প্রমাণ যে এলোমেলোভাবে নির্মিত বাইনারি অনুসন্ধান বৃক্ষের লোগারিথমিক উচ্চতা রয়েছে

আপনি কীভাবে প্রমাণ করবেন যে নোড সহ এলোমেলোভাবে নির্মিত বাইনারি অনুসন্ধান গাছের প্রত্যাশিত উচ্চতা ? সিএলআরএস পরিচয় আলগোরিদিমগুলির পরিচিতিতে (অধ্যায় 12.4) রয়েছে, তবে আমি এটি বুঝতে পারি না। $n$ $O(\log n)$

— user1675999
সূত্র

কোন প্রশ্ন? কি উদাহরণ? দয়া করে সম্পাদনা করুন এবং সম্পূর্ণ বিবরণ দিন।

— রাণ জি।

দয়া করে সংক্ষিপ্তকরণগুলি (যেমন বিএসটি) ব্যবহার করা এড়িয়ে চলুন এবং ধরে নিন যে আমাদের বেশিরভাগের সিএলআরএস বই নেই। আপনি যদি এখানে উপপাদটি অনুলিপি করতে পারতেন এবং এটি কী তা বোঝান যা আপনি বুঝতে পারছেন না, আপনি আরও উত্তর পাবেন।

— রান জি।

এটি কীভাবে বাইনারি অনুসন্ধান গাছ তৈরি হয় তার উপর নির্ভর করতে চলেছে । (ফলাফল না হলেও, প্রমাণটি দেবে)) আরও কিছু বিশদ কার্যকর হবে।

— পিটার শোর

প্রথমে স্বজ্ঞাতভাবে এটি সম্পর্কে চিন্তা করা যাক। সেরা ক্ষেত্রে, গাছ পুরোপুরি সুষম হয়; সবচেয়ে খারাপ পরিস্থিতিতে, গাছটি সম্পূর্ণ ভারসাম্যহীন:

উচ্চতা-ভারসাম্য বাইনারি অনুসন্ধান গাছ সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে বাইনারি অনুসন্ধান ট্রি

রুট নোড থেকে শুরু করে , এই বাম গাছটি প্রতিটি উত্তরোত্তর গভীরতায় দ্বিগুণ নোড থাকে, যেমন নোড এবং একটি উচ্চতা (যা এই ক্ষেত্রে 3)। একটি অল্প গণিতের সাথে, , এটির বলা আছে এটি উচ্চতা। সম্পূর্ণ ভারসাম্যহীন গাছের জন্য গাছের উচ্চতা কেবল । সুতরাং আমরা আমাদের সীমা আছে। $p$ $n=\sum_{i=0}^{h}2^i =2^{h+1}-1$ $h$ $n\le2^{h+1}-1\rightarrow h\le\lceil\log_2(n+1)-1\rceil\le\lfloor log_2 n\rfloor$ $O(\log n)$ $n-1\rightarrow O(n)$

যদি আমরা তালিকা থেকে একটি ভারসাম্য গাছ তৈরি করে থাকি তবে আমরা মধ্যের উপাদানটিকে আমাদের মূল নোড হিসাবে বেছে নিতে চাই। যদি আমরা এর পরিবর্তে এলোমেলোভাবে একটি গাছ তৈরি করি, তবে যে কোনও নোডের সমান সম্ভাবনা রয়েছে এবং আমাদের গাছের উচ্চতা হ'ল: আমরা জানি যে বাইনারি অনুসন্ধান গাছে বাম সাবট্রিতে অবশ্যই মূল নোডের চেয়ে কম কী থাকতে হবে। সুতরাং, যদি আমরা এলোমেলোভাবে পছন্দ করে উপাদান বাম subtree আছে উপাদান এবং ডান subtree হয়েছে উপাদান, যাতে আরও বেশি কষে: $\{ 1,2,\dots,n\}$ $n$

h e i g h t_{t r e e} = 1 + max (h e i g h t_{l e f t s u b t r e e}, h e i g h t_{r i g h t s u b t r e e})

$height_{tree}=1+\max (height_{left\space subtree}, height_{right\space subtree})$

i^{t h}

$i^{th}$

i - 1

$i-1$

n - i

$n-i$

h_{n} = 1 + max (h_{i - 1}, h_{n - i})

$h_n=1+\max (h_{i-1},h_{n-i})$ । সেখান থেকে, এটি উপলব্ধি করে যে যদি প্রতিটি উপাদানকে সমানভাবে গ্রহণ করার সম্ভাবনা থাকে তবে প্রত্যাশিত মানটি সব ক্ষেত্রেই গড় (ওজনযুক্ত গড়ের চেয়ে বেশি) হয়। সুতরাং:

E [h_{n}] = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} [1 + max (h_{i - 1}, h_{n - i})]

$\operatorname{E}[h_n]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[1+\max (h_{i-1},h_{n-i})]$

আমি নিশ্চিত যে আপনি লক্ষ্য করেছেন, আমি কীভাবে সিএলআরএস এটি প্রমাণ করে তা থেকে কিছুটা বিচ্যুত হয়েছি, কারণ সিএলআরএস দুটি অপেক্ষাকৃত সাধারণ প্রমাণ প্রযুক্তি ব্যবহার করে যা নিরবচ্ছিন্নদের জন্য বিচ্ছিন্ন। প্রথমটি হ'ল আমরা কী সন্ধান করতে চাই তার (বা লগারিদম) ব্যবহার করব, যা গণিতটিকে আরও পরিষ্কারভাবে কাজ করে; দ্বিতীয়টি হ'ল সূচক ফাংশন (যা আমি এখানে এড়াতে যাচ্ছি) ব্যবহার করা use সিএলআরএস সূচকীয় উচ্চতাটিকে as হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে , তাই পুনরাবৃত্তিটি । । $Y_n=2^{h_n}$ $Y_n=2\times\max (Y_{i-1},Y_{n-i})$

স্বাধীনতা ধরে নিই (যে কোনও উপাদানের প্রতিটি অঙ্কটি (উপলব্ধ উপাদানগুলির বাইরে) একটি সাবট্রির মূল হতে পারে তা পূর্ববর্তী সমস্ত অঙ্কন নির্বিশেষে) তবে আমাদের এখনও সম্পর্ক রয়েছে: যার জন্য আমি দুটি পদক্ষেপ করেছি: (1) সরানো বাইরের কারণ এটি একটি ধ্রুবক এবং বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি হ'ল , এবং (2) 2টিকে বাইরে সরানো কারণ এটিও একটি ধ্রুবক এবং প্রত্যাশিত মানগুলির বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি । এখন আমরা প্রতিস্থাপন করতে যাচ্ছি

E [Y_{n}] = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{n} E [2 \times max (Y_{i - 1}, Y_{n - i})] = \frac{2}{n} \sum_{i = 1}^{n} E [max (Y_{i - 1}, Y_{n - i})]

$\operatorname{E}[Y_n]=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}\operatorname{E}[2\times\max (Y_{i-1},Y_{n-i})]=\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}\operatorname{E}[\max (Y_{i-1},Y_{n-i})]$

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$

\sum_{i} c i = c \sum_{i} i

$\sum_i ci=c\sum_i i$

E [a x] = a E [x]

$\operatorname{E}[ax]=a\operatorname{E}[x]$

max

$\max$ বড় কিছু সঙ্গে ফাংশন কারণ অন্যথায় সরলীকরণ কঠিন। যদি আমরা অলিগ্রেটিভ , : অপেরাটর্নাম , তারপরে: যেমন পর্যবেক্ষণ থেকে শেষ পদক্ষেপটি অনুসরণ করে যে , এবং এবং সমস্ত কিছু চলছে পথে , এবং , তাই প্রত্যেকটি ওয়াদা

X

$X$

Y

$Y$

E [max (X, Y)] \leq E [max (X, Y) + min (X, Y)] = E [X] + E [Y]

$\operatorname{E}[\max(X,Y)]\le\operatorname{E}[\max(X,Y)+\min(X,Y)]=\operatorname{E}[X]+\operatorname{E}[Y]$

E [Y_{n}] \leq \frac{2}{n} \sum_{i = 1}^{n} (E [Y_{i - 1}] + E [Y_{n - i}]) = \frac{2}{n} \sum_{i = 0}^{n - 1} 2 E [Y_{i}]

$\operatorname{E}[Y_n]\le\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}(\operatorname{E}[Y_{i-1}]+\operatorname{E}[Y_{n-i}])=\frac{2}{n}\sum_{i=0}^{n-1}2\operatorname{E}[Y_{i}]$

i = 1

$i=1$

Y_{i - 1} = Y_{0}

$Y_{i-1}=Y_{0}$

Y_{n - i} = Y_{n - 1}

$Y_{n-i}=Y_{n-1}$

i = n

$i=n$

Y_{i - 1} = Y_{n - 1}

$Y_{i-1}=Y_{n-1}$

Y_{n - i} = Y_{0}

$Y_{n-i}=Y_{0}$

Y_{0}

$Y_0$ থেকে দুইবার মনে হচ্ছে, তাই আমরা একটি অনুরূপ এক সঙ্গে সমগ্র সমষ্টি প্রতিস্থাপন করতে পারেন। সুসংবাদটি হ'ল আমাদের একটি পুনরাবৃত্তি রয়েছে ; সবচেয়ে খারাপ খবরটি হ'ল আমরা যেখানে শুরু করেছি তার চেয়ে অনেক বেশি এগিয়ে নেই।

Y_{n - 1}

$Y_{n-1}$

E [Y_{n}] \leq \frac{4}{n} \sum_{i = 0}^{n - 1} E [Y_{i}]

$\operatorname{E}[Y_n]\le\frac{4}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\operatorname{E}[Y_{i}]$

এই মুহুর্তে, সিএলআরএস তাদের গাণিতিক অভিজ্ঞতার an এর মধ্যে একটি আনয়ন প্রমাণ one একটি পরিচয় অন্তর্ভুক্ত করে তারা প্রমাণ করতে ব্যবহারকারীকে ছেড়ে দেয় leave তাদের পছন্দের বিষয়ে গুরুত্বপূর্ণটি হ'ল এর বৃহত্তম শব্দটি , এবং মনে রাখবেন যে আমরা উচ্চতা যেমন । সম্ভবত কেউ মন্তব্য করবে যে কেন এই নির্দিষ্ট দ্বিপাক্ষিকটি বেছে নেওয়া হয়েছিল। সাধারণ ধারণাটি যদিও কিছু ধ্রুবক জন্য আমাদের পুনরাবৃত্তিটি এক্সপ্রেশন দিয়ে আবদ্ধ হয় । $\operatorname{E}[Y_n]\le\frac{1}{4}\binom{n+3}{3}$ $\sum_{i=0}^{n-1}\binom{i+3}{3}=\binom{n+3}{4}$ $n^3$ $Y_n=2^{h_n}$ $h_n=\log_2n^3=3\log_2n\rightarrow O(\log n)$ $n^k$ $k$

একটি লাইনারের সাথে শেষ করতে:

2^{E [X_{n}]} \leq E [Y_{n}] \leq \frac{4}{n} \sum_{i = 0}^{n - 1} E [Y_{i}] \leq \frac{1}{4} (\binom{n + 3}{3}) = \frac{(n + 3) (n + 2) (n + 1)}{24} \to E [h_{n}] = O (\log n)

$2^{\operatorname{E}[X_n]}\le \operatorname{E}[Y_n]\le \frac{4}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\operatorname{E}[Y_i]\le\frac{1}{4}\binom{n+3}{3}=\frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{24}\rightarrow \operatorname{E}[h_n]=O(\log n)$

— Merbs
সূত্র

ওহ ধন্যবাদ !!!! যদিও আমি প্রত্যাশিত মান সম্পর্কে জানি না, এই ধরণেরটি অর্থপূর্ণ। অ্যালগরিদম করার আগে আমি বিচক্ষণ গণিত কোর্স করিনি। আমার আরও সন্দেহ থাকলে আমি আরও মন্তব্য পোস্ট করব। ধন্যবাদ মের্বস

— ব্যবহারকারী 1675999

তবে কেন বেছে নেওয়া দ্বিপদী থেকে ঘনিষ্ঠ উচ্চতা কম বা সমান? আমি এখনও বুঝতে পারি না যে আমরা কেন বিভিন্ন বৃহত্তম শব্দ সহ অন্য কোন দ্বি-দ্বি পছন্দ করতে পারি না এবং ঠিক একই গণিতটি করতে পারি না ... সম্ভবত আমি বোকা তবে আমি কেন দেখতে পারছি না ... এবং এই বিন্দু প্রমাণ পর্যন্ত নিখুঁত ধারণা তৈরি করে, তারপরে তাদের কেবল নীল থেকে পুরোপুরি কিছু টেনে আনতে হয়েছিল এবং কোনও ব্যাখ্যা ছাড়াই আমাদের জানান যে এটি তাদের সঠিক "প্রমাণিত" ...

— জেকস

@ জেকস তাই, আমরা আরও বড় পদগুলি সহ অন্যান্য দ্বিপদী পছন্দ করতে পারি। যদি শব্দটি এখনও বহুপদী ( n^k) হয় তবে উপসংহারটি একই কারণ kবিগ-ও স্বরলিপিটি বাদ পড়ে (3 উপায় বাদ দেওয়া হয়েছিল)। কিন্তু যদি আমরা কিছু সূচকীয় (ইন প্রতিস্থাপিত e^n), এটি এখনও একটি হবে সঠিক ঊর্ধ্ব আবদ্ধ, শুধু নয় আঁট এক। আমরা জানি যে প্রত্যাশিত উচ্চতা কমপক্ষে লগারিদমিক হয়, সুতরাং এটি নির্ধারণ করা হয় যে এটি সর্বাধিক লোগারিথমিক is

— মার্বস

@ ডেভিডনাথন আমি আপনার উদ্বেগ বুঝতে পারি না - আপনি কি সন্দেহ করছেন যে 1 / এন একটি ধ্রুবক বা এটি শীর্ষের বাইরে চলে যেতে পারে? এটিকে ধ্রুবক 2 এর মতোই বাকী প্রমাণকে সহজ করার জন্য উদাহরণস্বরূপ চিত্রের উদ্দেশ্যে নেওয়া হয় taken

— মার্বস