একটি ওজনযুক্ত ইউনিপ্যাথিক গ্রাফের সবচেয়ে ছোট পাথগুলি সন্ধান করুন

একটি নির্দেশ গ্রাফ মনে করা হয় unipathic যদি থাকে দু'রকমের জন্য এবং গ্রাফে সেখান থেকে সর্বাধিক একটি সহজ পথ রয়েছে থেকে । $u$ $v$ $G=(V,E)$ $u$ $v$

ধরা যাক, আমাকে একটি ইউনিপথিক গ্রাফ দেওয়া হয়েছে যাতে প্রতিটি প্রান্তের ইতিবাচক বা নেতিবাচক ওজন থাকে তবে এতে কোনও নেতিবাচক ওজন চক্র থাকে না। $G$

এটি থেকে আমি একটি অ্যালগরিদম সন্ধান করতে চাই যা উত্স নোড থেকে সমস্ত নোডের সমস্ত সংক্ষিপ্ততম পথ খুঁজে পায় । $O(|V|)$ $s$

আমি নিশ্চিত না যে আমি কীভাবে এই সমস্যার দিকে এগিয়ে যাব। আমি কীভাবে এটি ব্যবহার করতে পারি তা দেখার চেষ্টা করছি যে এটিতে কোনও নেতিবাচক ওজন চক্র নেই এবং অবশ্যই কোনও নোড থেকে মধ্যে সর্বাধিক একটি সরল পথ রয়েছে । $u$ $v$

algorithms graphs

— Gprime
সূত্র

এ পর্যন্ত কি কি চেষ্টা করেছ? আপনি যদি পুরোপুরি আটকে থাকেন তবে ছোট শুরু করুন: ইউনিপ্যাথিক গ্রাফগুলি আসলে কী দেখাচ্ছে? উদাহরণস্বরূপ, প্রতিটি অলিপথিক গ্রাফটি একটি ভার্টেক্স, দুটি শীর্ষ, তিনটি শীর্ষে এবং এর সাথে আঁকুন। আপনি একটি সহায়ক নিদর্শন স্পট করতে পারেন। এছাড়াও, আপনি উল্লেখ করেছেন যে কোনও নেতিবাচক ওজন চক্র নেই - এমনকি চক্রগুলিও (কোনও ওজনের) থাকতে পারে?

— জুহো

@ এমআরএম আপনি কোন প্যাটার্নের কথা ভাবছেন? ইউনিপ্যাথিক গ্রাফগুলিতে চক্র থাকতে পারে, একটি সীমাবদ্ধ উপায়ে যাতে আমি প্রকাশের সহজ উপায় খুঁজে পাই না।

— গিলস

@ এমআরএম নং একটি প্রান্ত সর্বাধিক একটি চক্রের অন্তর্ভুক্ত হতে পারে। নোড যেকোন সংখ্যক চক্রের সাথে সম্পর্কিত হতে পারে: - আকারের গ্রাফ un এককপথিক (এবং আপনি করতে পারেন) নোডের প্রাথমিক চক্রের আরও বেশি অনুপাত পান)।

n

$n$

E = ⋃_{i \leq n} {(a, b_{i}), (b_{i}, a)}

$E=\bigcup_{i\le n} \{(a,b_i),(b_i,a)\}$

— গিলস 16'6

একটি উপাত্ত উপস্থাপনা চয়ন করুন

$s$ $s$ $n(n-1)/2$ $n$

$s$ $u$ $t$ $s$ $t$

$0$ $|E|-1$ $s=0$ $-1$ $s$ $s$ $t$ $(s=R[\ldots R[t]\ldots],\ldots,R[R[t]],R[t],t)$

গ্রাফটি অতিক্রম করুন

$R$ $-1$

$s$ $u$ $R[u]$

$R[u] \ne -1$ $u$

সঠিকতা প্রমাণ করুন

ইউনিপ্যাথিক সম্পত্তির কারণে, যতক্ষণ না আমরা একটি চক্র সম্পন্ন করি না, ততক্ষণ আমরা প্রতিটি নোডে কীভাবে পৌঁছায় তা বিবেচ্য নয়। একটি সহজ সরল পথ আছে।

জটিলতা প্রমাণ করুন

$O(|V|)$ $\Theta(|E_0|)$ $V_0$

ঠিক আছে তাহলে. আসুন প্রমাণ করুন যে অবিবাহিত গ্রাফে, প্রাথমিক চক্রের সংখ্যা নোডের সংখ্যার সাথে সর্বাধিক রৈখিকভাবে বৃদ্ধি পায়। (একটি প্রাথমিক চক্র এমন একটি যা একটি সংক্ষিপ্ত চক্র ধারণ করে না)) নিম্নলিখিত আলোচনায়, আমি ধরে নেব যে গ্রাফটির কোনও স্ব-প্রান্ত নেই (কোনও নোড থেকে নিজেই কোনও প্রান্ত নেই; এ জাতীয় প্রান্ত যাইহোক পথ নির্মাণের জন্য অপ্রাসঙ্গিক lev )।

ইউনিপ্যাথিক গ্রাফগুলিতে চক্র থাকতে পারে তবে খুব সীমাবদ্ধ উপায়ে। যদি আমরা প্রতিটি চক্রকে কোনও পৃথক নোডের সাথে সংযুক্ত করতে পারি তবে এটি চমৎকার হবে (বা কমপক্ষে, নোডের প্রতি সর্বাধিক সীমাবদ্ধ সংখ্যা)। চক্র কি নোড ভাগ করতে পারে? দুর্ভাগ্যবশত হ্যাঁ.

$m$ $a$ $a$ $b_i$ $\forall i, a \leftrightarrows b_i$

সুতরাং আমাদের আরও কঠোর পরিশ্রম করা দরকার। ঠিক আছে, আসুন এটি প্ররোচিতভাবে প্রমাণ করার চেষ্টা করা যাক। যাক একটি গ্রাফে নোড সংখ্যা হতে , প্রান্ত এবং সংখ্যা প্রাথমিক চক্র যে স্ব না প্রান্ত হয় সংখ্যা। আমি দৃsert়ভাবে বলছি যে, যদি ইউনিপথিক হয় এবং খালি না হয় তবে # সি । $\#V(G)$ $G$ $\#E(G)$ $\#C(G)$ $G$ $\#C(G) \le \#V(G)-1$

এক বা দুটি নোড সহ গ্রাফের জন্য এটি সুস্পষ্ট। ধরুন কথন যেমন যে সব গ্রাফ জন্য ঝুলিতে দিন সঙ্গে একটি unipathic গ্রাফ হতে নোড। যদি এর কোনও চক্র থাকে না, তবে , কেস বন্ধ। অন্যথায়, প্রাথমিক চক্র হতে দিন। $\#V(G) < n$ $G$ $n$ $G$ $0 = \#C(G) < \#V(G)$ $(a_1,\ldots,a_m)$

চক্রটি সঙ্কুচিত করুন: কে সেই গ্রাফ হতে দিন যার নোডগুলি বিয়োগ of প্লাস একটি নোড $G'$ $G$ $\{a_1,\ldots,a_m\}$ $a$ $G$ $a_i$ $a \rightarrow_{G'} b$ $\exists i, a_i \rightarrow_G b$ $b \rightarrow_{G'} a$ $\exists i, b \rightarrow_G a_i$ $G'$ $G$ $b \rightarrow a \rightarrow c$ $b \rightarrow a_i \rightarrow a_{i+1} \rightarrow \ldots \rightarrow a_j \rightarrow c$ $G$ $G'$ $G$ $G'$ $G$ $\#C(G') = \#C(G)-1$ $\#C(G') \le \#V(G')-1$ $\#V(G') = \#V(G) - m + 1$ $\#C(G) = \#C(G')+1 \le \#V(G) - m = n-m \le n-1$

$2|V|-2$

— গিলস 'তাই খারাপ হওয়া বন্ধ করুন'
সূত্র