বহুবর্ষ সম্পর্কে কোন সমস্যার সিদ্ধান্ত নেওয়া যায় না

Question

আমি নিম্নলিখিত আকর্ষণীয় সমস্যাটি পেয়েছি: আসুন সংখ্যার ক্ষেত্রের উপর বহুত্ববাদী হওয়া যাক এবং ধরে নেওয়া যাক যে তাদের সহগগুলি সমস্ত সংখ্যক (এটি এই বহুবচনগুলির একটি সীমাবদ্ধ সঠিক উপস্থাপনা রয়েছে)। প্রয়োজনে, আমরা ধরে নিতে পারি যে উভয় বহুবর্ষের ডিগ্রি সমান। আমাদের দ্বারা বোঝাতে যাক (রেস্প। ) কিছু (বাস্তব বা জটিল) বহুপদী রুট সর্বশ্রেষ্ঠ পরম মান (রেস্প। )। সম্পত্তি কি ?$p,q$$x_p$$x_q$$p$$q$$x_p = x_q$

যদি তা না হয় তবে এই সম্পত্তিটি বহির্ভুতের কিছু সীমাবদ্ধ পরিবারের জন্য থাকবে? এই প্রসঙ্গে যে সমস্যাটি দেখা দেয়, সেই বহিরাগতগুলি ম্যাট্রিকগুলির বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুবচন এবং তাদের শিকড়গুলি ইজেনভ্যালু হয়।

বহুবর্ষ / ইগেনভ্যালুগুলির শিকড় গণনা করার জন্য আমি কয়েকটি সংখ্যক অ্যালগরিদম সম্পর্কে অবগত রয়েছি, তবে এগুলি এখানে কোনও কাজে লাগে না কারণ এই অ্যালগরিদমের আউটপুট কেবল আনুমানিক। এটি আমার কাছে মনে হয় কম্পিউটার বীজগণিতগুলি এখানে কার্যকর হতে পারে, তবে দুর্ভাগ্যক্রমে, সেই ক্ষেত্রে আমার প্রায় কোনও জ্ঞান নেই।

আমি এই সমস্যার বিশদ সমাধানের জন্য অনুসন্ধান করছি না, তবে সমাধানের সন্ধান করার জন্য কোনও অন্তর্দৃষ্টি এবং ধারণা সহায়ক হবে।

তুমাকে অগ্রিম ধন্যবাদ.

Comments

আপনি যদি বিভাজন ক্ষেত্রটি গণনা করতে পারেন তবে আপনি কেবল তাদের ফর্ম লিখতে পারেন এবং তুলনা করতে পারেন; কিছু ক্ষেত্রের জন্য বিভাজন ক্ষেত্রটি গণনাযোগ্য নয় তবে আমি নিশ্চিত নই যে এটি of এর সম্প্রসারণের জন্য রয়েছে ? $(x-x_0)(x-x_1)\dots$$\mathbb{Q}$

— Xodarap

Answer 1

আমি সে ক্ষেত্রেও জ্ঞানী নই, তবে আমি মনে করি যে আমি একটি গঠনমূলক উত্তর দিতে পারি।

প্রকৃত বন্ধ ক্ষেত্রগুলির প্রথম-ক্রম তত্ত্বটি নির্ধারণযোগ্য। আপনার সমস্যাটি বীজগণিত সমীকরণ এবং আসল বীজগণিত সংখ্যার তুলনায় বৈষম্যগুলির একটি সিস্টেম হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে। বিবেচনা করুন ভেরিয়েবল । নিম্নলিখিত সিস্টেমটি সন্তুষ্টিযোগ্য কিনা তা আপনি জানতে চান: $2 (\deg P + \deg Q)$$x_1,\ldots,x_{\deg P}, y_1,\ldots,y_{\deg P}, x'_1,\ldots,x'_{\deg P}, y'_1,\ldots,y'_{\deg P}$

$$\begin{align*} P(x_j+i\,y_j) &= 0 & \text{for \(1 \le j \le \deg P\)} \\ Q(x'_k+i\,y'_k) &= 0 & \text{for \(1 \le k \le \deg Q\)} \\ x_j^2 + y_j^k &\le x_1^2 + x_2^2 & \text{for \(2 \le j \le \deg P\)} \\ x'_j^2 + y'_j^k &\le x'_1^2 + x'_2^2 & \text{for \(2 \le k \le \deg Q\)} \\ x_1^2 + y_1^2 = x'_1^2 + y'_1^2 \\ \end{align*}$$

প্রথম দুই সমীকরণ পরিবার প্রকাশ যে এবং polynomials মূল হয়, আগামী দুই inequation পরিবারের যে প্রকাশ এবং এর বৃহত্তম পরম মান রয়েছে এবং সর্বশেষ এই বৃহত্তম পরম মানগুলির সাথে তুলনা করে।$x_j+i\,y_j$$x'_k+i\,y'_k$$x_1+i\,y_1$$x'_1+i\,y'_1$

এই সিস্টেমটি সন্তুষ্টযোগ্য কিনা তা সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য: আপনার সমস্যাটি নিষ্পত্তিযোগ্য। তবে এই বিবৃতিটি সম্ভবত এটি সম্পর্কে সবচেয়ে কার্যকর উপায় নয়।

আরও কার্যকর উত্তর সম্ভবত গ্রোবার ভিত্তিক তত্ত্ব জড়িত । আপনি যদি নিজের জন্য এই সমস্যাটি সমাধান করার চেষ্টা করছেন, আমি মনে করি যে কোনও গণনামূলক বীজগণিত বইয়ের প্রথম কয়েকটি অধ্যায় পড়া আপনাকে প্রয়োজনীয় পটভূমি দেবে। যদি আপনি কেবল নিজের অন্তর্নিহিত সমস্যা সমাধানের লক্ষ্যে থাকেন তবে সম্ভবত এটি কার্যকর করতে পারেন এমন একটি অফ-শেল্ফ অ্যালগরিদম রয়েছে।

Answer 2

আমি এই সম্পর্কে ভুল হতে পারি: আমি এই ক্ষেত্রেও খুব জ্ঞানী নই (বিশেষজ্ঞরা কোথায় আছেন ?!) তবে আমি বিশ্বাস করি আপনি যা জিজ্ঞাসা করছেন তার জন্য আমার কাছে যুক্তিসঙ্গত দ্রুত অ্যালগরিদম রয়েছে have

আমি অনুমান করতে যাচ্ছি, সরলতার জন্য, সমস্ত শিকড় বাস্তব। একটি বিরতি রুট উপর আবদ্ধ খুঁজুন সর্বোচ্চ পরম মান (যেমন একটি বিরতি যেমন যে এবং অন্যান্য সব শিকড় জন্য )। এই ধরনের ব্যবধানটি ডাইকোটমি এবং স্টর্মের উপপাদ্যের সম্মিলিত ব্যবহারের মাধ্যমে পাওয়া যায় । এখন এবং এর বহুপদী জিসিডি গণনা করুন । তা যাচাই করুন একটি মূল আছে (Sturm এর উপপাদ্য দিয়ে আবার)।$P$$I$$x_P\in I$$x_P'\notin I$$P$ $R$$P$$Q$$R$$I$

যদি আমি ভুল নই, যদি এবং কেবল যদি এই ধরনের একটি রুট হয়েছে এবং একটি সাধারণ রুট আছে , যদি যা আবার শুধুমাত্র সম্ভব একটা মূল । স্টর্মের উপপাদ্য এবং জিসিডি উভয়ের প্রয়োগ বরং দ্রুত (বাস্তবে বহুবর্ষের আকারে চতুর্ভুজটির চেয়ে বেশি নয়)।$R$$P$$Q$$I$$x_P$$Q$

এটি কেবল একটি স্কেচ, তবে এটিকে একটি জঘন্য অ্যালগরিদমে পরিণত করতে খুব বেশি লাগে না , আসলে আমি সন্দেহ করি যে ম্যাপেল বা ম্যাথামেটিকার ব্যবহার এই তুচ্ছ করে তুলবে।