় বা সমান (এটি, )। তারপরে , যেখানে সীমাবদ্ধ সমষ্টি এটি সুপরিচিত যে $A_{nh}$ $h$ $A_{nh} = A_{nn}$ $h \geqslant n$ $B_{nh}$ $n$ $h+1$ $B_{nh} = A_{nn} - A_{nh}$ $h_n = S_n/A_{nn}$ $S_n$

S_{n} = \sum_{h ⩾ 1} h (A_{n h} - A_{n, h - 1}) = \underset{জ ⩾ 1}{Σ} জ ({বি}_{এন, জ - 1} - {বি}_{এন জ}) = \underset{জ ⩾ 0}{Σ} {বি}_{এন জ} ।

$S_n = \sum_{h \geqslant 1} h(A_{nh} - A_{n,h-1}) = \sum_{h \geqslant 1} h(B_{n,h-1} - B_{nh}) = \sum_{h \geqslant 0} B_{nh}.$

A_{n n} = \frac{1}{n} (\binom{2 n - 2}{n - 1})

$A_{nn} = \frac{1}{n}\binom{2n-2}{n-1}$ ,

n

$n$ নোড সহ সাধারণ গাছগুলির সেটটি কাতালান সংখ্যা দ্বারা গণনা করা

নোডযুক্ত বাইনারি গাছের সেট সহ মেনে চলা

n - 1

$n-1$ ।

অতএব, প্রথম পদক্ষেপটি $B_{nh}$ এবং তারপরে এর বিস্তারের মূল শব্দটি খুঁজে $S_n$ ।

এই মুহুর্তে লেখকগণ পেতে বিশ্লেষণাত্মক সমন্বয়কারী (তিন পৃষ্ঠা) ব্যবহার করেন

B_{n + 1, h - 1} = \sum_{k ⩾ 1} [(\binom{2 n}{n + 1 - k h}) - 2 (\binom{2 n}{n - k h}) + (\binom{2 n}{n - 1 - k h})] .

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \geqslant 1} \left[\binom{2n}{n+1-kh} - 2\binom{2n}{n-kh} + \binom{2n}{n-1-kh}\right].$

আমার নিজের চেষ্টাটি নিম্নরূপ। আমি বর্গাকার গ্রিডে $n$ নোড এবং একঘেয়ে পথগুলির সাথে গাছগুলির মধ্যে দ্বিপাক্ষিকে বিবেচনা করি $(n-1) \times (n-1)$ থেকে $(0,0)$ থেকে $(n-1,n-1)$ যা তির্যকটি অতিক্রম করে না (এবং দুটি ধাপে তৈরি: $\uparrow$ এবং $\rightarrow$ ) এই পাথগুলিকে কখনও কখনও ডাইক পাথ বা ভ্রমণ বলে । আমি এখন $B_{nh}$ জাল পথগুলির নিরিখে প্রকাশ করতে পারি : এটি দৈর্ঘ্য 2 (এন -1) এর ডাইক পাথের সংখ্যা এবং উচ্চতা চেয়ে বড় বা সমান $h$ । (দ্রষ্টব্য: উচ্চতা এর একটি গাছ $h$ উচ্চতা ডাইক পাথের সাথে সম্মতিযুক্ত $h-1$ ))

সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই, আমি ধরে নিই যে তারা দিয়ে শুরু করে $\uparrow$ (অতএব উপরে থাকবে)। প্রতিটি পাথের জন্য, আমি প্রথম ধাপটি লাইনটি অতিক্রম করে বিবেচনা করি $y = x + h - 1$ , যদি কোনও হয়। উপরের দিক থেকে, সমস্ত উত্সের দিকে ফিরে, আমি এবং তার বিপরীতে $\uparrow$ রূপান্তর করি (এটি প্রতিফলিত রিংটি )। এটি স্পষ্ট হয়ে যায় যে আমি যে পাথগুলি ( ) গণনা করতে চাই সেগুলি থেকে একরঙা পথগুলির সাথে সম্মতিযুক্ত যা সীমা এড়িয়ে চলে এবং । ( চিত্র দেখুন ।) $\rightarrow$ $y=x+h$ $B_{nh}$ $(-h,h)$ $(n-1,n-1)$ $y=x+2h+1$ $y=x-1$

মহাতি দ্বারা ক্লাসিক বই ল্যাটিস পাথ কাউন্টিং এবং অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে (1979, পৃষ্ঠা 6) সূত্র একটি জালিতে থেকে পর্যন্ত একঘেয়ে পাথের সংখ্যা গণনা করে , যা গণ্ডিগুলি এড়িয়ে যায় এবং , এবং । (এই ফলাফলটি 50 এর দশকে প্রথম রাশিয়ান পরিসংখ্যানবিদরা প্রতিষ্ঠা করেছিলেন Therefore) সুতরাং, এ নতুন উত্স বিবেচনা করে আমরা সূত্রের শর্তগুলি পূরণ করি: ,

\sum_{k \in Z} [(\binom{m + n}{m - k (t + s)}) - (\binom{m + n}{n + k (t + s) + t})],

$\sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{m+n}{m-k(t+s)} - \binom{m+n}{n+k(t+s)+t}\right],$

(0, 0)

$(0,0)$

(m, n)

$(m,n)$

y = x - t

$y = x - t$

y = x + s

$y = x + s$

t > 0

$t > 0$

s > 0

$s > 0$

(- h, h)

$(-h,h)$

s = 1

$s=1$

t = 2 h + 1

$t=2h+1$ এবং গন্তব্য পয়েন্ট (উপরের ডান কোণে) এখন । তারপরে এটি সরলীকৃত করা যেতে পারে যা প্রত্যাশিত সূত্রের সাথে পার্থক্য হ'ল আমি সমস্ত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার ( ) এর পরিবর্তে বিজোড় সংখ্যাগুলি ( ) এর উপরে যোগ করব।

(n + h - 1, n - h - 1)

$(n+h-1,n-h-1)$

B_{n h} = \sum_{k \in Z} [(\binom{2 n - 2}{n + h - 1 - k (2 h + 2)}) - (\binom{2 n - 2}{n - h - 1 + k (2 h + 2) + 2 h + 1})] .

$B_{nh} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{2n-2}{n+h-1-k(2h+2)} - \binom{2n-2}{n-h-1+k(2h+2) + 2h+1}\right].$

B_{n + 1, h - 1} = \sum_{k \in Z} [(\binom{2 n}{n + 1 - (2 k + 1) h}) - (\binom{2 n}{n - (2 k + 1) h})],

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{2n}{n+1-(2k+1)h} - \binom{2n}{n-(2k+1)h}\right],$

B_{n + 1, h - 1} = \sum_{k ⩾ 0} [(\binom{2 n}{n + 1 - (2 k + 1) h}) - 2 (\binom{2 n}{n - (2 k + 1) h}) + (\binom{2 n}{n - 1 - (2 k + 1) h})] .

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \geqslant 0} \left[\binom{2n}{n+1-(2k+1)h} - 2\binom{2n}{n-(2k+1)h} + \binom{2n}{n-1-(2k+1)h}\right].$

2 k + 1

$2k+1$

k

$k$

কোন ধারণা কোথায় সমস্যা?

— খ্রীষ্টান
সূত্র

আপনি বলেছেন যে আপনি কেবল প্রাথমিক জিনিস ব্যবহার করতে চান, তবুও আপনি কোনও বইয়ের ফলাফল ব্যবহার করেন। মোহান্তি আপনি কীভাবে পরিচয় ব্যবহার করেন তা অর্জন করবেন?

— রাফেল

আমি প্রথম বাক্যে "প্রাথমিক" বলতে কী বুঝি তা সংজ্ঞায়িত করেছি: কোনও উত্পন্ন কার্য, কোনও জটিল বিশ্লেষণ, কোনও ফুরিয়ার বিশ্লেষণ নেই। মোহন্তি তাঁর গ্রন্থে সূত্রটি উত্সাহিত করার জন্য প্রাথমিক উপায়গুলি ব্যবহার করেছেন, আরও স্পষ্টভাবে, জাল পথগুলিতে প্রতিবিম্ব এবং অন্তর্ভুক্তি-বর্জনের নীতিগুলি। (আমি উপরের প্রাক্তনটি ব্যবহার করি you) আপনি যদি জেদ করেন তবে আমি প্রশ্নের শেষে তার প্রমাণ যুক্ত করব।

— খ্রিস্টান

মোটেও নয়, কেবল এটি নিশ্চিত করতে চেয়েছিলেন যে আপনি নিজে নিজের নিয়ম ভঙ্গ করছেন না।

— রাফেল

বিশ্লেষণাত্মক সমন্বয়কারী বাহ্যত প্রাথমিকভাবে বিবেচনা করা হয় যখন একটি অ-প্রাথমিক প্রযুক্তি হিসাবে তালিকাভুক্ত 'জেনারেটিং ফাংশন' দেখতে পারা আমার পক্ষে খুব অদ্ভুত।

একটি প্রায় মজ্জাগতভাবে অ প্রাথমিক মান মত মনে হয়; আপনি যা খুঁজছেন তার আরও ভাল ধারণা দেওয়ার জন্য কেন্দ্রীয় দ্বিপদী সহগের অ্যাসিম্পটিকসের তুলনামূলক প্রমাণ রয়েছে? আমি সন্দেহ করি যে এই দু'জনের ঘনিষ্ঠ সম্পর্ক রয়েছে ...

\sqrt{π}

$\sqrt{\pi}$

— স্টিভেন স্টাডনিকি

থেকে থেকে শুরু হওয়া একঘেয়ে পাথগুলি প্রথমবারের জন্য পার হওয়ার আগে আপনি কেবল সীমানা এড়িয়ে যান । সুতরাং আপনি যে সূত্রটি ব্যবহার করেন তা প্রযোজ্য নয়। $(−h,h)$ $(n−1,n−1)$ $y=x+2h+1$ $y=x+h$

— FrankW
সূত্র