জোড়া বল দিয়ে ভরাট বিন

একটি বিন বলা হয় পূর্ণ যদি এটা অন্তত রয়েছে বল। আমাদের লক্ষ্যটি যতটা সম্ভব পরিপূর্ণভাবে পূর্ণ করা। $k$

সহজ দৃশ্যে, আমাদের বল দেওয়া হয় এবং এগুলি নির্বিচারে সাজানো যেতে পারে। সেক্ষেত্রে স্পষ্টতই আমরা সবচেয়ে ভাল করতে পারি নির্বিচারে বেছে নিন এবং প্রতিটিতে বল রেখে দিন balls $n$ $\lfloor n/k \rfloor$ $k$

আমি নিম্নলিখিত দৃশ্যকল্প আগ্রহী: আমরা দেওয়া হয় জোড়া বল। আমাদের প্রতিটি জোড়ের দুটি বল দুটি আলাদা আলাদা করে রাখতে হবে। তারপরে, একটি বিরোধী আসে এবং প্রতিটি জোড়া থেকে একটি বল সরিয়ে দেয়। অপসারণের পরে সর্বাধিক সম্ভাব্য পূর্ণ সংখ্যার সংখ্যার জন্য আমরা কী করতে পারি? $n$

একটি সহজ কৌশল হ'ল: জোড়া জোড়। প্রতিটি বিন-জোড়াটি বল-জোড়া (প্রতিটি বল থাকে, প্রতিটি জোড়া থেকে একটি বল থাকে) পূরণ করুন। তারপরে, আমাদের বিরোধীরা যা সরিয়ে দেয় তা নির্বিশেষে আমাদের প্রতিটি বিন-জোড়ায় কমপক্ষে একটি পূর্ণ বিন রয়েছে। $\lfloor n/(2k-1) \rfloor$ $2k-1$ $2k-1$

আমাদের কী এমন একটি কৌশল আছে যা বৃহত সংখ্যক পূর্ণ শূন্যস্থান অর্জন করে ( )? $\lfloor n/(2k-1) \rfloor$

combinatorics balls-and-bins

— এরেল সেগাল-হালেভি
সূত্র

আমি এটি বিশ্বাস করি না

— জ্যাচ সসিয়ের

n

$n$ দেওয়া হয় এবং

k

$k$ দেওয়া হয়?

k

$k$ উপর নির্ভর করে?

n

$n$

— এভিল

@ এভিলজেএস

n

$n$ এবং

k

$k$ দেওয়া হয়েছে এবং স্বতন্ত্র।

— এরেল সেগাল-হালেভি

সব তাঁর খেলোয়াড় জায়গা করে

বল জোড়া এবং তারপর প্রতিদ্বন্দ্বী অকার্যকর

বাজে কথা ?, বা খেলোয়াড় জায়গা বাজে কথা একজোড়া করে এবং তারপর প্রতিদ্বন্দ্বী যে যুগল থেকে এক বেছে এবং তারপর খেলোয়াড় রাখে পরবর্তী যুগল এবং প্রতিদ্বন্দ্বী অকার্যকর এক এবং আরও কতক্ষণ বলের আর জোড়া লাগবে না?

n

$n$

n

$n$

— রোটিয়া

@ আরটিয়া প্লেয়ার তার সমস্ত এন পেলে বল রেখে দেয় এবং তারপরে শত্রুরা এন বলগুলিকে বেছে নেয়।

— এরেল সেগাল-হালেভি

টিএল; ডিআর - না, সহজ কৌশলটির চেয়ে ভাল কৌশল আর নেই। প্রমাণের মূল ধারণাটি এখানে। যখন পর্যাপ্ত বল না থাকে, সর্বাধিক বল সহ একটি ফুল বিন থেকে একটি বিন পর্যন্ত একটি "বল পাথ" থাকবে । প্রতিদ্বন্দ্বী সেই পথ বরাবর কম পূর্ণ বিন, যা বারবার করা যাবে না হওয়া পর্যন্ত সংখ্যার যে পুরো বিন থেকে একটি বল পাস করতে পারেন BREAK -সম্পূর্ণ বিন কমে যাবে। $k$ $k-2$ $k$

গ্রাফ তত্ত্বে সংস্কার

ধরুন আমাদের সহ একটি সাধারণ সীমাবদ্ধ গ্রাফ । বলতে আছে প্রান্ত মধ্যে বল । যাক হোন (শেষ হিসাবে চিহ্নিত প্রান্ত) সেট । যদি সন্তুষ্ট হয় $G(V,E)$ $w: E\to\Bbb Z_{\ge 0}$ $w(e)$ $e$ $E_2$ $\{(e,v)| e\in E, v\in e\}$ $d:E_2\to\Bbb Z_{\ge 0}$ জন্য প্রতি প্রান্ত , আমরা বলতে যে হয় -distributing। কোন -distributing ফাংশন একটি ফাংশন, যা আমরা ব্যবহার একই প্রতীক, সংঘটিত , $w(e)=d(e,v_1) + d(e,v_2)$ $e=\{v_1,v_2\}$ $d$ $w$ $w$ $d$ $d:V\to\Bbb Z_{\ge 0}$ । আমরা বলি যে বলগুলি । প্রদত্ত যাক , দ্বারা সম্পূর্ণউল্লম্বেরসংখ্যা। $d(v) =\sum_{v\in e}d(e,v)$ $d(v)$ $v$ $k\in\Bbb Z_{\gt0}$ $F_k(d)=\#\{v\in V|d(v)\ge k\}$ $k$ $d$

(Erel-Apass উপপাদ্য) কোন সহজ সসীম গ্রাফের জন্য এবং , আমরা $G(V,E)$ $w:E\to\Bbb Z_{\ge0}$ $\sum_{e\in E}w(e)\geq (2k-1) \min_{w\text{-distributing }d}F_k(d)$

কল্পনা করুন যে প্রতিটি শীর্ষবিন্দু একটি বাক্স। প্রতিটি প্রান্তের , বল- এবং , যার প্রত্যেকটিতে বল পাওয়া যায়। এ দুটির মধ্যে বল জোড়া প্রতিদ্বন্দ্বী দূরে নিতে পারে থেকে বল এবং $e=\{v_1,v_2\}$ $w(e)$ $v_1$ $v_2$ $w(e)$ $w(e)$ $d(e,v_2)$ $v_1$ থেকে বল। শেষের ফলাফলটি একই রকম, প্রথমদিকে সমস্ত খালি বিনা দেওয়া হয়, প্রতিটি প্রান্তের জন্য , বলগুলি এতে রাখা হয় এবং তারপরে, এবং বলগুলিপ্রতিপক্ষের দ্বারা যথাক্রমে এবং বিতরণ করাহয়। অতএব,এরেল-অ্যাপাস উপপাদ্যটি নিশ্চিত করার জন্য বলেছেন $d(e,v_1)$ $v_2$ $e=\{v_1, v_2\}$ $w(e)$ $d(e,v_1)$ $d(e,v_2)$ $v_1$ $v_2$ স্মার্ট প্রতিপক্ষের অপসারণের পরে কে-পূর্ণ বিনগুলি, কমপক্ষে জোড়া বলের প্রয়োজন। $t$ $(2k-1)t$ অন্য কথায়, সর্বাধিক সম্ভাব্য পূর্ণ সংখ্যার বাকী অংশ রাখার একটি সর্বোত্তম কৌশলটি হ'ল সত্যই "কৌশল", যা বারবার বল-জোড়াদিয়ে আলাদা জোড়ায় পূর্ণ করে তোলেযতক্ষণ না আমাদের কাছে পুনরায় বলের পর্যাপ্ত বল না থাকে until । $2k-1$

উপপাদ্য প্রমাণ

বৈপরীত্যের স্বার্থে, এবং এমন একটি পাল্টা নমুনা হওয়া যাক যার উল্লম্বের সংখ্যাটি সমস্ত প্রতিবিম্বের মধ্যে সবচেয়ে ছোট। অর্থাৎ নেই -distributing যেমন যে সমস্ত মধ্যে সংক্ষিপ্ত এর -distributing ফাংশন । তদ্ব্যতীত, $G(V,E)$ $w$ $w$ $m$ $F_k(m)$ $F_k(d)$ $w$ $d$

\underset{ই \in ই}{Σ} W (ই) < (2 ট - 1) {এফ}_{ট} (মি)

$\sum_{e\in E}w(e)\lt (2k-1)F_k(m)$

যাক । যাক । তাই । $V_s=\{v\in V | m(v)\le k-2\}$ $V_\ell=\{v\in V|m(v)\geq k\}$ $F_k(m)=\#V_\ell$

দাবি এক: । $V_s\neq\emptyset$
এক দাবি প্রমাণ। ধরুন অন্যথায় খালি রয়েছে। $V_s$ এছাড়াও পুনঃব্যবহারের আসুন একটি ফাংশন হিসাবে থেকে করতে যেমন যে কোন ।

\underset{বনাম \in ভী}{Σ} মি (বনাম) = (ট - 1) # ভী + + \underset{বনাম \in ভী}{Σ} (মি (বনাম) - (ট - 1)) \geq (ট - 1) # ভী + + # {ভী}_{ℓ} > (ট - 1) # ভী

$\sum_{v\in V}m(v)= (k-1)\#V +\sum_{v\in V}(m(v)-(k-1)) \ge (k-1)\#V + \#V_\ell \gt (k-1)\#V$

w

$w$

V

$V$

Z_{\geq 0}

$\Bbb Z_{\ge 0}$

w (v) = \sum_{v \in e} w (e)

$w(v)=\sum_{v\in e}w(e)$

v \in V

$v\in V$

তাই সেখানে একটি প্রান্তবিন্দু হতে হবে

যেমন যে

।

\begin{aligned} \underset{বনাম \in ভী}{Σ} W (বনাম) & = \underset{বনাম \in ভী}{Σ} \underset{বনাম \in ই}{Σ} W (ই) = \underset{ই \in ই}{Σ} \underset{বনাম \in ই}{Σ} W (ই) = \underset{ই \in ই}{Σ} 2 W (ই) = 2 \underset{ই \in ই}{Σ} W (ই) \\ = 2 \underset{ই \in ই}{Σ} \underset{বনাম \in ই}{Σ} মি (ই, বনাম) = 2 \underset{বনাম \in ভী}{Σ} \underset{বনাম \in ই}{Σ} মি (ই, বনাম) = 2 \underset{বনাম \in ভী}{Σ} মি (বনাম) \\ > 2 (ট - 1) # ভী \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{v\in V}w(v) &=\sum_{v\in V}\sum_{v\in e }w(e) =\sum_{e\in E }\sum_{v\in e}w(e) =\sum_{e\in E}2w(e) =2\sum_{e\in E}w(e)\\ &=2\sum_{e\in E }\sum_{v\in e}m(e,v) =2\sum_{v\in V}\sum_{v\in e }m(e,v) =2\sum_{v\in V}m(v)\\ &\gt 2(k-1)\#V \end{align}$

b

$b$

w (b) \geq 2 k - 1

$w(b)\ge 2k-1$

প্ররোচক সেটআপ বিবেচনা এবং , যেখানে , প্রবর্তিত গ্রাফ হয় এবং যেখানে । কোন -distributing ফাংশন $G'(V', E')$ $w'$ $V'=V\setminus\{b\}$ $G'(V', E')$ $G[V']$ $w'=w|_{E'}$ $w'$ $d'$ , আমরা একটি থেকে এটি প্রসারিত করতে পারেন -distributing ফাংশন যেখানে হিসাবে একই তে যখন জন্য প্রতি প্রান্ত সংলগ্ন । লক্ষ্য করুন থেকে $w$ $d_{d'}$ $d_{d'}$ $d'$ $E'$ $d_{d'}(e, b)=w(e)$ $e$ $b$ $F_k(d_{d'})= F_k(d') + 1$ । তারপরে $d_{d'}(b)=\sum_{b\in e}d_{d'}(e,b) = \sum_{b\in e}w(e)=w(b)\ge 2k-1\ge k$ সুতরাং,এবংএকটি counterexample হয় ছেদচিহ্ন কার সংখ্যা ছেদচিহ্ন এর সংখ্যার চেয়ে কম। এবংসম্পর্কে আমাদের ধারণা দ্বারা এটি সত্য হতে পারে না। সুতরাং দাবি এক প্রমাণিত হয়।

\begin{aligned} \underset{ই \in ই^{'}}{Σ} W^{'} (ই) & \leq \underset{ই \in ই}{Σ} W (ই) - W (খ) \\ < (2 ট - 1) {এফ}_{ট} (মি) - (2 ট - 1) \\ = (2 ট - 1) (\underset{W -distributing ঘ}{সর্বনিম্ন} {এফ}_{ট} (ঘ) - 1) \\ \leq (2 ট - 1) (\underset{W^{'} -distributing ঘ^{'}}{সর্বনিম্ন} {এফ}_{ট} (ঘ_{ঘ^{'}}) - 1) \\ \leq (2 ট - 1) \underset{W^{'} -distributing ঘ^{'}}{সর্বনিম্ন} {এফ}_{ট} (ঘ^{'}) \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{e\in E'}w'(e)&\le\sum_{e\in E}w(e) - w(b)\\ &\lt (2k-1)F_k(m) -(2k-1)\\ &=(2k-1) \left(\min_{w\text{-distributing }d}F_k(d) -1\right)\\ &\le (2k-1) \left(\min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d_{d'})-1\right)\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d') \end{align}$

G^{'} (V^{'}, E^{'})

$G'(V', E')$

w^{'}

$w'$

G

$G$

G (V, E)

$G(V,E)$

w

$w$

কোনো প্রান্তবিন্দু জন্য , নির্ধারণ প্রান্তবিন্দু থেকে -reachable যদি একটি পথ , যেমন যে । চলুন $v$ $v$ $d$ $u$ $u_0= u, u_1, u_2, \cdots, u_m, u_{m+1}=v$ $m\ge0$ $d(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i)>0$ । $V_r=V_\ell\cup \{v\in V|\exists u\in V_\ell \text{ and } v\text{ is } m\text{-reachable from } u \}$

দাবি দুই: $V_r = V$
দাবি দুই প্রমাণ: ধরুন । কোনো প্রান্তবিন্দু জন্য এবং , যেহেতু আমরা পৌঁছতে পারে না থেকে , যদি একটি প্রান্ত হয়, তাহলে প্ররোচক সেটআপ বিবেচনা $V_r\neq V$ $v\in V_r$ $u\notin V_r$ $u$ $v$ $\{v, u\}$ $w(\{v, u\}, v) = 0.$ এবং , যেখানে , হ'ল প্রেরিত গ্রাফ এবং যেখানে । কোন -distributing ফাংশন , আমরা একটি থেকে এটি প্রসারিত করতে পারেন -distributing ফাংশন যেখানে $G'(V', E')$ $w'$ $v'=V_r$ $G'(V', E')$ $G[V']$ $w'=w|_{E'}$ $w'$ $d'$ $w$ $d_{d'}$ $d_{d'}$ হিসাবে একই তে এবং একই অন্যান্য প্রান্ত উপর। নোট করুন যে যেহেতু ভিতরে ভিতরে চেয়ে কম নয় এমন সমস্ত শীর্ষবিন্দু । তারপরে $d'$ $E'$ $m$ $F_k(d_{d'})= F_k(d')$ $k$ $V_\ell\subset V_r$ সুতরাং,এবংএকটি counterexample হবে ছেদচিহ্ন কার সংখ্যা ছেদচিহ্ন এর সংখ্যার চেয়ে কম। এবংসম্পর্কে আমাদের ধারণা দ্বারা এটি সত্য হতে পারে না। সুতরাং দাবি দুটি প্রমাণিত হয়।

\begin{aligned} \underset{ই \in ই^{'}}{Σ} W^{'} (ই) & \leq \underset{ই \in ই}{Σ} W (ই) \\ < (2 ট - 1) {এফ}_{ট} (মি) \\ = (2 ট - 1) \underset{W -distributing ঘ}{সর্বনিম্ন} {এফ}_{ট} (ঘ) \\ \leq (2 ট - 1) \underset{W^{'} -distributing ঘ^{'}}{সর্বনিম্ন} {এফ}_{ট} (ঘ_{ঘ^{'}}) \\ \leq (2 ট - 1) \underset{W^{'} -distributing ঘ^{'}}{সর্বনিম্ন} {এফ}_{ট} (ঘ^{'}) \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{e\in E'}w'(e)&\le\sum_{e\in E}w(e)\\ &\lt (2k-1)F_k(m)\\ &=(2k-1) \min_{w\text{-distributing }d}F_k(d)\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d_{d'})\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d') \end{align}$

G^{'} (V^{'}, E^{'})

$G'(V', E')$

w^{'}

$w'$

G

$G$

G (V, E)

$G(V,E)$

w

$w$

এখন আসুন উপপাদ্যটি প্রমাণ করি।

যেহেতু এবং , একটি পথ , সঙ্গে , এবং $V_r=V$ $V_s\neq\emptyset$ $u_0= u, u_1, u_2, \cdots, u_m, u_{m+1}=v$ $m\ge0$ $m(u)\gt k$ $m(v)\leq k-2$ । আমাদের একটি নতুন গঠন করা যাক ফাংশন -distributing থেকে যাতে $d(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i)>0$ $w$ $r(m)$ $m$

R (মি) (ই, তোমার দর্শন লগ করা) = {\begin{cases} মি ({{তোমার দর্শন লগ করা}_{আমি}, {তোমার দর্শন লগ করা}_{আমি + + 1}}, {তোমার দর্শন লগ করা}_{আমি}) - 1 & যদি (ই, তোমার দর্শন লগ করা) = ({{তোমার দর্শন লগ করা}_{আমি}, {তোমার দর্শন লগ করা}_{আমি + + 1}}, {তোমার দর্শন লগ করা}_{আমি}) কিছুর জন্য 0 \leq আমি \leq মি \\ মি ({{তোমার দর্শন লগ করা}_{আমি}, {তোমার দর্শন লগ করা}_{আমি + + 1}}, {তোমার দর্শন লগ করা}_{আমি + + 1}) + + 1 & যদি (ই, তোমার দর্শন লগ করা) = ({{তোমার দর্শন লগ করা}_{আমি}, {তোমার দর্শন লগ করা}_{আমি + + 1}}, {তোমার দর্শন লগ করা}_{আমি + + 1}) কিছুর জন্য 0 \leq আমি \leq মি \\ মি (ই, তোমার দর্শন লগ করা) & অন্যভাবে \end{cases}

$r(m)(e, u)= \begin{cases} m(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i) -1 & \text{ if } (e,u)=(\{u_i, u_{i+1}\},u_i)\text { for some } 0\le i\le m\\ m(\{u_i, u_{i+1}\}, u_{i+1}) +1 & \text{ if } (e,u)=(\{u_i, u_{i+1}\},u_{i+1})\text { for some } 0\le i\le m\\ m(e,u) &\text{ otherwise } \end{cases}$

$m$ $r(m)$ $v$ $u$ $m(v)\lt r(m)(v)\le k-1$ $r(m)(u)\lt m(u)$ $r(m)$ $r^2(m)$ $i$ $i$ $w$ $r^i(m)$ $F_k(r^i(m))=0$ $F_k(m)>0$ $F(d)$ $w$ $d$

— জন এল।
সূত্র

আমি প্রমাণটি পড়েছি, এটি দেখতে ভাল লাগছে। আসলে, যদি আমি সঠিকভাবে বুঝতে পারি তবে এটি আরও সাধারণ কারণ এটি একটি স্বেচ্ছাসেবী গ্রাফের অনুমতি দেয় - আমার প্রশ্নটি একটি বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে জি সম্পূর্ণ গ্রাফ graph এটা কি সঠিক? আরেকটি প্রশ্ন: প্রমাণটি ঠিক কোথায় ব্যবহার করে যে এম এরকম যে Fk (এম) ন্যূনতম? আমি দেখতে পাচ্ছি যে এটি কেবল সর্বশেষ অনুচ্ছেদে ব্যবহৃত হয়েছে - প্রমাণের পূর্ববর্তী দাবিগুলি কি এই সত্য ব্যতীত সত্য?

— এরেল সেগাল-হালেভি

F_{k} (m)

$F_k(m)$