দ্বিপক্ষীয় মিলের সর্বাধিক প্রবাহ হ্রাস করছেন?

Question

সর্বাধিক দ্বিপক্ষীয় ম্যাচিং সমস্যা থেকে সর্বাধিক-প্রবাহ সমস্যার একটি বিখ্যাত এবং মার্জিত হ্রাস রয়েছে: আমরা সোর্স নোড , একটি টার্মিনাল নোড এবং প্রতিটি আইটেমের সাথে মিলে যাওয়ার জন্য একটি নোড দিয়ে একটি নেটওয়ার্ক তৈরি করি , তারপরে উপযুক্ত প্রান্ত যুক্ত করুন।$s$$t$

বহুবর্ষীয় সময়ে সর্বোচ্চ দ্বিপক্ষীয় মিলের সর্বাধিক প্রবাহ হ্রাস করার একটি উপায় অবশ্যই আছে, যেহেতু উভয়ই স্বতন্ত্রভাবে বহুবর্ষের সময় সমাধান করা যেতে পারে। তবে সর্বাধিক দ্বিপাক্ষিক মিলের ক্ষেত্রে কী সর্বোচ্চ-প্রবাহ (সাধারণ গ্রাফগুলিতে) বহু-কালীন হ্রাস আছে?

Comments

আপনি কি দ্বিপক্ষীয় গ্রাফে নেটওয়ার্ক প্রবাহ সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছেন, বা সাধারণ গ্রাফগুলিতে?

— DW

আমি সাধারণ গ্রাফের সর্বাধিক প্রবাহ সম্পর্কে ভাবছিলাম।

— টেম্পলেটটিফাইফ

পি এর মধ্যে বহু-সময় হ্রাস বিরক্তিকর: কেবল উদাহরণটি সমাধান করুন এবং দুটি হার্ড-কোডেড দৃষ্টান্তের মধ্যে একটি বেছে নিন। আমি জানি আপনি যা চান তা নয়, তবে আপনি কী তা আরও সুনির্দিষ্টভাবে নির্দিষ্ট করতে পারেন?

— রাফেল

@ রাফেল আমার প্রশ্নের শেষ অনুচ্ছেদে আপনি যা উল্লেখ করেছেন তার ইঙ্গিত দেওয়া হয়েছে, যেহেতু হ্যাঁ, আপনি যা বলেছিলেন তার রেখা বরাবর স্পষ্টতই অবিচ্ছিন্ন হ্রাস রয়েছে। আমি এমন একটি হ্রাসের সন্ধান করছি যা সর্বাধিক প্রবাহের সাথে ম্যাচিং থেকে হ্রাসের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ - একটি কাঠামোগত রূপান্তর যা প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্যগুলি সংরক্ষণ করে। "সমস্যা সমাধান করুন এবং একটি উদাহরণ আউটপুট দিন" এর তুচ্ছ কমানোর চেয়ে এনপি-কঠোরতা প্রমাণ করার জন্য যে হ্রাস হয়েছে তার প্রান্তে কিছু ভাবুন।

— টেম্পলেটটিফাইফ

গ্যাজেট হ্রাস কি সাধারণত রৈখিক সময় হয় না? এটাই আমার অর্থ: আরও প্রতিবন্ধী শ্রেণীর সন্ধান করার চেষ্টা করুন যা আমাদের "প্রতারণা" থেকে বাধা দেয়। (এটি "প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্যগুলি সংরক্ষণ করে" এর অর্থ কী হওয়া উচিত তা পরিষ্কার নয়))

— রাফেল

Answer 1

আশ্চর্যজনকভাবে, এই জাতীয় কোনও হ্রাস জানা যায়নি। তবে সাম্প্রতিক একটি গবেষণাপত্রে ম্যাড্রি (FOCS 2013) দেখিয়েছেন যে কীভাবে ইউনিট-ক্ষমতা গ্রাফগুলিতে সর্বাধিক প্রবাহ হ্রাস করা যায় (লোগারিথ্মিকভাবে অনেকগুলি উদাহরণ)$b$দ্বিদলীয় গ্রাফের সাথে ম্যাচিং।

সর্বাধিক আপনি অপরিচিত ক্ষেত্রে $b$ম্যাচিং সমস্যা, এটি মিলের একটি সাধারণীকরণ, যা নিম্নলিখিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: ইনপুটটি একটি গ্রাফ (আমাদের ক্ষেত্রে, একটি দ্বিপক্ষীয় গ্রাফ), $G=(V,E)$, এবং প্রতিটি শীর্ষবিন্দুর জন্য ভার্টেক্সের চাহিদা সহ অবিচ্ছেদ্য চাহিদাগুলির একটি সেট $v$ দ্বারা প্রকাশ $b_v$। লক্ষ্যটি হ'ল সম্ভাব্যতম ধারগুলির একটি সেট খুঁজে পাওয়া$S$ যেমন কোন ভার্টেক্স $v$ বেশি আছে $b_v$ প্রান্ত ভিতরে $S$ ঘটনা $v$। দ্বিপক্ষীয় মিল থেকে সর্বাধিক প্রবাহের হ্রাসকে সাধারণকরণ এবং দ্বিদ্বৈত থেকে একই জাতীয় হ্রাস দেখাতে এটি একটি সাধারণ অনুশীলন$b$সর্বাধিক প্রবাহের সাথে মেলে। (এর মধ্যে) মাদ্রীর কাগজের বিস্ময়কর ফলাফল (গুলি) হ'ল কিছু দিক থেকে এই সমস্যাগুলি সমতুল্য, একটি সাধারণ হ্রাস প্রদান করে যা ইউনিট-ক্ষমতা গ্রাফগুলিতে সর্বাধিক প্রবাহকে হ্রাস করে (সাধারণত, গ্রাফ যেখানে সক্ষমতাগুলির যোগফল,$|u|_1$ প্রান্ত সংখ্যা সংখ্যায় রৈখিক হয় $m$) ক $b$সঙ্গে একটি গ্রাফ - ম্যাচিং সমস্যা $O(m)$ নোড, শীর্ষ এবং দাবির যোগফল।

আপনি যদি বিশদে আগ্রহী হন তবে এখানে মাদ্রিদের কাগজের আরাক্সভি সংস্করণটির উপপাদ্য ৩.১ অবধি এবং বিভাগ ৪ (এবং পরিশিষ্ট সিতে সঠিকতার প্রমাণ) দেখুন । যদি পরিভাষাটি স্বতঃস্ফূর্ত না হয় তবে এর সাথে সংশোধনের জন্য বিভাগ 2.5 দেখুন$b$ম্যাচিং সমস্যা, এবং মনে রাখবেন যে $u_e$ প্রান্তের ক্ষমতা $e$ মূল সর্বাধিক প্রবাহ উদাহরণে।

Answer 2

সুতরাং এখানে আপনার প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার চেষ্টা করা হল:

কোনিগের দ্বিপক্ষীয় মিলগুলির উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে এবং ফলস্বরূপ ম্যাক্স-ফ্লো মিন-কাট উপপাদ্যটি ব্যবহার করে হ্রাস পেয়েছে। কোনিগের উপপাদ্যটি নীচে বর্ণিত। যদি জি একটি দ্বিপক্ষীয় গ্রাফ থাকে তবে সর্বাধিক {| এম | : এম একটি মিল matching = মিনিট min | সি | : সি একটি কভার}। প্রুফ। পার্ট সর্বাধিক M | এম |} ≤ {| সি |। তুচ্ছ। পি এবং কিউকে জি এর দ্বিখণ্ডিত শ্রেণি হতে দিন। আমরা জি তে দুটি শীর্ষ, r এবং গুলি এবং প্রত্যেকটির জন্য আরকিএস আরপি যুক্ত করি$p\in P$ এবং প্রত্যেকের জন্য কিউ $q \in Q$, এবং থেকে সরাসরি প্রান্ত pq $p\in P$ প্রতি $q\in Q$। এটি একটি ডিগ্রাফ$G_{∗}$। আমরা সক্ষমতাগুলি ইউ (আরপি) = 1, ইউ (পিক) = নির্ধারণ করি$\infty$, u (qs) = 1. x কে একটি সম্ভাব্য অবিচ্ছেদ্য প্রবাহ x হতে দিন, তারপরে x (e) = 0 বা 1, যাতে আমরা এম = def সংজ্ঞায়িত করতে পারি$e \in E$: x (ই) = 1} | এম | এর সাথে মিলে যায় =$f_{x}$। এরপরে, জি এর সাথে একটি মিলে যাওয়া এম সম্ভাব্য অবিচ্ছেদ্য প্রবাহ এক্স-এর উত্স দেয়$G_{∗}$ প্রবাহ মান সহ $f_{x}$= | এম | নিম্নরূপ. X (pq) = 1 নির্ধারণ করুন$pq \in M$, x (আরপি) = 1 যদি পি এম এর প্রান্তের সাথে সম্পর্কিত হয়, x (কিউস) = 1 যদি Q এম এর প্রান্তের সাথে সম্পর্কিত হয়, অন্য সব ক্ষেত্রে x (ই) = 0. সুতরাং সর্বোচ্চ আকারের সাথে মিলে যায় ইন জি সর্বাধিক প্রবাহের সাথে সম্পর্কিত $G_{∗}$, যার আকার ম্যাক্স-ফ্লো মিন-কাট উপপাদ্য দ্বারা ন্যূনতম কাটার সমান। সর্বনিম্ন আর - কাট Consider (আর) বিবেচনা করুন। এটির সসীম ক্ষমতা রয়েছে, সুতরাং এতে কোনও অর্কি পিক রয়েছে। তারপরে জি এর প্রতিটি প্রান্তটি সি = (পি \ আর) এর উপাদানযুক্ত ঘটনা incident$\cup (Q \cap R)$, যে, সি একটি কভার। তদুপরি, u (C) = | P \ R | +$|Q \cap R|$ এবং তাই সি আকারের একটি কভার | এম |

আমি বলতে চাইছি এটি আমার মতে যা আপনি প্রশ্নটিতে জিজ্ঞাসা করেছিলেন এবং এটি আমার সম্ভাব্য উত্তর :)।

Comments

নোট করুন যে আপনি আরও পাঠযোগ্য উপায়ে গণিতকে টাইপসেট করতে এখানে ল্যাটেক্স ব্যবহার করতে পারেন। একটি সংক্ষিপ্ত পরিচিতির জন্য এখানে দেখুন ।

— DW

এটি কীভাবে প্রশ্নের উত্তর দেয় তা আপনি পরিষ্কার করতে পারেন? আপনি কি সর্বাধিক দ্বিদলীয় মিলের জন্য একটি অ্যালগরিদম ব্যবহার করে সাধারণ গ্রাফগুলিতে সর্বাধিক-প্রবাহ সমস্যা সমাধানের জন্য একটি অ্যালগরিদম তৈরি করছেন? যদি তা হয় তবে অ্যালগরিদম কী? দেখে মনে হচ্ছে যে আপনি যা করছেন তা সমস্ত ক্ষেত্রে কীভাবে সক্ষমতা 1 যেখানে বিশেষ ক্ষেত্রে দ্বিপক্ষীয় গ্রাফগুলির বিশেষ ক্ষেত্রে সর্বাধিক-প্রবাহের সমস্যাটি সমাধান করবেন তা দেখানো হচ্ছে । তবে অবশ্যই সেই সমস্যাটি তুচ্ছভাবে সর্বাধিক মিলের সমতুল্য, যেমন প্রশ্ন ইতিমধ্যে ব্যাখ্যা করেছে, সুতরাং আমি কীভাবে এটি নতুন কিছু যুক্ত করে তা দেখছি না। কোনিগের উপপাদ্য বা ভার্টেক্স কভারগুলি কীভাবে প্রাসঙ্গিক তা আমিও দেখতে পাই না।

— DW

এক্ষেত্রে হ্রাস হ'ল প্রশ্নের সেটটির উত্তর দেওয়ার মূল চাবিকাঠি। এবং আমি ঠিক এইটিতেই বিশ্বাস করি যে @templatetypedef অনুসন্ধান করছে। আমি বিশ্বাস করি না যে সর্বাধিক-প্রবাহ (সাধারণ গ্রাফগুলিতে) থেকে বহু-সময় হ্রাস আলাদা হবে। আমি এটি সম্পর্কে আবার ভাবব এবং সম্ভবত অতিরিক্ত কিছু যুক্ত করব তবে আরও সাধারণ হ্রাস পেতে কেন আমাদের বিভিন্ন দৃষ্টান্তের প্রয়োজন হবে তা আমি খুব কমই দেখতে পারি। তবে ফর্সা পয়েন্টস।

— marcincuber

এটি সর্বাধিক প্রবাহের সাথে দ্বিপক্ষীয় মিলের প্রমিত পাঠ্যপুস্তক হ্রাস। বিপরীত দিকটি হ্রাস করার জন্য প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করছে: দ্বিপক্ষীয় মিলের সর্বাধিক প্রবাহ থেকে FROM।

— জেফই