অ্যান্টিডেরিভেটিভ চেক করার সিদ্ধান্তহীনতা?

Question

ধরা যাক আমার এবং দুটি ফাংশন রয়েছে এবং তা নির্ধারণে আমি আগ্রহী$F$$G$

$$F(x) = \int G(x)dx.$$

ধরা যাক যে আমার ফাংশনগুলি প্রাথমিক ফাংশনগুলি (বহুভিত্তিক, এক্সফোনেন্টিয়ালস, লগগুলি এবং ত্রিভুজমিত্রিক ফাংশনগুলি) দ্বারা গঠিত, তবে তা নয়, বলুন, টেলর সিরিজ।

এই সমস্যাটি কি সিদ্ধান্তযুক্ত? যদি তা না হয়, তবে এটি কি আধা?

(আমি জিজ্ঞাসা করছি কারণ আমি গণ্যতার বিষয়ে একটি ক্লাস শিখিয়েছি এবং একজন শিক্ষার্থী আমাকে জিজ্ঞাসা করেছিলেন যে কোনও টিএম আপনাকে এমন কোনও ক্রিয়াকে সংহত করতে সাহায্য করতে পারে যার অবিচ্ছেদ্য বর্তমানে জানা ছিল না I আমি সন্দেহ করি যে আমরা কীভাবে সংহত করতে জানি না সেগুলি আরও বেশি সঠিকভাবে ফাংশন যার অবিচ্ছেদ্য উপরের প্রাথমিক ফাংশনগুলির সংমিশ্রণ হিসাবে প্রকাশ করা যায় না সেই ফাংশনগুলির চেয়ে আমরা প্রকৃতপক্ষে অবিচ্ছেদ্য জানি না, তবে এটি আমাকে ইন্টিগ্রালগুলি পরীক্ষা করার সাধারণ সমস্যাটি সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য কিনা তা নিয়ে ভাবতে পেরেছিল।)

Comments

আপনি প্রতীকী পার্থক্য সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছেন বলে মনে হচ্ছে। আপনি এন.ইউইকিপিডিয়া . org / উইকি / সিম্বলিক_কমপুটেশন এবং এন.ইউইকিপিডিয়া.আর.উইকি / কম্পিউটার_আলজেব্রা_সিস্টেমটি একবার দেখে নিতে পারেন । আপনি কোন শ্রেণীর ফাংশনগুলিকে মঞ্জুরি দেন তা আমার কাছে পরিষ্কার নয়। আপনি কি ধরনের রচনা অনুমোদন করেন? যেমন অনুমোদিত? আমি পরামর্শ দিচ্ছি যে আপনি পুনরাবৃত্ত সংজ্ঞাটি ব্যবহার করার বিষয়ে যত্নশীল ফাংশনগুলির শ্রেণিটি আনুষ্ঠানিক করার চেষ্টা করবেন। আপনি যখন চেইন রুলটি ব্যবহার করেন তখন কী ঘটে থাকে তা দেখার চেষ্টা করেছেন এবং দেখেছেন যে আপনি কোনও পুনরাবৃত্ত অ্যালগরিদম পেতে পারেন যা সমস্ত ক্ষেত্রে পরিচালনা করে? $F(x)=\sin(\cos(e^x)) + \log(2x^3+3)$

— DW

যেহেতু পার্থক্য সহজ, আপনি সত্যই জিজ্ঞাসা করছেন যে কোনও এক্সফারেন্স শূন্য হলে আমরা সিদ্ধান্ত নিতে পারি কিনা । এটি সম্ভবত এমন একটি সমস্যা যার উপর তথ্য সন্ধান করা সহজ। $F$

— যুবাল ফিল্মাস

Answer 1

আপনার প্রশ্নের সংক্ষিপ্ত উত্তরটি "না"। রিচার্ডসনের উপপাদ্য এবং তার পরবর্তী এক্সটেনশানগুলি মূলত উল্লেখ করে যে আপনি প্রাথমিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশন অন্তর্ভুক্ত করার সাথে সাথে (এবং যদি তবে সিদ্ধান্ত নেওয়ার সমস্যা , যেহেতু এটি একই ) অবিশ্বাস্য।$f(x) = 0$$f(x) = g(x)$$f(x) - g(x) = 0$

এটি সম্পর্কে আকর্ষণীয় বিষয়টি হ'ল আসল বন্ধ ক্ষেত্রগুলির প্রথম-ক্রম তত্ত্বটি নির্ধারণযোগ্য। স্বজ্ঞাতভাবে, ত্রিকোণমিত্রিক ফাংশনগুলি যুক্ত করার কারণে প্রথম অর্ডার সিস্টেমটিকে অনির্বাচিত করা হয় কারণ আপনি via এর মাধ্যমে পূর্ণসংখ্যাগুলি তৈরি করতে পারেন এবং পূর্ণসংখ্যার তত্ত্বটি অনির্বাচনীয় ।$\{ x \in R : \sin(\pi x) = 0 \}$

সহ প্রকৃত বন্ধ ক্ষেত্রের তত্ত্বটি নির্ণয়যোগ্য কিনা এবং না মোটামুটি বিখ্যাত একটি উন্মুক্ত সমস্যা ।$e^x$

আরও মজার বিষয় এটি হ'ল যদি আপনার যদি এমন কোনও ওরাকল থাকে যা ধ্রুবক সমস্যাটিকে "সমাধান" করে (যেমন একটি ওরাকল যা আপনাকে বলতে পারে যে বা না) তবে সীমাবদ্ধ পদে প্রাথমিক ফাংশনগুলির সংহতকরণ সিদ্ধান্ত নেওয়া যায় , এবং একটি ব্যবহারিক অ্যালগরিদম পরিচিত হয়। সুতরাং , আমরা বা জানতে পারি যে সীমাবদ্ধ পদগুলিতে এর কোনও প্রাথমিক ইন্টিগ্রাল নেই ।$f(x) = 0$$G(x)$$F(x)$$G$

Answer 2

আপনার সমস্যাটি নিম্নলিখিত সহজ প্রশ্নটিকে হ্রাস করেছে বলে মনে হচ্ছে:

ফাংশনগুলির শ্রেণিতে দুটি ফাংশন দেওয়া , আমাদের কি সমস্ত জন্য ? (অন্য কথায়, সর্বত্র কি তাদের সমান মূল্য আছে?)$F,G$$F(x)=G(x)$$x$

এই শ্রেণীর ক্রিয়াকলাপের জন্য, এটি সিদ্ধান্তগ্রহণযোগ্য কিনা আমি জানি না। যদি তা হয় তবে আপনার সমস্যাটিও সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য।

---

আপনার সমস্যার জন্য, একটি সাধারণ পদ্ধতি হ'ল প্রতীকীভাবে পেতে কে আলাদা করুন , তারপরে আমাদের কাছে সমস্ত জন্য আছে কিনা তা পরীক্ষা করুন ।$F(x)$$F'(x)$$F'(x)=G(x)$$x$

সুতরাং মূল পদক্ষেপটি প্রতীকী পার্থক্য। আসুন কীভাবে আরও বিশদে এটি করা যায় তা নিয়ে কাজ করা যাক। আমরা পুনরাবৃত্তিমূল্য অনুমোদিত ফাংশনগুলির শ্রেণি সংজ্ঞা দিতে পারি:

$$\newcommand{\or}{\;\vert\;} F(x) ::= c \or x \or e^x \or \log(x) \or \sin(x) \or \cos(x) \or \tan(x) \or F_1(x) + F_2(x) \or F_1(x) \times F_2(x) \or F_1(x)/F_2(x) \or F_1(F_2(x))$$

যেখানে ধ্রুবকগুলির এবং ফাংশনগুলির থাকে।$c$$F,F_1,F_2$

এরপরে ক্যালকুলাসের স্ট্যান্ডার্ড নিয়মগুলি (উদাহরণস্বরূপ, চেইন রুল ইত্যাদি) ব্যবহার করে প্রতীকীভাবে এই শ্রেণীর ফাংশনগুলিকে আলাদা করার জন্য একটি পুনরাবৃত্ত আলগোরিদম তৈরি করা সম্ভব। বিশেষত, আমরা উপরের প্রতিটি কেস পরিচালনা করতে পারি এবং পুনরাবৃত্তভাবে দেখাতে পারি যে এই শ্রেণীর মধ্যে একটি ক্রিয়াকলাপ হিসাবে ডেরিভেটিভ প্রতীকীভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে:

• যদি , ।$F(x)=c$$F'(x)=0$

• যদি , ।$F(x)=x$$F'(x)=1$

• যদি , ।$F(x)=e^x$$F'(x)=e^x$

• যদি , ।$F(x)=\log(x)$$F'(x)=1/x$

• যদি , ।$F(x)=\sin(x)$$F'(x)=\cos(x)$

• যদি , ।$F(x)=\tan(x)$$F'(x)=1 + (\tan(x))^2$

• যদি , ।$F(x)=F_1(x)+F_2(x)$$F'(x)=F'_1(x)+F'_2(x)$

• যদি , ।$F(x)=F_1(x) \times F_2(x)$$F'(x)=F'_1(x) F_2(x) +F_1(x) F'_2(x)$

• যদি , (চেইন রুল) থাকে।$F(x) = F_1(F_2(x))$$F'(x) = F'_1(F_2(x)) F'_2(x)$

ইত্যাদি। প্রতিটি ক্ষেত্রে, যদি অনুমোদিত ফাংশনের শ্রেণিতে থাকে, তবে , এবং আপনি পুনরাবৃত্তভাবে জন্য একটি প্রতীকী অভিব্যক্তিটি তৈরি করতে পারেন - এটি প্রতীকী পার্থক্য হিসাবে পরিচিত ।$F(x)$$F'(x)$$F'(x)$

অবশেষে, অবশিষ্ট সমস্ত জন্য কিনা তা পরীক্ষা করে দেখুন । আমার উত্তরের শীর্ষে সমস্যাটিই উল্লেখ করছি।$F'(x)=G(x)$$x$

---

দুটি ফাংশন একইরূপে সমান কিনা তা যাচাই করার জন্য একটি সহজ পদ্ধতি রয়েছে যা আমি অনুশীলনে বেশ ভালভাবে কাজ করার প্রত্যাশা করি। অ্যালগরিদমটি হ'ল: বারবার এলোমেলো মান বেছে নিন এবং মান ধরে কিনা তা পরীক্ষা করে দেখুন । যদি এটি এলোমেলোভাবে বেছে নেওয়া অনেকগুলি জন্য সমতা ধারণ করে , তবে "সেগুলি সমান সমান" আউটপুট দেয়। যদি আপনি কোনও খুঁজে পান যার জন্য , তবে আউটপুট "সেগুলি পৃথক"।$x$$F(x)=G(x)$$x$$x$$x$$F(x)\ne G(x)$

এটি কাজ করবে এমন কোনও গ্যারান্টি নেই, তবে অনেক শ্রেণির ফাংশনগুলির জন্য, এই পদ্ধতির আউটপুট উচ্চ সম্ভাবনার সাথে সঠিক হবে। বিশেষত, ধরুন আমাদের কাছে এলোমেলোভাবে ভেরিয়েবল দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা এবং কিছু যেমন such ক্লাসে সমস্ত রাখেআরও ধরুন যে অনুমতিযোগ্য ফাংশনগুলির শ্রেণি বিয়োগের অধীনে বন্ধ রয়েছে (যেমন আপনার শ্রেণিটি রয়েছে)। তারপরে এটি অনুসরণ করে যে উপরের পদ্ধতির রাউন্ডগুলি সর্বাধিক সাথে সম্ভাব্যতার সাথে ভুল উত্তর দেয় ।$x$$X$$\epsilon>0$$\Pr[F(X)=0] \ge \epsilon$$F$$r$$(1-\epsilon)^r$

এছাড়াও, যদি বহুবর্ষীয় সমতা পরীক্ষার জন্য যদি এলোমেলো পদ্ধতি থাকে তবে সমস্যাটি নির্ধারিত।

এটি জিজ্ঞাসা করেই রয়ে গেছে যে এই জাতীয় ফলাফলটি আপনার নির্দিষ্ট শ্রেণির কার্যাবলীর জন্য রয়েছে কি না। উপরের বিবৃতিটি সম্ভবত ধারণ করবে না। তবে, আমরা ভাগ্যবান হলে, সম্ভবত আমরা নিম্নলিখিতগুলির মতো কিছু প্রমাণ করতে সক্ষম হতে পারি:

all এ সমস্ত ক্ষেত্রে , সম্ভবত আমরা আসল সংখ্যার উপর একটি বিতরণ পেতে পারি, যেমন একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল এবং একটি ধ্রুবক , যেমন that জন সব ফাংশন জন্য ঝুলিতে আপনার ক্লাসে হয় এবং সবচেয়ে এ "আকার" have ।$s \in \mathbb{N}$$X_s$$\epsilon_s > 0$$\Pr[F(X)=0]$$F$$s$

যদি এটি সত্য হয়, তবে এটি অনুসরণ করবে যে বহুবর্ষীয় সমতা পরীক্ষার জন্য এলোমেলোভাবে অ্যালগরিদম রয়েছে এবং সুতরাং আপনার সমস্যাটি নির্ণয়যোগ্য।