3 টি প্রতীক এক মাত্রিক সেলুলার অটোমেটার জন্য কী থামানো সমস্যা স্থির করে নেওয়া যায়?

Question

আমি থামার সমস্যাটি ত্রি-প্রতীক এক-মাত্রিক সেলুলার অটোম্যাটার জন্য স্থিতিশীল কিনা তা নির্ণয় করার চেষ্টা করছি।

সংজ্ঞা আসুন সময় পদে পদে সিস্টেমের কনফিগারেশন বোঝাতে । আরও আনুষ্ঠানিকভাবে , যেখানে বর্ণমালা।$f(w,i)$$i$$f:A^*\times \mathbb{N} \to A^*$$A$

সংজ্ঞা। একটি সেলুলার অটোমেটন কনফিগারেশনে বন্ধ হয়ে গেছে , যদি আমাদের কাছে ।$f(w,i)$$\forall k\in \mathbb{N}$$f(w,i)=f(w,i+k)$

প্রদত্ত সেলুলার অটোমেটনের জন্য থামার সমস্যাটি নিম্নরূপ:

ইনপুট: একটি সীমাবদ্ধ শব্দ প্রশ্ন: অটোমেটন কিছু রাজ্যে ?$w$
$s$

প্রাথমিক সেলুলার অটোমাতা (2 প্রতীক সহ) এখানে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে । আমি একই ধরণের সেলুলার অটোমেটাতে মনোনিবেশ করছি, কেবলমাত্র আমি সিএর ক্ষেত্রে মাত্র ২ টি চিহ্নের পরিবর্তে ৩ টি প্রতীক নিয়ে আগ্রহী।

এখন থেকে, আমি আমার নিয়মগুলিকে আকারে বোঝাতে চাইছি , মানে 3 টি প্রতিবেশী চিহ্ন তাদের নীচে অন্য একটি তৈরি করে।$***\to*$

থামার সমস্যাটি প্রাথমিক, 2-প্রতীকী সেলুলার অটোমেটার জন্য স্থিতিশীল

আমি ব্যবহার করবে একটি সাদা কোষ এবং বোঝাতে একটি কালো এক পদ্ধতি এটি।$0$$1$

আমাদের যদি , , বিধি থাকে তবে আমরা জানি অটোমেটনটি থামবে না। কারণ প্রথম নিয়মটি সহ, আমাদের গ্রিডটি অসীম, তাই আমাদের কাছে সর্বদা 3 টি সাদা কোষ থাকবে যা একটি কালো কোষ তৈরি করবে। দ্বিতীয় এবং তৃতীয় নিয়মের সাহায্যে শব্দটি পাশগুলিতে প্রসারিত হবে এবং অটোমেটন কখনই থামবে না।$000 \to 1$$001 \to 1$$100 \to 1$

বাকি ক্ষেত্রে আমরা এটি steps পদক্ষেপের জন্য বিকশিত করতে পারি এবং এটি বন্ধ হয়ে যায় কিনা তা দেখতে পারি। যদি এটি বন্ধ হয়ে যায়, তবে ঠিক আছে, এটি থেমে যায়, যদি এটি না হয় তবে এটি কিছু সংমিশ্রণ পুনরাবৃত্তি করছে এবং একটি লুপে আটকে গেছে, সুতরাং আমরাও সিদ্ধান্ত নিতে পারি যে এটি থামবে না।$2^n$

আমি 3 প্রতীক কেস জন্য কি খুঁজে পেয়েছি

এটা স্পষ্টতই স্পষ্ট যে আমাদের যদি বা বিধি থাকে তবে তা থামবে না । তবে এবং ফর্মের পার্শ্ব বিধিগুলি বিশ্লেষণ করা শক্ত, কারণ আমাদের যদি নিয়ম থাকে এবং ?$000 \to 1$$000 \to 2$$00x \to y$$x00 \to y$$002 \to 1$$001 \to 0$

আমি এখানে যা এলাম তা এখানে:

আসুন এই জাতীয় নিয়মের সমস্ত সমন্বয় বিবেচনা করুন:

1. $001 \to 0$ এবং$002 \to 0$
2. $001 \to 0$ এবং$002 \to 1$
3. $001 \to 0$ এবং$002 \to 2$
4. $001 \to 1$ এবং$002 \to 0$
5. $001 \to 1$ এবং$002 \to 1$
6. $001 \to 1$ এবং$002 \to 2$
7. 002 → $001 \to 2$ এবং$002 \to 0$
8. 002 → $001 \to 2$ এবং$002 \to 1$
9. 002 → $001 \to 2$ এবং$002 \to 2$

আমি ফর্মের নিয়মের জন্য কেসগুলি লিখিনি , কারণ সেগুলি প্রতিসাম্যপূর্ণ।$x00 \to y$

সুতরাং, প্রথম ক্ষেত্রে এটি স্পষ্ট যে ইনপুট শব্দটি পক্ষগুলিতে প্রসারিত হবে না, কারণ those দিকের প্রতীক বিধিগুলি শূন্য তৈরি করে।

5, 6, 8, 9 ক্ষেত্রে এটি স্পষ্ট যে অটোমেটন কখনই থামবে না, কারণ ইনপুট শব্দটি প্রসারিত হবে।

মামলাগুলি 2,3,4,7 আরও আকর্ষণীয়। প্রথমে উল্লেখ্য, সেই ক্ষেত্রে 2 কেস 7 এর অনুরূপ এবং কেস 3 কেস 4 এর সমান So সুতরাং, আসুন কেবল সংক্ষিপ্ততার জন্য 2 এবং 3 কেস বিবেচনা করুন।

আমি প্রথমে কেস 3 বিবেচনা করব, কারণ এটি সহজ।

আমাদের কাছে এবং । এটা সুস্পষ্ট যে আমাদের ইনপুট শব্দের প্রথম বা শেষ চিহ্নটি যদি তবে আমরা সিদ্ধান্তে পৌঁছে যেতে পারি যে অটোমেটনটি থামবে না। তবে সেগুলি যদি '1' হয়, তবে আমাদের আরও স্টাফ দেখতে হবে, বিশেষত, আসুন এমন বিধিগুলি দেখুন যা শেষ বা প্রথম চিহ্নগুলিকে পরিণত করতে পারে , কারণ আমাদের যদি সেগুলি থাকে, তবে তারা সেই তৈরি করার পরে , আমরা এই সিদ্ধান্তে আসতে পারে যে অটোমেটন থামবে না। (শব্দটি পাশ (গুলি) পর্যন্ত প্রসারিত হবে)।002 → 2 2 2 $001 \to 0$$002 \to 2$$2$$2$$2$

আমাদের বিবেচনা করা দরকার এমন এখানে সমস্ত সংমিশ্রণ রয়েছে:

010 011 012
 0   0   0
 0   0   1
 0   0   2
 0   1   0
 0   1   1
........... etc

উপরের টেবিল থেকে আমাদের প্রথম ট্রিপল হলে কী হয় তার একটি ব্যাখ্যা

আমাদের গ্রিডে একটি শব্দ । প্রথম এবং শেষ চিহ্নগুলি হ'ল । ধরা যাক আমাদের উপরের থেকে , , (প্রথম ট্রিপল) বিধি রয়েছে। তারপরে আমরা জানি যে প্রতিটি পরবর্তী পদক্ষেপের সাথে আমাদের ইনপুট শব্দটি 2 টি চিহ্ন দ্বারা ছোট হবে, কারণ এই বিধিগুলি প্রথম এবং শেষ চিহ্নগুলি মুছে দেয়, তবে যদি আমরা কোনও পেতে পারি , তবে then নিয়মটি শব্দটি তৈরি করবে একদিকে বা অন্য দিকে (বা উভয়) বেড়ে উঠুন এবং অটোমেটন কখনই থামবে না। সুতরাং, সর্বোপরি, এক্ষেত্রে আমরা অটোম্যাটনকে পদক্ষেপগুলি করতে দিতে পারি , এবং শব্দটি খালি হয়ে যায়, তবে অটোম্যাটনটি যদি থামে না, তবে তা হয় না।1 010 → 0 011 → 0 012 → 0 2 002 → 2 | ডাব্লু | /$w$$1$$010 \to 0$$011 \to 0$$012 \to 0$$2$$002 \to 2$$|w|/2$

জেনারালাইজড কেস ৩

আমি এটিকে সাধারণীকরণ করেছি এবং লক্ষ্য করেছি যে আমরা কেবল অটোমেটনকে steps পদক্ষেপ করতে পারি এবং যদি এই পদক্ষেপগুলির কোনও একটিতে আমাদের কাছে প্রথম বা শেষ চিহ্ন হিসাবে তবে অটোমেটন থামবে না। যদি এটি না ঘটে এবং অটোমেটনটি এখনও থামেনি, তবে এটি কিছু কনফিগারেশন পুনরাবৃত্তি করছে, তাই এটি লুপে আটকে যায় এবং থামবে না। যদি এটি থামে, তবে এটি থেমে যায়।$3^n$$2$

আমি যেখানে আটকে যাই

এখন আসুন মামলা 2 বিবেচনা করা যাক।

আমাদের বিধি রয়েছে and এবং ।002 → $001 \to 0$$002 \to 1$

এবং এখানেই আমি আটকে গিয়েছিলাম এবং কী করতে হবে তা জানি না।

আমি নিয়মের একটি সারণিও লিখেছিলাম যা দিয়ে শুরু হয় । আমি এগুলি লিখেছিলাম, কারণ তাদের মনে হয়েছিল যে আমার প্রথম জিনিসটি বিশ্লেষণ করা উচিত, কারণ আমাদের কাছে যদি প্রথম বা শেষ (বা উভয়) চিহ্ন হিসাবে হিসাবে থাকে তবে পরবর্তী পদক্ষেপে সেই পরিণত হবে । এবং আমাদের ফর্মের নিয়মগুলি মোকাবেলা করতে হবে ।$1$$2$$2's$$1$$01x \to y$

টেবিলটি এখানে:

010 011 012
 0   0   0
 0   0   1
 0   0   2
 0   1   0
 0   1   1
 0   1   2
 0   2   0
 0   2   1
 0   2   2
 1   0   0
 1   0   1
 1   0   2
 1   1   0
 1   1   1
 1   1   2
 1   2   0
 1   2   1
 1   2   2
 2   0   0
 2   0   1
 2   0   2
 2   1   0
 2   1   1
 2   1   2
 2   2   0
 2   2   1
 2   2   2

এটাও সুস্পষ্ট যে, আমাদের ২ rules টি বিধিগুলির মধ্যে যদি আমাদের এই টেবিলটি থেকে কোনও ট্রিপল থাকে যেখানে কোনও নিয়ম , তবে আমাদের উদ্বেগ করার কিছু নেই এবং কেবল steps পদক্ষেপের জন্য অটোমেটনকে বিকশিত হতে দিতে পারি , কারণ এটি জিতেছে পার্শ্ব বিধিগুলি উত্পাদন করে না, কারণ সত্যই প্রসারিত হবে না ।$2$$3^n$$2$

তবে যে ট্রিপলগুলিতে টি রয়েছে, সেটির দিকে তাকানো আসলে এটি বিশ্লেষণ করা খুব শক্ত এবং শব্দটি প্রসারিত হবে কিনা তাও ইনপুট শব্দের উপর নির্ভর করে বলে মনে হচ্ছে।$2$

আপনি কি আমাকে বলবেন কীভাবে এটি সমাধান করবেন? আমি এই আমার মাথা জড়ানো বলে মনে হচ্ছে না।

অথবা, যদি এই 3 টি প্রতীক সেলুলার অটোমেটনের এমন কিছু দেখতে লাগে যার জন্য থামার সমস্যাটি অনস্বীকার্য হিসাবে প্রমাণিত হয়েছে, তবে আমি কীভাবে সেই কিছুটিকে 3 টি প্রতীক সেলুলার অটোমেটাতে হ্রাস করতে পারি?

Comments

মন্তব্যগুলি বর্ধিত আলোচনার জন্য নয়; এই কথোপকথন চ্যাটে সরানো হয়েছে । যদি এই আলোচনা থেকে কিছু বেরিয়ে আসে তবে দয়া করে নতুন তথ্য বা স্পেসিফিকেশন অন্তর্ভুক্ত করতে প্রশ্নটি সম্পাদনা করুন। "সম্পাদনা:" চিহ্নগুলি যুক্ত করবেন না, নিশ্চিত হয়ে নিন যে কোনও আগত ব্যক্তি ইতিহাসটি খনন না করেই প্রশ্নটি বুঝতে পারে।

— গিলস 'অসন্তুষ্ট হওয়া বন্ধ করুন'

Answer 1

আমি এই নিবন্ধটি পেয়েছি: http://www.dna.caltech.edu/~woods/download/NearyWoodsMCU07.pdf এবং কীভাবে থামানো সমস্যাটি 15-প্রতীক সেলুলার অটোম্যাটার জন্য প্রমান করা যায় তা প্রমাণ করব show

আসুন একটি টিউরিং মেশিনের সাধারণ নির্দেশাবলী দেখুন, আমাদের কাছে রয়েছে:

1)$q,x\to p,y,L$

2)$q,x\to p,y,R$

প্রথম এক বলছেন যে যদি যন্ত্রমানব প্রতীক সূচিত রাজ্যের , তাহলে আমরা প্রতিস্থাপন দ্বারা , সুইচ অবস্থায় এবং বাম সরাতে, দ্বিতীয় একই কথা বলেছেন, কিন্তু এটা সঠিক চলে আসে।$x$$q$$x$$y$$p$

আসুন ধরে নেওয়া যাক টিএম বর্ণমালা , বিধিগুলির সেটটি এবং রাজ্যের সেট । এখন, আসুন আমাদের সেলুলার জন্য একটি নতুন বর্ণমালা তৈরি করুন, এটি নিম্নলিখিত হবে । অন্য কথায়, নতুন বর্ণমালা আমরা টি এম এর বর্ণমালা, টি এম রাজ্যের বর্ণমালা এবং প্রতি রাষ্ট্রের জন্য অন্তর্ভুক্ত করা হবে , একটি নিয়ম আছে যেমন যে আমরা অন্তর্ভুক্ত করা হবে ।$A$$R$$Q$$\Sigma=A\bigcup Q\bigcup \{q'|\forall q \exists r\in R, r=p,x\to q,y,L\}$$q$$p,x\to q,y,L$$q'$

অটোমেটন নিম্নলিখিত পদ্ধতিতে টিএমকে মডেল করবে: সিএ এর ক্রিয়াকলাপের প্রতিটি ধাপে আমাদের সিএর টেপে টিএমের রাজ্য বর্ণমালা থেকে একটি চিহ্ন থাকবে এবং সেই চিহ্নটি সেই চিহ্নকে নির্দেশ করবে যে টিএম এর মাথাটি নির্দেশ করবে, নিম্নলিখিত উপায়ে: রাষ্ট্রীয় প্রতীকের ডানদিকে একটি প্রতীক টিএম এর মাথাটি প্রতীক। উদাহরণ হিসাবে, স্ট্রিংটি বিবেচনা করুন , ধরা যাক, , তারপরে টিএম রাষ্ট্র এবং চিহ্নের শীর্ষস্থানীয় হয় ।$s=...xabqzyk...$$q\in Q$$q$$z$

আসুন দেখুন আমরা কীভাবে টিএম এর ক্রিয়াকলাপ অনুকরণ করতে পারি। প্রথমে দ্বিতীয়টি বিবেচনা করা যাক:

2)$q,z\to p,y,R$

সুতরাং, মূলত, যদি আমাদের কাছে স্ট্রিং , তবে রূপান্তর করা উচিত । যা অটোমেটনে নিম্নলিখিত নিয়মগুলি যুক্ত করে খুব সহজেই অর্জন করা যায়:$s=...xabqzyk...$$...xabypyk...$

$qz\alpha\to p, \forall \alpha \in \Sigma$

$\alpha qz\to y, \forall \alpha \in \Sigma$

প্রথম কেসটি আরও জটিল, আমাদের কাছে রয়েছে:

1)$q,z\to p,y,L$

তাই স্ট্রিং রূপান্তরিত করা উচিত , কিন্তু করতে একটি উপায় নয় , কারণ আমরা রাষ্ট্র ও প্রতীক দিকে তাকিয়ে একটি টি এম ক্রিয়াকলাপটি সম্পাদন কিন্তু আমাদের প্রতীক সম্পর্কে শুধু জানায় না, তাই আমরা 2 টি পদক্ষেপে এই বাম পদক্ষেপটি সম্পাদন করব:$s=...xabqzyk...$$...xapbyyk...$$abq\to p$$abq$

প্রথম ধাপ:

$qz\alpha\to y, \forall \alpha \in \Sigma$

$\alpha qz\to p', \forall \alpha \in \Sigma$

দ্বিতীয় ধাপ:

$\alpha \beta p'\to p, \forall \alpha, \beta \in \Sigma$

$\alpha p' \beta\to \beta, \forall \alpha, \beta \in \Sigma$

অন্যান্য সমস্ত সিএ বিধি হিসাবে, যার জন্য টিএম-তে কোনও নিয়ম নেই, আমরা নিম্নলিখিতটি লিখব:

$\alpha \beta \gamma \to \beta, \forall \alpha,\beta,\gamma \in \Sigma$

এখন যেহেতু আমি একটি সিএ তে টিএম এর কাজের মডেল করার উপায়টি ব্যাখ্যা করেছি, আসুন দেখুন কেন আমাদের 15 টি প্রতীক প্রয়োজন। আমি উপরে যে লিঙ্কটি দিয়েছি আমাদের কাছে একটি সার্বজনীন টিএম রয়েছে states টি রাজ্য এবং ৪ টি প্রতীক সহ:$U_{6,4}$

সুতরাং, আমাদের সমস্ত বর্ণমালা প্রতীক প্রয়োজন, যা 4, এবং সমস্ত রাষ্ট্রীয় প্রতীক যা 6 হয় এবং সমস্ত রাষ্ট্রীয় প্রতীকগুলি যেমন একটি নিয়ম , যা , সুতরাং, আমাদের মোট 15 টি প্রতীক প্রয়োজন। p , x → q , y , L u 1 , u 3 , u 4 , u 5 , u $q'$$p,x\to q,y,L$$u_1, u_3, u_4, u_5, u_6$

সুতরাং, এখন 2 এবং 15 টি চিহ্ন (একচেটিয়া) এর মধ্যে একটি ফাঁক রয়েছে, যা আমরা জানিনা।