সর্বাধিক প্রবাহে অবশিষ্ট গ্রাফ

Question

আমি এখানে সর্বোচ্চ প্রবাহ সমস্যা সম্পর্কে পড়ছি । আমি রেসিডুয়াল গ্রাফের পিছনে অন্তর্নিহিত বুঝতে পারি না। প্রবাহ গণনার সময় আমরা কেন প্রান্তগুলি পিছনে বিবেচনা করছি?

কেউ কি আমাকে রেসিডুয়াল গ্রাফের ধারণাটি বুঝতে সহায়তা করতে পারে?

পুনঃনির্দেশিত গ্রাফগুলিতে অ্যালগরিদম কীভাবে পরিবর্তন হয়?

Answer 1

সর্বাধিক প্রবাহ সমস্যার অবশিষ্টাংশের গ্রাফ সহ অন্তর্নিহিততা এই বক্তৃতায় খুব ভালভাবে উপস্থাপিত হয়েছে । ব্যাখ্যা নীচে যায়।

ধরুন যে আমরা নিম্নলিখিত নেটওয়ার্কের জন্য সর্বোচ্চ প্রবাহ সমস্যা সমাধানের জন্য চেষ্টা করছেন (যেখানে প্রতিটি ট্যাগ -এর মানে উভয় প্রবাহ মাধ্যমে একটি প্রান্ত ধাক্কা ক্ষমতা এই প্রান্ত):চ ই / সি ই ফ ই ই সি $G$$f_e/c_e$$f_e$$e$$c_e$

একটি সম্ভাব্য লোভী পদ্ধতির নিম্নলিখিতটি হ'ল:

1. একটি অবাধ বাছুন উদ্দীপক পথ উৎস প্রান্তবিন্দু থেকে যায় বেসিনে প্রান্তবিন্দু যেমন যে ); অর্থাৎ, এর সমস্ত প্রান্তের উপলব্ধ ক্ষমতা রয়েছে।এস টি ∀ $P$$s$$t$$\forall e \: (e \in P \rightarrow f_e \lt c_e$$P$
2. সর্বাধিক সম্ভাব্য প্রবাহ ush এই পথ দিয়ে পুশ করুন । এর মান দ্বারা নির্ধারিত হয় বোতলের এর ; এটি, সর্বনিম্ন উপলব্ধ ক্ষমতা সহ প্রান্ত। সাধারণত, ।$\Delta$$\Delta$$P$$\Delta=\min_{e \in P} (c_e-f_e)$
3. কোনও বৃদ্ধির পথের অস্তিত্ব না পাওয়া পর্যন্ত পদক্ষেপ 1 এ যান।

এটি, উপলভ্য ক্ষমতা সহ একটি পথ সন্ধান করুন, সেই পথ ধরে প্রবাহ প্রেরণ করুন এবং পুনরাবৃত্তি করুন।

ইন , অনুসন্ধানমূলক খুঁজে বের করে উপরের একটি সম্ভাব্য সঞ্চালনের তিন উদ্দীপক পাথ , এবং প্রদত্ত ক্রমে। এই পাথগুলি মোট 5 টি প্রবাহের জন্য যথাক্রমে 2, 2 এবং 1 ইউনিট প্রবাহকে ধাক্কা দেয়:$G$$P_1$$P_2$$P_3$

এই ক্রমে পথ নির্বাচন করা একটি অনুকূল সমাধানের দিকে পরিচালিত করে; তবে, যদি আমরা প্রথমে নির্বাচন করি (অর্থাত্, এবং আগে )?$P_3$$P_1$$P_2$

আমরা একটি ব্লকিং প্রবাহ যাকে বলে তা আমরা পাই : আর কোনও বৃদ্ধির পথ নেই। এই ক্ষেত্রে, মোট প্রবাহ 3, যা সর্বোত্তম নয়। এই সমস্যা অনুমতি দিয়ে সমাধান করা যেতে পারে পূর্বাবস্থা অপারেশন (অর্থাত, প্রবাহ অনুমতি দিয়ে বিপরীত পাঠানো করা, আগের পুনরাবৃত্তিও কাজ পূর্বাবস্থায় ফিরিয়ে আনার): কেবল প্রবাহ পিছন 2 ইউনিট ধাক্কা প্রান্তবিন্দু থেকে প্রান্তবিন্দু করার ভালো:$w$$v$

এই অনুমোদিত পূর্বাবস্থার ক্রিয়াকলাপগুলি এনকোড করা অবশিষ্ট রেখাচিত্রের মূল লক্ষ্য ।

একটি নেটওয়ার্ক এর একটি অবশিষ্ট গ্রাফ এর সমান দিকের সমান অংশ রয়েছে এবং প্রতিটি প্রান্তের জন্য :$R$$G$$G$$e=(u,v) \in G$

• হলে সামর্থ্য সহ একটি অগ্রবর্তী প্রান্ত ।$e'=(u,v)$$c_e-f_e$$c_e-f_e \gt 0$

• হলে সামর্থ্য সহ একটি পশ্চাৎ প্রান্ত ।$e''=(v,u)$$f_e$$f_e \gt 0$

উদাহরণস্বরূপ, লোভী হিউরিস্টিকের প্রথম পুনরাবৃত্তির পরে প্রাপ্ত রিসিওডুয়াল গ্রাফ বিবেচনা করুন যখন প্রথম নির্বাচন করে (অর্থাৎ এটি যখন ব্লকিং প্রবাহ পায়):$R$$P_3$

লক্ষ্য করুন পূর্বাবস্থা অপারেশন যে push কর্মের 2 থেকে প্রবাহ ইউনিট করার একটা ফরওয়ার্ড (উদ্দীপক) থেকে পাথ হিসাবে এনকোডেড হয়েছে করার মধ্যে :$w$$v$$s$$t$$R$

সাধারণভাবে:

একটি উদ্দীপক পথ যখন অবশিষ্ট গ্রাফে নির্বাচন করা হয় :$P'$$R$

• প্রতিটি প্রান্ত যে একটা ফরওয়ার্ড প্রান্ত থেকে অনুরূপ প্রাপ্তিসাধ্য ধারণক্ষমতা সঙ্গে একটি প্রান্ত ব্যবহার করে প্রবাহ বৃদ্ধি পায়।$P'$$G$
• প্রতিটি প্রান্ত যা আনডো প্রবাহে পিছনের দিকে চলেছে তার সাথে সামঞ্জস্য করে যা অতীতে অগ্রবর্তী দিকের দিকে ধাক্কা দিয়েছিল।$P'$$G$

ফোর্ড – ফুলকারসন পদ্ধতির পিছনে এটিই মূল ধারণা ।

ফোর্ড – ফুলকারসন পদ্ধতিটি উপরে বর্ণিত লোভী পদ্ধতির ঠিক ঠিক সেই পথেই এগিয়ে চলেছে, তবে যখন কেবলমাত্র অবশিষ্ট গ্রাফের (মূল নেটওয়ার্কে নয়) আর কোনও বৃদ্ধির পথ নেই তখনই এটি থেমে যায়। পদ্ধতিটি সঠিক (উদাহরণস্বরূপ, এটি সর্বদা সর্বাধিক প্রবাহকে গণনা করে) কারণ অবশিষ্ট গ্রাফ নিম্নলিখিত অনুকূল পরিস্থিতিটি প্রতিষ্ঠিত করে :

একটি নেটওয়ার্ক প্রদত্ত , একটি প্রবাহ মধ্যে সর্বোচ্চ যদি নেই অবশিষ্ট গ্রাফে পথ।$G$$f$$G$$s-t$

Comments

এডমন্ডস-কার্প অ্যালগরিদমের বর্ণনা অনুসারে সংক্ষিপ্ত দৈর্ঘ্যের ক্রম অনুসারে পাথগুলি যুক্ত হওয়ার কোনও উদাহরণ রয়েছে কি? আপনার পাল্টা উদাহরণে প্রথম পথটি দৈর্ঘ্য 3 এবং একটি সংক্ষিপ্ত (অর্থাত্ 2) পাথ পাওয়া যাবে এবং আমরা যদি এডমন্ডস-কার্প করছিলাম তবে প্রথমে যুক্ত করা হবে।

— রায়

মূল গ্রাফের সমস্ত পাথের দৈর্ঘ্য আপনি সহজেই করতে পারেন । এটি করার জন্য, কে দুটি শীর্ষে বিভক্ত করুন এবং । তারপরে, কে এবং । ক্ষমতা সহ দুটি কিনারা এবং । প্রান্ত মূলত থেকে গিয়েছিলাম করার এখন থেকে যেতে হবে করার । আমরা যদি প্রাথমিকভাবে প্রান্তটি অন্তর্ভুক্ত করে পথটি চয়ন করি তবে আমরা একই ধরণের ব্লকিং প্রবাহ পেতে পারি ।$s-t$$3$$v$$v_1$$v_2$$w$$w_1$$w_2$$(v_1,v_2)$$(w_1,w_2)$$2$$v$$w$$v_1$$w_2$$(v_1,w_2)$

— মারিও সেরভেরা

আপনার উদাহরণটি অর্থবোধ করে। প্রান্তটিকে সংক্ষিপ্ততম পথে তৈরি করতে আমরা কাটার অন্যান্য প্রান্তের গ্রাফটি সর্বদা প্রসারিত করতে পারি।

— রায়

Answer 2

অবশিষ্ট নেটওয়ার্কের পিছনে স্বজ্ঞা যে এটা আমাদের "বাতিল" ইতিমধ্যে প্রবাহিত অর্থাত নিয়োগ যদি আমরা ইতিমধ্যে থেকে প্রবাহ 2 ইউনিট বরাদ্দ আছে একটি দেয় থেকে , তারপর থেকে প্রবাহ 1 একক ক্ষণস্থায়ী থেকে এক ইউনিট বাতিল হিসেবে ব্যাখ্যা করা হয় থেকে মূল প্রবাহ ।$A$$B$$B$$A$$A$$B$