এই ভার্টেক্স চক্র কভার সমস্যার জন্য একটি কার্যকর অ্যালগরিদম আছে?


23

আমি নির্দেশিত গ্রাফ এর সর্বাধিক ভার্টেক্স চক্রের কভার সন্ধান করার জন্য একটি অ্যালগরিদম সন্ধান করার চেষ্টা করেছি - এটি হ'ল বিভ্রান্ত চক্রের একটি সেট যা সমস্ত অনুভূমিকায় রয়েছে যতটা সম্ভব চক্র রয়েছে (আমরা বিবেচনা করি না স্বতন্ত্র অনুভূমিক চক্র এখানে)। আমি জানি যে একটি ন্যূনতম ভার্টেক্স চক্রের কভার খুঁজে পাওয়ার পাশাপাশি ঠিক চক্রের সাথে একটি শীর্ষবিন্দু চক্রের কভার সন্ধান করার সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ। তবে সর্বাধিক ক্ষেত্রে কী হবে?জি কেGGk

যদিও আমি সাধারণভাবে এর আকর্ষণীয় উত্তর পেয়েছি, আমি যে গ্রাফগুলির জন্য এটি ব্যবহার করতে চাই সেগুলি তাদের নির্মাণের দ্বারা আসলে বেশ সীমাবদ্ধ, তাই সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ হলেও এমনকি এই নির্দিষ্ট উদাহরণগুলির জন্য একটি বহুবর্ষ সমাধান হতে পারে।

আমাদের কাছে পূর্ণসংখ্যার , এলিমেন্ট এর একটি তালিকা রয়েছে এবং আমরা এটিকে বাছাইয়ের পরে , জন্য , উপাদানসমূহ ব্যবহার করব । উদাহরণ হিসাবে:l আই এস এস আই এলLliSsiL

L=(1,3,2,5,0,7,4,2,6,0,8,1)S=(0,0,1,1,2,2,3,4,5,6,7,8)

গ্রাফের সাথে চিহ্নিত করা হবে যেমন এবং । একটি নির্দেশিত প্রান্ত রয়েছে এবং যদি কেবল । (এই গ্রাফের একটি চক্র মানগুলির সংকলনের সাথে সামঞ্জস্য করে যা চক্রাকারে এমনভাবে অনুমতি দেওয়া যেতে পারে যে তারা তাদের সাজানো অবস্থানে শেষ করবে))l i = n s in ( n , i ) ( m , j ) s j = n(n,i)li=nsin(n,i)(m,j)sj=n

উপরের উদাহরণটি নিম্নলিখিত গ্রাফটি প্রদান করবে (1-ভিত্তিক সূচকগুলি ব্যবহার করে):

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

একটি জিনিস যা কাজ করে না তা হ'ল বারবার ক্ষুদ্রতম চক্রটি সরিয়ে ফেলার লোভী দৃষ্টিভঙ্গি (যেমন উদাহরণটি দেখায়)।

নোট করুন যে এই সমস্যাটি (যদি আমি কোনও ভুল না করি) আপনাকে প্রদত্ত তালিকাকে বাছাই করতে কতগুলি অদলবদল প্রয়োজন তা জিজ্ঞাসার সমতুল্য । (যা প্রথমে এই সমস্যাটিকে সন্ধান করার জন্য অনুপ্রাণিত হয়েছিল))

জুহোর উত্তর থেকে কিছু পয়েন্টার এবং সাহিত্যের মধ্য দিয়ে কিছুটা সরে যাওয়ার পরে, আমি নিয়োগের সমস্যাটি নিয়ে এসেছি যা খুব ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত বলে মনে হচ্ছে। যাইহোক, অ্যাসাইনমেন্টের সমস্যাটি একটি ওজনযুক্ত দ্বিপক্ষীয় গ্রাফের ভিত্তিতে তৈরি করা হয়েছে এবং এ পর্যন্ত এই সমস্যাটি হ্রাস করার জন্য আমি এজ এবং ওজন চয়ন করার উপায় খুঁজে পাইনি able যদি আমরা এখানে ওজন কার্যকারিতা হ্রাস করার শর্তে সমস্যাটি গঠন করতে চাই, তবে একটি স্বজ্ঞাত পন্থাটি বলতে হবে যে প্রতিটি চক্রের ওজন যেখানেচক্রের প্রান্তগুলি (বা শীর্ষে) is (অবশ্যই এটি কেবল ওজন সেট করার সমতুল্য| সি | - 1|C|1|C|1।) অর্থাৎ ওজন চক্রের আকারের উপর নির্ভর করে, এটিতে অন্তর্ভুক্ত বিশেষ প্রান্ত নয়। তবে এটি কীভাবে সমস্যা কমাতে পারে তার জন্য অন্যকে ধারণা দেয়।

এটি আরও উপস্থিত হয় যে চক্রের আকারকে সীমাবদ্ধ করা সাধারণ গ্রাফগুলির জন্য সমস্যাটিকে এপিএক্স-হার্ড করে তোলে। এটি অগত্যা বোঝাতে পারে না যে চক্রের সংখ্যা বাড়ানোর জন্য এবং এখানে বিবেচনাধীন নির্দিষ্ট গ্রাফগুলির ক্ষেত্রে এটি একই সত্য, তবে এটি যথেষ্ট গুরুত্বপূর্ণভাবে জড়িত যে এটি গুরুত্বপূর্ণ হতে পারে বলে মনে হয়।

সংক্ষেপে: উপরের প্রক্রিয়া থেকে নির্মিত গ্রাফগুলির জন্য সর্বাধিক শীর্ষস্থানীয় বিচ্ছিন্ন চক্রের কভারটি পাওয়া যাবে?

দু'পক্ষ হিসাবে আমিও আগ্রহী যে সর্বাধিক ভার্টেক্স বিচ্ছিন্ন চক্র কভারটিতেও স্বেচ্ছাসেবী গ্রাফগুলির একটি কার্যকর সমাধান রয়েছে যা কমপক্ষে একটি চক্র কভার স্বীকার করে (যা সম্ভবত মূল প্রশ্নের উত্তর হিসাবে বেরিয়ে আসবে), বা কিনা সর্বাধিক কভারের চক্রের সংখ্যা নির্ধারণ করা (প্রতিটিটিতে থাকা প্রকৃত প্রান্তগুলির বিপরীতে) সমস্যাটিকে আরও সহজতর করে তোলে। লোকেরা যদি তারা নিজেরাই পুরোপুরি উত্তর প্রাপ্য বলে মনে করে তবে এগুলি পৃথক প্রশ্ন হিসাবে পোস্ট করতে পেরে আমি আনন্দিত।


আপনি কি কিডনি এক্সচেঞ্জগুলিতে সিএস সাহিত্যের দিকে নজর রেখেছেন? সমস্যাটি সম্পর্কিত বলে মনে হচ্ছে, তাই আমি অবাক হয়েছি যে সেখানকার যে কোনও একটি পদ্ধতিও এটি প্রয়োগ করা যেতে পারে। যদিও এটি একটি মৃত
ডিডাব্লু

@ ডিডব্লিউ আমি না (আমি জানতাম না যে এটি একটি জিনিস)। আমি যা দেখতে পাচ্ছি তা দেখব, ধন্যবাদ।
মার্টিন এন্ডার

সমস্যাটি প্রকৃতপক্ষে একটি তাত্ত্বিক pov থেকে অধ্যয়নরত কিডনি এক্সচেঞ্জের মতোই যেমন রাফগার্ডেনের এই গবেষণাপত্রটি ব্যাখ্যা করেছে যে ছোট চক্রগুলি প্রায় সুস্পষ্ট কারণে পছন্দ করা হয় (পি 3); চক্রের আকারগুলি "যুগপত ক্রিয়াকলাপ" বোঝায় এবং
ছোটগুলি

@ অস্টিনমোহর আমি বিশ্বাস করি যে আমার বর্ণিত নির্মাণ থেকে প্রাপ্ত গ্রাফগুলি সর্বদা চক্রের মধ্যে দ্রবীভূত হবে (এবং তদুপরি আপনি কোন চক্রটি সরিয়ে ফেলুন তা বিবেচনা না করেই বাকী অংশটি চক্রের মধ্যে ক্ষয়যোগ্য হবে)। আপনি যদি সাধারণ গ্রাফগুলি পাশাপাশি সম্বোধন করতে চান তবে ধরে নিন যে কমপক্ষে একটি সম্পূর্ণ কভার বিদ্যমান exists
মার্টিন ইন্ডার

@ মার্টিনব্যাটনার আপনার নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে যদি তালিকার সমস্ত উপাদান আলাদা আলাদা হয় তবে আপনার সমস্যাটি কি অনুমানের (অনন্য) চক্রের পঁচন সন্ধানের সমতুল্য হবে ?
মুহুম

উত্তর:


4

নির্দেশিত গ্রাফের একটি চক্রের কভারটি ভার্টেক্স-বিচ্ছিন্ন চক্রের সমাহার হতে পারে যাতে প্রতিটি শীর্ষবিন্দু ঠিক একটি চক্রে থাকে। সুতরাং যদি আমি আপনাকে সঠিকভাবে বুঝতে পারি, নির্দেশিত গ্রাফ প্রদত্ত , আপনি সর্বাধিক চক্রের কভার চান, যেখানে প্রতিটি চক্রের দৈর্ঘ্য কমপক্ষে (সম্ভবত , বা কমপক্ষে )। একটি চক্র কভার যেখানে প্রতিটি চক্র দৈর্ঘ্য হল অন্তত একটি বলা হয় -cycle কভারকে কে = 2 কে = 3 কে কেGkk=2k=3 kk

ডিজিট্রাফ -তে 2-চক্রের কভার রয়েছে কিনা তা স্থির করে বহু-কালীন সময়ে দ্রবণযোগ্য। এর 3-চক্রের কভার রয়েছে কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ। সম্পর্কিত অপ্টিমাইজেশান সমস্যা (অর্থাত্ সর্বাধিক ওজন 3-চক্রের কভার সন্ধান করা) এপিএক্স-সম্পূর্ণ, এবং এর একটি -প্রপ্রক্সিমেশন অ্যালগরিদম (কোনও )। এখানে সুসংবাদটি হ'ল যে কোনও ব্যক্তি বহুপদী সময়গুলিতে সর্বাধিক ওজন 2-চক্রের কভারও গণনা করতে পারেন (সরবরাহিত প্রান্তের ওজনগুলি ননজেটিভ নয়)।জি ( ( 3 / 5 ) - ε ) ε > 0GG((3/5)ϵ)ϵ>0

উপরের দাবিগুলির বিশদ এবং প্রমাণের জন্য, দেখুন [1]


[1] ব্লজার, মার্কাস এবং বোডো মান্থে। "3-চক্র কভারের জন্য দুটি আনুমানিক অ্যালগরিদম।" সম্মিলিত অপ্টিমাইজেশনের জন্য আনুমানিক অ্যালগরিদম। স্প্রিঞ্জার বার্লিন হাইডেলবার্গ, 2002. 40-50।


আকর্ষণীয়, আমি সেই কাগজটি থেকে রেফারেন্সগুলি অনুসরণ করার চেষ্টা করব। ধন্যবাদ। (আমি যখন অবশ্যই ভেবেছিলাম যে কে-সাইকেল কভারগুলি হুবহু কে-চক্রের সাথে কভার ছিল I বা অন্যত্র এটি অন্যরকম সংজ্ঞা হিসাবে ব্যবহৃত হতে পারে))
মার্টিন ইন্ডার

2
@ MartinBüttner যাইহোক, আপনি সম্ভবত একটি চেহারা Bläser এর পিএইচডি থিসিস আছে করতে হবে এখানে । (এটি জার্মান ভাষায়, তবে সম্ভবত :-) নিয়ে আপনার কোনও সমস্যা হবে না)। এটিতে সর্বাধিক ওজন 2-চক্রের কভার গণনা করার বিশদটি আবরণ করা উচিত।
জুহো

আহ অপেক্ষা করুন, আমি প্রকৃতপক্ষে ন্যূনতম ওজন 2-চক্রের কভার খুঁজছি (যেমন একটিতে সর্বাধিক পরিমাণ চক্র রয়েছে, যেহেতু ওজন হতে চলেছে যেখানে চক্রের সংখ্যা আবরণ). (এখনও যদি থিসিসটি coveredাকা থাকে তবে এটি পড়ছেন এবং আমি মনে করি এটি তবে এটি আপনার উত্তর সর্বাধিক ওজনের দিকে মনোযোগ দেবে))এন|V|nn
মার্টিন এেন্ডার

এ সম্পর্কে আরও কিছু চিন্তা করে, আমি নিশ্চিত নই যে ওজনের দিক দিয়ে সমস্যাটি তৈরি করা আসলেই সম্ভব। সমান ওজন সহ সমস্ত চক্র কভারের ওজন একই থাকে। আমার একটি চক্রের জন্য "ব্যয়" আসলে এটির দৈর্ঘ্য বিয়োগ 1 That's এজন্যই আমি যতটা সম্ভব চক্র চাই। এটি যদি ওজনের ক্ষেত্রে তৈরি করা যায় তবে এটি নিয়োগের সমস্যা হ্রাস পাবে, তবে আমি যদি অনুমান করি না তবে আমার অনুসন্ধান চালিয়ে যাওয়া দরকার।
মার্টিন ইন্ডার
আমাদের সাইট ব্যবহার করে, আপনি স্বীকার করেছেন যে আপনি আমাদের কুকি নীতি এবং গোপনীয়তা নীতিটি পড়েছেন এবং বুঝতে পেরেছেন ।
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.