মাস্টার উপপাদ্যে নিয়মিততার শর্ত কেন?

আমি কর্পেন এট আল দ্বারা অ্যালগরিদমের ভূমিকা পড়ছি । এবং আমি 73 পৃষ্ঠায় শুরু করে মাস্টার উপপাদ্যটির বিবৃতিটি পড়ছি । ক্ষেত্রে 3 ক্ষেত্রে নিয়মিততার শর্তও রয়েছে যা উপপাদ্যটি ব্যবহার করার জন্য সন্তুষ্ট হওয়া দরকার:

... 3. যদি

$\qquad \displaystyle f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \varepsilon})$

কিছু ধ্রুবক জন্য আর যদি $\varepsilon > 0$

[এটি নিয়মিততার শর্ত] $\qquad \displaystyle af(n/b) \leq cf(n)$

কিছু ধ্রুবক এবং এর জন্য পর্যাপ্ত পরিমাণ বড় , এর জন্য .. $c < 1$ $n$

কেউ আমাকে বলতে পারেন কেন নিয়মিততার শর্ত প্রয়োজন? শর্তটি সন্তুষ্ট না হলে উপপাদ্য কীভাবে ব্যর্থ হয়?

— রাফেল
সূত্র

আপনি কি লিখতে পারেন কেসটি কী এবং নিয়ন্ত্রক শর্তটি কী?

আমার কাছে আপনার কাছে একটি নির্দিষ্ট উত্তর নেই, তবে মনে হচ্ছে নিয়মিততা শর্তটি যদি ধরে না রাখে, তবে সাব-সমস্যাগুলি যত ছোট হয় তার কম বেশি সময় নেয়, তাই আপনি অসীম জটিলতা পান get

আমি নিশ্চিত নই যে উপপাদ্যটি ধরে রাখার জন্য নিয়মিততা শর্তটি প্রয়োজনীয়, তবে আমি মনে করি এটি প্রমাণিত ব্যবহারের জন্য প্রয়োজনীয়। নিয়মিততার শর্তের সাথে আপনার কাছে বরং একটি সোজাসাপ্টা প্রমাণ রয়েছে, এটি ছাড়া কমপক্ষে লোমশ হবে।

কপি উপর তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞান

— Kaveh

উত্তর:

কঠোর প্রমাণ নয়, তবে "আমার মাথার শীর্ষ থেকে" ব্যাখ্যা explanation

পুনরাবৃত্তি কল্পনা একটি গাছ হিসেবে। তৃতীয় কেসটি দৃশ্যাবলীটি অন্তর্ভুক্ত করে যখন রুট নোড চলমান সময়কে asympototically আধিপত্য করে, অর্থাৎ বেশিরভাগ কাজটি পুনরাবৃত্তি গাছের শীর্ষে ম্যাসিটি নোডে করা হচ্ছে। তারপরে চলমান সময়টি । $aT(n/b)+f(n)$ $\Theta(f(n))$

রুটটি আসলে আরও বেশি কাজ করে তা নিশ্চিত করার জন্য আপনার প্রয়োজন

। $a f(n/b) \leq cf(n)$

এটি বলে যে (মূলের মধ্যে কাজ করার পরিমাণ) কম স্তরের কাজকর্মের যোগফলের মতো কমপক্ষে বড় হওয়া দরকার। (পুনরাবৃত্তিটিকে ইনপুটটির সময় বলা হয় )) $f(n)$ $a$ $n/b$

যেমন পুনরাবৃত্তির জন্য মূলের নীচের স্তরের কাজটি চতুর্থাংশ বড় এবং কেবল দ্বিগুণ হয়ে থাকে বনাম সুতরাং মূলটি আধিপত্য করে । $T(n)=2T(n/4)+n$ $(n/4+n/4)$ $n$

তবে যদি ফাংশনটি নিয়মিততার শর্তটি না পূরণ করে? যেমন এর পরিবর্তে ? তারপরে নিম্ন স্তরের কাজটি মূলের কাজগুলির চেয়ে বড় হতে পারে সুতরাং আপনি নিশ্চিত নন যে মূলটির আধিপত্য রয়েছে। $\cos(n)$ $n$

— আনফুন বিড়াল
সূত্র

আমি আপনার গণিত পাঠ্যের জন্য ভাল বিন্যাস ব্যবহার করেছি। আপনি "সম্পাদিত" লিঙ্কটি ক্লিক করতে পারেন এবং আমি কী করেছি তা দেখতে পারেন।

— জুহো

যাক এবং , যাতে কেস 3 প্রয়োগ করার জন্য আমাদের (কিছু ) এবং নিয়মিততার শর্ত $a = 1$ $b = 2$

টি (2^{এন}) = Σ_{ট = 0}^{এন} চ (2^{ট}) ।

$T(2^n) = \sum_{k=0}^n f(2^k).$

f (n) = Ω (n^{ϵ})

$f(n) = \Omega(n^\epsilon)$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

(কিছু

) আপনি প্রমাণ থেকে নিয়মিততার শর্তটি পান, অর্থাত এটি একটি প্রমাণ-উত্পন্ন ধারণা। যদিও নিয়মিততার শর্তটি প্রয়োজনীয় নয় (উইকিপিডিয়ায় প্রদত্ত উদাহরণটি বিবেচনা করুন,

), আপনি এটি সম্পূর্ণরূপে ফেলে দিতে পারবেন না, যেমন নীচের উদাহরণটি দেখায়। বিবেচনা করুন

f (n / 2) \leq (1 - δ) f (n)

$f(n/2) \leq (1-\delta) f(n)$

δ > 0

$\delta > 0$

f (n) = n (2 - \cos n)

$f(n) = n(2-\cos n)$

যাক

চ (2^{এন}) = 2^{2^{⌊ {লগ}_{2} এন ⌋}} > 2^{2^{{লগ}_{2} এন - 1}} = 2^{এন / 2} ।

$f(2^n) = 2^{2^{\lfloor \log_2 n \rfloor}} > 2^{2^{\log_2n-1}} = 2^{n/2}.$

। তারপরে

n = 2^{m + 1} - 1

$n = 2^{m+1}-1$

সুতরাং এটি সত্য নয় যে

।

টি (2^{এন}) = Σ_{ট = 0}^{মি} Σ_{টি = 2^{ট}}^{2^{ট + + 1} - 1} 2^{2^{ট}} = Σ_{ট = 0}^{মি} 2^{2^{ট} + + ট} = Θ (2^{2^{মি} + + মি}), চ (2^{এন}) = 2^{2^{মি}} ।

$T(2^n) = \sum_{k=0}^m \sum_{t=2^k}^{2^{k+1}-1} 2^{2^k} = \sum_{k=0}^m 2^{2^k+k} = \Theta(2^{2^m+m}), \quad f(2^n) = 2^{2^m}.$

T (2^{n}) = Θ (f (2^{n}))

$T(2^n) = \Theta(f(2^n))$

আরও সাধারণ উপপাদ্য রয়েছে, আকরা-বাজি, যাতে নিয়মিততার শর্তটি একটি স্পষ্ট পরিমাণে পরিবর্তিত হয় যা ফলাফলে আসে।

— যুবাল ফিল্ম
সূত্র

এই পুরানো উত্তর পুনরায় শুরু করার জন্য দুঃখিত। আপনার ফাংশনটি কেন নিয়মিততার শর্ত লঙ্ঘন করে তা আপনি পরিষ্কার করতে পারেন?

— মায়াক্স 21 '15

f (n / 2) = f (n)

$f(n/2) = f(n)$