ক্ষয়িষ্ণুতা এর গঠনমূলক সংস্করণ?

Question

আজ মধ্যাহ্নভোজনে, আমি এই সমস্যাটি আমার সহকর্মীদের সাথে নিয়ে এসেছি, এবং আমার অবাক করে দিয়েছি যে সমস্যাটি নির্ধারিত বলে জেফ ইয়ের যুক্তি তাদের বোঝাতে পারেনি ( এখানে গণিত প্রবাহের একটি ঘনিষ্ঠ সম্পর্কিত পোস্ট রয়েছে)'s একটি সমস্যার বিবৃতি যা ব্যাখ্যা করা সহজ ("এটি পি = এনপি?") এটিও নির্ধারণযোগ্য: হয় হ্যাঁ বা না, এবং সুতরাং এই দুটি উত্তরগুলির মধ্যে একটি যে সবসময় এই উত্তরগুলির ফলাফল দেয়। সাধারণত, আমরা সেটটি সিদ্ধান্ত নিতে পারি$S :=\{|\{P, NP\}|\}$: হয় যে মেশিন আউটপুট $1$ শুধুমাত্র ইনপুট জন্য $1$ এবং অন্যথায় $0$ এটি সিদ্ধান্ত নেয় বা মেশিন যা ইনপুটটির জন্য এটি করে $2$।

এর মধ্যে একটি এটি মূলত এই আপত্তিটিকেই সিদ্ধ করে দিয়েছে: যদি সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্যতার মানদণ্ডটি কতটা দুর্বল হয় - যার দ্বারা বোঝা যায় যে প্রতিটি প্রশ্ন যা আমরা সীমাবদ্ধ হিসাবে দেখাতে পারি এমন একটি ভাষা হিসাবে আনুষ্ঠানিক করতে পারি - তবে আমাদের একটি মানদণ্ড আনুষ্ঠানিকভাবে প্রকাশ করা উচিত যা চূড়ান্তভাবে বহু সম্ভাব্য উত্তরগুলির সাথে কোনও সমস্যা রেন্ডার করে না যা এইভাবে সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য formal যদিও নিম্নলিখিতটি সম্ভবত একটি শক্তিশালী মাপদণ্ড হিসাবে রয়েছে, আমি প্রস্তাব দিয়েছিলাম যে সম্ভবত সিদ্ধান্তটি কোনও টিএম প্রদর্শন করতে সক্ষম হওয়া উচিত, মূলত বিষয়টি সম্পর্কে স্বজ্ঞাতদৃষ্টির দৃষ্টিভঙ্গির প্রস্তাব দেওয়ার জন্য (যার দিকে আমি ঝোঁক রাখি না) - আমার যে কোনও সহকর্মী করুন, তাদের সবাই বাদ পড়ার মাঝের আইনটি গ্রহণ করুন)।

লোকেরা কি ক্ষয়িষ্ণুতার একটি গঠনমূলক তত্ত্বকে আনুষ্ঠানিকভাবে এবং সম্ভবত অধ্যয়ন করেছে?

Comments

আপনি যদি মনে করেন যে কোনও ট্যাগ উপযুক্ত হবে তবে এগুলি সংযোজন করতে দ্বিধা বোধ করবেন।

— জি। বাচ

Pfew। যদিও আপনি আজ লাঞ্চ করেছেন।

— অবারোন

আমার সন্দেহ যে গঠনমূলক গণনা যথেষ্ট বিরক্তিকর হবে। (তারা যে অভিযোগটির বিষয়ে অভিযোগ করেছেন তার চেয়ে আমি তাদের আপত্তিটি দুর্বল বলে মনে করি))

— রাফেল

কীভাবে এমন কোনও মেশিন যা প্রমাণের জন্য সমান্তরালে অনুসন্ধান করে $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$ এবং $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$এবং সেই অনুযায়ী কাজ? প্রশ্নটি সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য বলে ধরে নিই, মেশিনটি সর্বদা থামবে এবং ভাষাটি গ্রহণ করবে। আপনি কি অনুমতি দিন?

— যুবাল ফিল্মাস

@ জি.বাচ আপনি এটি দেখতে পাবেন না কারণ আমরা জানি না যে এটি বিদ্যমান। তবে যদি ধরে নিই$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$স্বতন্ত্র নয়, তবে প্রোগ্রামটি কাজ করে। যদি এটি স্বাধীন হয়, তবে আপনার ভাষা নিজেই মডেল-নির্ভর, যা কিছুটা অদ্ভুত।

— যুবাল ফিল্মাস

Answer 1

আমি মনে করি আপনি যে প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করার চেষ্টা করছেন সেটি হ'ল "গণনা তত্ত্বটি গঠনমূলক?" এবং এটি একটি আকর্ষণীয় প্রশ্ন, আপনি গণিতের মেইলিং তালিকার ফাউন্ডেশনগুলির উপর এই আলোচনার মাধ্যমে দেখতে পাচ্ছেন ।

আশ্চর্যজনকভাবে, এটি বিবেচনা করা হয়েছে, যেহেতু প্রচুর পুনরাবৃত্তি তত্ত্বটি গঠনমূলক সংবেদনশীলতা এবং তদ্বিপরীত লোকেরা দ্বারা বিকশিত হয়েছিল। উদাহরণস্বরূপ বেসনের বই এবং ধাতববিদ্যায় সম্মানজনক ভূমিকা দেখুন । এটি বেশ পরিষ্কার যে পুনরাবৃত্তি তত্ত্বের প্রথম দুটি দম্পতি ন্যূনতম পরিবর্তন সহ একটি গঠনমূলক সেটিংয়ে চলেছে: উদাহরণস্বরূপ স্ন্যাম উপপাদ্য, রাইসের উপপাদ্য বা ক্লিন পুনরাবৃত্তি তত্ত্বগুলি অপরিবর্তিত রয়েছে।

যদিও প্রথম অধ্যায়গুলির পরে বিষয়গুলি কিছুটা শক্ত হয়ে যায়। বিশেষত, পাটিগণিত শ্রেণিবিন্যাসের উচ্চ স্তরের সাধারণত সত্যের ধারণা দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়। বিশেষত, লো বেসিসের উপপাদ্যের মতো ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত উপপাদগুলি সুস্পষ্টভাবে অ-গঠনমূলক বলে মনে হয়।

সম্ভবত আরও বাস্তবিক প্রতিক্রিয়া, যদিও, এই "প্যারাডোক্সিক্যালি গণনাযোগ্য ভাষাগুলি" হ'ল একটি আইডিসিএনক্র্যাসি, যা (এবং থাকতে পারে) বাস্তবের অ-পরিমাপযোগ্য সেটগুলির মতো দুর্দান্ত দৈর্ঘ্যে অধ্যয়ন করা যেতে পারে, তবে প্রথমবারের আশ্চর্য ঘটনাটি একবার হয়ে গেছে been কাটিয়ে উঠুন, কেউ আরও মজাদার জিনিসগুলিতে যেতে পারে।

Comments

যারা দুর্দান্ত পয়েন্টার মত চেহারা, ধন্যবাদ! আমি প্রশ্নটি অন্য এক বা তিন দিনের জন্য খোলা রেখে দেব, কেবলমাত্র এটি দেখার জন্য যে অন্য লিডগুলি তদন্তের পক্ষে জানে কিনা।

— জি। বাচ

আমি কম্পিউটাবিলিটিটিও যুক্ত করব: ডগলাস এস ব্রিজের একটি গাণিতিক স্কেচবুক । তিনি শাস্ত্রীয় যুক্তি বনাম গঠনমূলক যুক্তির ইস্যুটি আলোচনায় আলোচনা করেছেন।

— কাভেঃ

Answer 2

শাস্ত্রীয় যুক্তিতে, প্রতিটি বিবৃতি প্রদত্ত যে কোনও মডেলটিতে হয় তা সত্য বা মিথ্যা। উদাহরণস্বরূপ, প্রাকৃতিক সংখ্যা সম্পর্কে যে কোনও প্রথম-আদেশের বিবৃতি "আসল বিশ্বে" সত্য বা মিথ্যা (এই প্রসঙ্গে সত্য অঙ্কিত হিসাবে পরিচিত )। গুডেলের অসম্পূর্ণতা উপপাদ্য সম্পর্কে কী বলা যায়? এটি কেবলমাত্র বলেছে যে আসল গাণিতিকগুলির কোনও পুনরাবৃত্তীয়ভাবে গণনাযোগ্য অডিওমাইটিজেশন সম্পূর্ণ নয়।

সংক্রান্ত $\mathsf{P}$ বনাম $\mathsf{NP}$বেশিরভাগ গবেষকরা তা বিশ্বাস করেন $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$, কিছু যে $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$, এবং মুষ্টিমেয় লোকেরা বিশ্বাস করে যে এটি জেডএফসির থেকে স্বাধীন। মনে করুন যে আপনি স্বীকার করতে ইচ্ছুক যে এটি বাস্তবে জেডএফসি থেকে স্বতন্ত্র নয় (একইভাবে আপনি স্বীকার করতে ইচ্ছুক যে জেডএফসি প্রথম স্থানে সামঞ্জস্যপূর্ণ)। সেক্ষেত্রে একটি সম্পূর্ণ সুস্পষ্ট ট্যুরিং মেশিন রয়েছে যা আপনার ভাষাকে গণনা করে। যন্ত্রটি প্রমাণের জন্য অনুসন্ধান করে$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$ অথবা $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$যতক্ষণ না একটি পাওয়া যায় এবং তারপরে ততক্ষণে এগিয়ে যায়। আমরা প্রমাণ করতে পারি যে এই মেশিনটি আপনার ভাষা গ্রহণ করে, যদিও আমরা এখনও জানি না যে সেই ভাষাটি ঠিক কী!

আপনি যদি তা মানতে রাজি না হন $\mathsf{P} \stackrel{?}{=} \mathsf{NP}$জেডএফসি দ্বারা সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়, তারপরেও আপনি জিজ্ঞাসা করতে পারেন যে কোনও স্পষ্টত টুরিং মেশিন রয়েছে যা আপনার ভাষা গ্রহণ করে। আমি এই মন-উদ্বেগজনক প্রশ্নটি আগ্রহী পাঠকের কাছে ছেড়ে দিই।

Answer 3

(অস্বীকৃতি, একটি অস্পষ্ট প্রশ্নের একটি অস্পষ্ট উত্তর যা সম্ভবত সিস্টেরিতে আরও ভাল ফিট করে )। constructibility একটি "বড় চুক্তি" তাত্ত্বিক গণিত কিন্তু এটা বিশেষত যেমন semifamous যেমন ক্রমাগত প্রেক্ষিতে দেখায় Banach-Tarski প্যারাডক্স । এই প্যারাডক্সগুলি সাধারণত "এখনও আরও" আলাদা "সিএস " তে প্রদর্শিত হবে বলে মনে হয় না । সুতরাং সিএসে গঠনযোগ্যতা (এনালগ / সমান্তরাল) কী? উত্তরটি এত পরিষ্কার বলে মনে হচ্ছে না। এটি সিএসের চেয়ে বেশি গণিত গবেষণায় উদ্ভূত একটি ধারণা এবং দুটি এখনও এই নির্দিষ্ট ক্রুসে খুব বেশি "এ পর্যন্ত" বাঁধা আছে বলে মনে হয় না ।

একটি উত্তর হ'ল সিদ্ধান্ত্যতত্ত্বের তত্ত্বটি বাস্তবে গঠনতন্ত্রের ভিন্নতা বলে মনে হয় অর্থাৎ কোন সেটগুলি গণনাযোগ্য যা নির্ধারিতভাবে সংযুক্ত বলে মনে হচ্ছে তা নির্ধারণের একটি কঠোর পদ্ধতি ।

গঠনতন্ত্রতা "জেডএফসি থেকে স্বাধীনতা" এর কিছু ইস্যু নিয়ে কাজ করে এবং এই ক্ষেত্রগুলিতে এই কাগজে দৈনিক বিবেচনা করা হয় আ্যারনসন আর্ট পি বনাম এনপি, পি বনাম এনপি কি আনুষ্ঠানিকভাবে স্বাধীন? ।

এটি প্রকৃতপক্ষে প্রদর্শিত হয়নি যে "প্যারাডক্স" গঠনমূলক সমস্যার দিকে ইঙ্গিত করে বলে মনে হয় তবে আরোনসনস পেপারের মতো একটি রুক্ষ উপমাটির জন্য এটি একটি রুক্ষ গাইড হিসাবে গ্রহণ করতে পারে যেখানে তিনি উদাহরণস্বরূপ যে ওরাকল ফলাফলগুলিকে বিশেষভাবে বেকারের কিছু "প্যারাডক্সিকাল" স্বাদ বলে মনে করেন গিল সলোভে 1975 এর ফলস্বরূপ যে ওরাকলগুলি উভয় যেমন P ^A = NP ^A এবং P ^B ≠ NP ^{B বিদ্যমান} । থেমস এর মতো অন্যান্য প্যারাডোক্সিকাল হ'ল ব্লাম গ্যাপ এবং স্পিডআপ উপপাদ্য।

সিএস তার মৌলিক সময় / মহাকাশ শ্রেণিবিন্যাসের উপপাদ্যগুলিতে "সময় / স্থান" গঠনমূলক ফাংশনগুলিতে কেন্দ্রীভূত করে তা কি কেবল একটি কাকতালীয় বিষয় ? (যা তখন ব্লামের মতো প্যারাডক্সকে প্রায় "ডিজাইনের মাধ্যমে" বাদ দেয় ?)

অন্য উত্তরটি হ'ল এটি সক্রিয় তদন্ত / গবেষণার অধীনে রয়েছে যেমন এই অনুসন্ধানে। গঠনমূলকতা গণিতে "বৃহত কার্ডিনাল" এর সাথে জড়িত বলে জানা যায় : অসীম গেমগুলির জন্য জয়ী কৌশল: বড় কার্ডিনাল থেকে কম্পিউটার বিজ্ঞান / রেসায়ারে to

"শার্প" মার্টিনের বৃহত কার্ডিনাল অ্যাকিয়োম ব্যবহার করে বিশ্লেষণাত্মক নির্ধারন প্রমাণিত হয়েছিল: দুই খেলোয়াড়ের মধ্যে নিখুঁত তথ্যের প্রতিটি অসীম খেলায় খেলোয়াড়দের মধ্যে একটির জন্য একটি বিজয়ী কৌশলটির অস্তিত্ব, প্রদত্ত খেলোয়াড়দের মধ্যে একটির জয়ের সেট বিশ্লেষক হিসাবে দেখা দেয় এক. আমি তার প্রমাণটিকে সংশোধন ও পরিপূরক করি যাতে সীমাবদ্ধ রাষ্ট্র নির্ধারণের রবিন, বুয়েচি-ল্যান্ডউবার, গুরভিচ-হ্যারিংটনের উপপাদ্যটির একটি নতুন প্রমাণ পেতে: প্লেয়ারের জয়ের সেটগুলি যখন সীমাবদ্ধ থাকে তখন একটি সীমাবদ্ধ রাষ্ট্রের মেশিন দ্বারা গণনা করা একটি বিজয়ী কৌশলটির অস্তিত্ব রাষ্ট্র গৃহীত