গ্রাফের জন্য সর্বনিম্ন ছড়িয়ে পড়া গাছ কখন অনন্য নয়

Question

একটি ওজনযুক্ত, পুনর্নির্দেশিত গ্রাফ দেওয়া হয়েছে: কোন শর্তটি সত্য রাখতে হবে যাতে G এর জন্য একাধিক ন্যূনতম বিস্তৃত গাছ থাকে?

আমি জানি যে এমএসটি অনন্য যখন সমস্ত ওজন আলাদা হয় তবে আপনি এই বিবৃতিটি বিপরীত করতে পারবেন না। যদি গ্রাফটিতে একই ওজনযুক্ত বহুবিধ প্রান্ত থাকে তবে একাধিক এমএসটি থাকতে পারে তবে কেবল একটিও থাকতে পারে:

এই উদাহরণে, বামের গ্রাফটির একটি অনন্য এমএসটি রয়েছে তবে ডানটি তা দেয় না।

এমএসটি-এর স্বতন্ত্রতার জন্য শর্তগুলি সন্ধান করতে আমি নিকটতম হতে পারলাম এটি হ'ল:

গ্রাফ জি-তে সমস্ত কর্ডলেস চক্র (অন্যান্য চক্রের মধ্যে অন্যান্য চক্র থাকে না) বিবেচনা করুন these যদি এই কোনও চক্রের মধ্যে সর্বাধিক ওজনযুক্ত প্রান্তটি একাধিকবার উপস্থিত থাকে তবে গ্রাফের কোনও ন্যূনতম সর্বনিম্ন প্রশস্ত গাছ নেই।

আমার ধারণাটি ছিল এই জাতীয় চক্রের জন্য

এন শীর্ষে দিয়ে, আপনি ঠিক এক প্রান্তটি ছেড়ে দিতে পারেন এবং তারপরেও সমস্ত শীর্ষবিন্দু সংযুক্ত থাকতে পারেন। সুতরাং, আপনার কাছে এমএসটি পাওয়ার জন্য সর্বোচ্চ ওজনযুক্ত প্রান্তটি সরিয়ে নেওয়ার একাধিক পছন্দ রয়েছে, সুতরাং এমএসটি অনন্য নয়।

যাইহোক, আমি তখন এই উদাহরণটি নিয়ে এসেছি:

আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে এই গ্রাফটির একটি চক্র রয়েছে যা আমার অবস্থার সাথে ফিট করে: (ই, এফ, জি, এইচ) তবে যতদূর আমি দেখতে পাচ্ছি, সর্বনিম্ন বিস্তৃত গাছটি অনন্য:

সুতরাং দেখে মনে হচ্ছে আমার অবস্থাটি সঠিক নয় (বা সম্ভবত পুরোপুরি সঠিক নয়)। আমি ন্যূনতম বিস্তৃত গাছের স্বতন্ত্রতার জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্তাদি সন্ধানে যে কোনও সহায়তার প্রশংসা করি।

Comments

আপনার ক্ষুদ্রতম চক্রগুলি কর্ডলেস চক্র (কম বা কম) নামে পরিচিত ।

— যুবাল ফিল্মাস

Answer 1

প্রথম ছবিতে: ডান গ্রাফের একটি অনন্য এমএসটি রয়েছে, মোট ওজন 2 দিয়ে ওজন এবং ( F , G ) কিনে by$(F,H)$$(F,G)$

একটি গ্রাফ এবং এম = ( ভি , এফ ) কে জি-তে সর্বনিম্ন স্প্যানিং ট্রি (এমএসটি) হতে দিন ।$G=(V,E)$$M=(V,F)$$G$

ওজন w ( e ) = m এর সাথে সাথে একটি প্রান্ত উপস্থিত থাকলে যেমন আমাদের এমএসটিতে ই যোগ করার ফলে একটি চক্র সি পাওয়া যায় এবং এম এফ ∩ সি থেকে সর্বনিম্ন প্রান্ত-ওজনও হতে পারে , তারপরে আমরা ই with সহ প্রান্ত-ওজন মি সহ এফ ∩ সি থেকে একটি প্রান্তটি অদলবদল করে একটি দ্বিতীয় এমএসটি তৈরি করতে পারি । সুতরাং আমাদের অনন্যতা নেই।$e=\{v,w\}\in E \setminus F$$w(e)=m$$e$$C$$m$$F\cap C$$F\cap C$$m$$e$

Comments

আপনি ঠিক বলেছেন, আমি এখন প্রশ্নটিতে সেই গ্রাফটি সংশোধন করেছি। আপনি কি জানেন যে এটি সবচেয়ে সাধারণ অবস্থা যদি এমএসটি অনন্য নয়? অথবা এটিও কোনওরকমভাবে নির্ধারণ করা যেতে পারে প্রথমে একটি এমএসটি খুঁজে পাওয়ার প্রয়োজন ছাড়াই?

— কেইয়ান

@ কিওয়ান আমি বিশ্বাস করি যে আপনি যদি এই প্রশ্নটি বিবেচনা করেন তবে এই উত্তরটিতে বর্ণিত শর্তটিও একাধিক এমএসটি থাকার জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত। অন্য কথায়: একটি গ্রাফ যদি এবং কেবল যদি নির্মাণ HueHang দ্বারা রূপরেখা আউট বহন করা যাবে একাধিক MSTs হয়েছে। $G$

— বাকুরিউ

মিঃ F∩C থেকে সর্বনিম্ন প্রান্তের ওজন হওয়া উচিত নয়। আসলে, এটি কেবল সর্বোচ্চ প্রান্তের ওজন হতে পারে, অন্যথায় এম প্রথম স্থানে ন্যূনতম হত না। ধরুন F∩C এ w (e ') = m'> m = w (e) সহ একটি প্রান্ত e ছিল। তারপরে ই-এর জন্য অদলবদল এম এর তুলনায় মোট ওজন কম নিয়ে একটি বিস্তৃত গাছ ছেড়ে চলে যাবে, এম এর

— চাদ

Answer 2

একটি পূর্ববর্তী উত্তর নির্ধারণ করতে একাধিক MSTs, যা, একে প্রান্ত আছে কিনা একটি আলগোরিদিম ইঙ্গিত নেই জি , যোগ করে তৈরি করা চক্র খুঁজে ই একটি precomputed এমএসটি এবং যদি পরীক্ষা ই যে চক্রে অনন্য গুরুতম প্রান্ত নয়। সেই অ্যালগরিদম সম্ভবত ও ( | ই | | ভি | ) সময়ে চালিত হবে ।$e$$G$$e$$e$$O(|E||V|)$

সময়-জটিলতায় জি এর একাধিক এমএসটি রয়েছে কিনা তা নির্ধারণ করার জন্য একটি সহজ অ্যালগরিদম$O(|E|\log(|V|))$ ।

$\ $1. একটি এমএসটি মি পেতে কুরস্কালের অ্যালগরিদমটি তে চালান ।$G$$m$

$\ $২. আবার তে ক্রসকলের অ্যালগরিদম চালানোর চেষ্টা করুন । এই রান, যখনই আমরা সমান ওজন কোণগুলি মধ্যে একটা চয়েস থাকে, তাই আমরা প্রথমেই নেই প্রান্ত চেষ্টা করবে মি , যার পরে আমরা প্রান্ত চেষ্টা করবে মি । যখনই আমরা এম তে দুটি কিনারা সংযুক্ত না করে একটি প্রান্ত পেয়েছি তখন আমরা দাবি করি যে একাধিক এমএসটি রয়েছে, অ্যালগরিদমটি বন্ধ করে দেয়।$G$$m$$m$$m$

$\ $৩. যদি আমরা এখানে পৌঁছেছি, তবে আমরা দাবি করি যে এর একটি অনন্য এমএসটি রয়েছে।$G$

কৃসকলের অ্যালগরিদমের একটি সাধারণ রান সময় নেয়। এম তে নয় এমন প্রান্তের অতিরিক্ত নির্বাচন ও ( | ই | ) সময়ে করা যেতে পারে । সুতরাং অ্যালগরিদম O ( | E | লগ ( | ভি | ) ) সময়-জটিলতা অর্জন করে।$O(|E|\log(|V|))$$m$$O(|E|)$$O(|E|\log(|V|))$

কেন একাধিক এমএসটি আছে তা এই অ্যালগরিদম নির্ধারণ করতে পারে?

ধরুন আমরা একটি এমএসটি আছে যে হিসাবে একই নয় মি । এটি দেখানোর জন্য যথেষ্ট যে জি- তে চলমান অ্যালগরিদমটি তৃতীয় ধাপে পৌঁছাবে না, যেহেতু ধাপ ২-এর শেষের প্রান্তটি পাওয়া গেছে, যা মিটার নয় এবং দুটি পৃথক গাছ সংযুক্ত করে ফলস্বরূপ এমএসটিতে অন্তর্ভুক্ত করা হত যদি আমরা কৃস্কালকে চালিত করি সম্পূর্ণরূপে অ্যালগরিদম। যাক W বৃহত্তম ওজন যেমন যে কম ওজনের কোন প্রান্ত হতে W , এটা হয় মি যদি এবং কেবল যদি এটা হয় মি ' । কারণ মি এবং মি ' ওজন কোণগুলি একই সংখ্যক আছে W , সেখানে ওজন কোণগুলি অস্তিত্ব$m'$$m$$G$$m$$w$$w$$m$$m'$$m$$m'$$w$ যে হয় মি ' কিন্তু নেই মি । যদি এই কিনারাগুলির প্রান্তগুলি প্রক্রিয়াকরণের আগে অ্যালগরিদমটি থেকে বেরিয়ে আসে তবে আমাদের কাজ শেষ। অন্যথায়, অ্যালগরিদম প্রথম প্রান্ত প্রক্রিয়া করতে যাচ্ছে অনুমান ই ' এখন যারা প্রান্ত মধ্যে। যাক এস সব প্রান্ত পর্যন্ত সংরক্ষিত হয়েছে ফলে এমএসটি অন্তর্ভুক্ত করা সেট করা। এস ⊂ মি । যেহেতু অ্যালগরিদম ওজন না সমাপ্ত প্রক্রিয়াকরণ প্রান্ত W নেই মি যেমন ই ' , সেটি প্রক্রিয়া ওজন কোণগুলি শুরু না করা পর্যন্ত আবশ্যক W মধ্যে মি । তাই এস প্রান্ত$w$$m'$$m$$e'$$S$$S\subset m$$w$$m$$e'$$w$$m$$S$কম ওজন । তার মানে এস ⊂ মি ' । মনে করে দেখুন যে ই ' রয়েছে মি ' । যেহেতু { ই ' } ∪ এস ⊂ মি ' , যেখানে মি ' একটি গাছ হয়, ই ' মধ্যে দুটি ভিন্ন গাছ সংযুক্ত করতে হবে এস এই সময়ে এবং আলগোরিদিম প্রস্থান করে।$w$$S\subset m'.$$e'$$m'$$\{e'\}\cup S\subset m'$$m'$$e'$$S$

আরও বিকাশের জন্য নোট
1 এবং দ্বিতীয় ধাপটি আন্তঃবিভাজনিত হতে পারে যাতে আমরা আরও বেশি ওজনের প্রান্তগুলি প্রক্রিয়াকরণ না করে যত তাড়াতাড়ি সম্ভব অ্যালগরিদমটি শেষ করতে পারি।
আপনি যদি এমএসটি সংখ্যা গণনা করতে চান তবে আপনি কীভাবে এমএসটি সংখ্যা গণনা করবেন তার একটি উত্তর পরীক্ষা করতে পারেন ।

Answer 3

যাক এ (সহজ সসীম) হতে অন্তত দুই ছেদচিহ্ন সঙ্গে নিরাপদ্-ভরযুক্ত undirected সংযুক্ত গ্রাফ। এসটি এর অর্থ স্প্যানিং ট্রি এবং এমএসটি মানে ন্যূনতম স্প্যানিং ট্রি। প্রথমে কিছু কম সাধারণ শর্তাবলী সংজ্ঞায়িত করি।$G$

• একটি প্রান্তটি অনন্য-চক্র-সবচেয়ে ভারী যদি এটি কোনও চক্রের অনন্যতম প্রান্ত হয়।
• কোনও প্রান্তটি চক্রবিহীন-ভারী হয় যদি এটি কোনও চক্রের মধ্যে সবচেয়ে ভারী প্রান্ত না হয়।
• একটি প্রান্তটি অনন্য-কাট-হালকা হয় যদি এটি কিছু কাটা ক্রস করার অনন্যতম হালকা প্রান্ত হয়।
• কোনও প্রান্তটি কোনও কাট-কাটা ছাড়ার জন্য হালকা প্রান্ত না হলে এটি কোনও কাটা-হালকা নয়।
• দুটি এসটি সংলগ্ন যদি প্রতিটি এসটি এর ঠিক এক প্রান্ত থাকে যা অন্য এসটিতে নেই।
• কোনও এমএসটি হ'ল বিচ্ছিন্ন এমএসটি যদি এটি অন্য এমএসটি সংলগ্ন না হয় (যখন উভয় এমএসটিই এসটি হিসাবে বিবেচিত হয়)।

যখন একাধিক ন্যূনতম বিস্তৃত গাছ থাকে?

ওপির প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য, এখানে জি এর পাঁচটি বৈশিষ্ট্য যা একাধিক এমএসটি রয়েছে$G$ ।

• দুটি সংলগ্ন এমএসটি রয়েছে।
• কোনও বিচ্ছিন্ন এমএসটি নেই।
• একটি এসটি রয়েছে যা সংলগ্ন সমস্ত এসটিগুলির চেয়ে হালকা বা হালকা এবং এটি একটি সংলগ্ন এসটি হিসাবে হালকা।
• এমন একটি প্রান্ত রয়েছে যা অনন্য-চক্র-ভারী বা চক্রবিহীন-ভারী নয়।
• একটি প্রান্ত রয়েছে যা অনন্য-কাট-হালকা বা নন-কাট-হালকাও নয়

এই উত্তরের অভিনবত্বটি বেশিরভাগ ক্ষেত্রে শেষ দুটি বৈশিষ্ট্য। শেষ বৈশিষ্ট্যযুক্ত দ্বিতীয়টি ওপির পদ্ধতির একেবারে পরবর্তী ধাপ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে । প্রথম তিনটি বৈশিষ্ট্য এক সাথে ডিটিটির উত্তরের কিছুটা বর্ধিত সংস্করণ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে ।

বি এর পদটিতে ভাবা আরও সহজ, এর একটি অনন্য এমএসটি আছে কিনা । নীচে উপরের বৈশিষ্ট্যগুলির বিপরীত এবং সমতুল্য সংস্করণ।$G$

ন্যূনতম বিস্তৃত গাছগুলি কখন অনন্য?

উপপাদ্য: এর নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি সমতুল্য।$G$

• এমএসটির স্বতন্ত্রতা : একটি অনন্য এমএসটি রয়েছে।
• কোনও সংলগ্ন এমএসটি নেই : এখানে কোনও সংলগ্ন এমএসটি নেই ।
• একটি বিচ্ছিন্ন এমএসটি : একটি বিচ্ছিন্ন এমএসটি রয়েছে।
• একটি স্থানীয় ন্যূনতম এসটি : একটি এসটি রয়েছে যা সংলগ্ন সমস্ত এসটিগুলির চেয়ে হালকা।
• চরম চক্র প্রান্ত : প্রতিটি প্রান্তটি হয় অনন্য-চক্র-ভারী বা নন-চক্র-ভারী।
• চরম কাটা প্রান্ত : প্রতিটি প্রান্তটি হয় অনন্য-কাট-হালকা বা নন-কাট-হালকা

এখানে আমার প্রমাণ আসে।

"এমএসটির স্বতন্ত্রতা" => "সংলগ্ন এমএসটি নেই": সুস্পষ্ট।

"কোনও সংলগ্ন এমএসটি নেই" => "একটি বিচ্ছিন্ন এমএসটি": সুস্পষ্ট।

"একটি বিচ্ছিন্ন এমএসটি" => "একটি স্থানীয় ন্যূনতম এসটি": বিচ্ছিন্ন এমএসটি সমস্ত সংলগ্ন এসটিগুলির চেয়ে হালকা।

"এক স্থানীয় সর্বনিম্ন এসটি" => "চরম চক্র প্রান্ত": আসুন একটি এসটি যে সব সংলগ্ন এসটিএস চেয়ে অনেক লঘুতর হও।$m$

• প্রতিটি প্রান্তটি অবশ্যই নন-চক্র-ভারী হওয়া উচিত। প্রমাণ এখানে। আমি মি তে একটি প্রান্ত হতে দিন । আমি যদি কোনও চক্রের সাথে সম্পর্কিত না হয় তবে আমরা সম্পন্ন হয়েছি। এখন বলছিস ঠ একটি চক্র জন্যে গ । আমরা যদি অপসারণ ঠ থেকে মি , মি দুই গাছ, যা বলা হবে বিভক্ত করা হবে মি 1 এবং মি 2 । এম 1 এবং মি 2 কে l এর সাথে সংযুক্ত করে এমন একটি চক্র হিসাবে , সি এর অন্য একটি কিনারা থাকতে হবে যা মি 1 এবং এমকে সংযুক্ত করে$m$$l$$m$$l$$l$$c$$l$$m$$m$$m_1$$m_2$$m_1$$m_2$$l$$c$$m_1$ । প্রান্তটির নাম দিন l ′ । যাক মি ' ইউনিয়ন হতে মি 1 , মি 2 এবং L ' , যার মধ্যে একটি spanning গাছ হতে হবে জি হিসাবে ভাল। যেহেতু মি এবং মি ' সংলগ্ন হয়, মি চেয়ে অনেক লঘুতর মি ' । তার মানে, ঠ চেয়ে অনেক লঘুতর ঠ ' । সুতরাং আমি নন-চক্র-ভারী।$m_2$$l'$$m'$$m_1$$m_2$$l'$$G$$m$$m'$$m$$m'$$l$$l'$$l$
• না থাকা প্রতিটি প্রান্তটি অবশ্যই অনন্য-চক্র-ভারী হওয়া উচিত। প্রমাণ এখানে। যাক জ ' একটি না প্রান্ত হতে মি । আমরা যোগ তাহলে জ ' থেকে মি , আমরা একটি চক্র তৈরি করবে গ । যাক জ একটি প্রান্ত হতে গ নয় জ ' । Spanning গাছ বিবেচনা মি ' থেকে তৈরি মি সঙ্গে জ দ্বারা প্রতিস্থাপিত জ ' । যেহেতু মি এবং মি ' সংলগ্ন হয়, মি চেয়ে অনেক লঘুতর মি ' । এর মানে,$m$$h'$$m$$h'$$m$$c$$h$$c$$h'$$m'$$m$$h$$h'$$m$$m'$$m$$m'$ চেয়ে অনেক লঘুতর জ ' । তাই জ ' অনন্য গুরুতম প্রান্ত হয় গ । অর্থাৎ জ ' অনন্য-চক্র গুরুতম-হয়।$h$$h'$$h'$$c$$h'$

"স্থানীয় সর্বনিম্ন এসটি" => "চূড়ান্ত কাটা প্রান্ত": প্রমাণটি অনুশীলন হিসাবে বাকি আছে।

"চরম চক্র প্রান্ত" => "এমএসটি স্বতন্ত্রতা": আসুন একটি এমএসটি হও। যাক ই একটি অবাধ প্রান্ত হতে। ই যদি চক্রবিহীন-ভারী হয় তবে মি অবশ্যই এটি ধারণ করে। প্রান্ত ই যদি অনন্য-চক্র-ভারী হয় তবে মি এটি ধারণ করতে পারে না। (এই দুটি প্রস্তাব এমএসটি সম্পর্কে চক্র এবং প্রান্ত এক্সচেঞ্জ ব্যবহার করে স্ট্যান্ডার্ড যুক্তির দ্বারা প্রমাণিত হতে পারে ঠিক একইভাবে উপরের কাজগুলি কী হয়েছে)। সুতরাং এম হ'ল নন-চক্র-সবচেয়ে ভারী প্রান্তগুলির সেট।$m$$e$$e$$m$$e$$m$$m$

"চূড়ান্ত কাটা প্রান্ত" => "এমএসটির স্বতন্ত্রতা": প্রমাণটি অনুশীলন হিসাবে বাকি আছে।

উল্লিখিত উপরের চেইনগুলি উপপাদ্যকে প্রমাণ করে।

আবারও, এই উত্তরের অভিনবত্বটি বেশিরভাগ ক্ষেত্রে "চরম চক্র প্রান্ত" সম্পত্তি এবং "চূড়ান্ত কাটা প্রান্ত" সম্পত্তি, যা নন-চক্র-সবচেয়ে ভারী এবং নন-কাট-হালকা ধারণাগুলি ব্যবহার করে। আমি এই ধারণাগুলি অন্য কোথাও দেখিনি, যদিও এগুলি বেশ স্বাভাবিক।

---

এখানে দুটি সম্পর্কিত আকর্ষণীয় পর্যবেক্ষণ রয়েছে।

• যে কোনও প্রান্তের , ই নন-চক্র-সবচেয়ে ভারী iest ই অনন্য-কাট-হালকা ⇔ ই প্রতিটি এমএসটিতে থাকে$e$$e$$\Leftrightarrow$ $e$$\Leftrightarrow$ $e$
• যে কোনও প্রান্তের , ই স্বতন্ত্র-চক্র-ভারী ⇔ ই হ'ল নন-কাট-হালকা ⇔ ই কোনও এমএসটিতে নেই$e$$e$$\Leftrightarrow$ $e$$\Leftrightarrow$ $e$

---

অনন্য এমএসটির জন্য দুটি পর্যাপ্ত তবে প্রয়োজনীয় শর্ত নয়

প্রতিটি চক্রের সবচেয়ে ভারী প্রান্তের স্বতন্ত্রতা "চরম চক্র প্রান্ত" সম্পত্তি বোঝায়। সুতরাং এটি যথেষ্ট শর্ত। এটির প্রয়োজনীয় অবস্থার একটি প্রতিরূপ উদাহরণ হ'ল গ্রাফ ওজন ।$ab\rightarrow 1, bc\rightarrow 1, cd\rightarrow 1, da\rightarrow 2, ac\rightarrow 2$

প্রতিটি কাট-সেটে হালকা প্রান্তের স্বতন্ত্রতা "চরম কাটা প্রান্ত" সম্পত্তি বোঝায়। সুতরাং এটি যথেষ্ট। এটির প্রয়োজনীয় অবস্থার একটি প্রতিরূপ উদাহরণ হ'ল ওজনযুক্ত একটি ত্রিভুজ ।$1,1,2$