2 ডি-তে দুটি সেটের মধ্যে পয়েন্টের সবচেয়ে কাছের জুটি

দ্বিমাত্রিক সমতলে আমার দুটি সেট পয়েন্ট রয়েছে। আমি পয়েন্ট নিকটতম যুগল খুঁজে পেতে চান যেমন যে , এবং তাদের মধ্যবর্তী ইউক্লিডিয় দূরত্ব যতটা সম্ভব ছোট। এটি কতটা দক্ষতার সাথে করা যায়? এটি সময়ে করা যেতে পারে, যেখানে? $S,T$ $s,t$ $s \in S$ $t \in T$ $s,t$ $O(n \log n)$ $n = |S|+|T|$

আমি জানি যে আমাকে যদি একটি সেট , তবে স্ট্যান্ডার্ড ডিভাইড-অ্যান্ড-বিজয়ী অ্যালগরিদম ব্যবহার করে ইন সময়ে পয়েন্ট points নিকটতম জুটি পাওয়া সম্ভব । তবে, অ্যালগরিদমটি দুটি সেটগুলির ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ বলে মনে হয় না, কারণ বা বনামের মধ্যে দুটি নিকটতম পয়েন্টের মধ্যে কোনও সংযোগ নেই those এই সেটগুলি জুড়ে দুটি নিকটতম পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব। $S$ $s,s' \in S$ $O(n \log n)$ $S$ $T$

আমি সেট জমা করার চিন্তা একটি প্রত্যেকের জন্য -d গাছ তারপর, , একটি নিকটতম-প্রতিবেশী ক্যোয়ারী ব্যবহার করে নিকটতম বিন্দু এটি থেকে । তবে, এর সবচেয়ে খারাপ সময় চলার সময়টি সময়ের মতো খারাপ হতে পারে । এমন ফলাফল রয়েছে যা বলছে যে এর পয়েন্টগুলি এলোমেলোভাবে বিতরণ করা হয়, তবে প্রতিটি প্রশ্নের জন্য প্রত্যাশিত চলমান সময় হ'ল , সুতরাং আমরা যদি প্রত্যাশিত চলমান সময় সহ একটি অ্যালগরিদম পাই পয়েন্টগুলি এলোমেলোভাবে বিতরণ করা হয়েছে যে গ্যারান্টিযুক্ত ছিল - তবে আমি একটি অ্যালগরিদম খুঁজছি যা পয়েন্টগুলির যে কোনও সংগ্রহের জন্য কাজ করবে (অগত্যা এলোমেলোভাবে বিতরণ করা হয়নি)। $T$ $k$ $s \in S$ $T$ $s$ $O(n^2)$ $T$ $O(\log n)$ $O(n \log n)$

অনুপ্রেরণা: একটি দক্ষ অ্যালগরিদম এই অন্যান্য প্রশ্নের জন্য দরকারী হবে ।

algorithms computational-geometry

— DW
সূত্র

উত্তর:

হ্যাঁ, এটি সময় হতে পারে। জন্য ভোরোনাই চিত্রটি তৈরি করুন । তারপরে প্রতিটি বিন্দু for এর জন্য ভোরোনাই ডায়াগ্রামের কোন কোষটি রয়েছে তা সন্ধান করুন that সেই ঘরের কেন্দ্রস্থলটি এর বিন্দু is যা নিকটতম । $O(n \log n)$ $T$ $s \in S$ $t \in T$ $s$

আপনি একটি Voronoi ডায়াগ্রাম নির্মাণ করতে পারেন সময়, এবং প্রতিটি প্রশ্নের সাথে (সেল ধারণকারী খুঁজে ) মধ্যে সম্পন্ন করা যাবে সময়, তাই মোট চলমান সময় সময়। $O(n \log n)$ $s$ $O(\log n)$ $O(n \log n)$

— DW
সূত্র

সুন্দর, আমি যেটা আসতে পারছিলাম তার চেয়ে অনেক সহজ।

— aelguindy

চমৎকার পন্থা! লিঙ্কগুলি যদিও বিশেষত বিষয়গুলির ক্যোয়ারী পক্ষের জন্য সহায়তা করবে। আমি একটি উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠা খুঁজে পেতে পারি যে দেখায় যে সাধারণ বিন্দু অবস্থানের সমস্যাটি সময়ে সমাধান করা যেতে পারে , তবে ভোরোনাই কোষগুলির বিশেষ ক্ষেত্রে এর জন্য খুব সুন্দর উপায় আছে? আমার অনুসন্ধান কেবলমাত্র এই উত্তরটিকে সরিয়ে নিয়েছে , যা এটি উপায়ে করে।

O (\log n)

$O(\log n)$

O (n)

$O(n)$

— j_random_hacker

পয়েন্ট লোকেশন সমস্যার জটিলতা সাধারণত মোট উল্লম্বের সংখ্যার (এখানে ভোরোনাই ডায়াগ্রামের) ক্ষেত্রে দেওয়া হয়। এই সংখ্যাটি এবং এমনকি পয়েন্টের সংখ্যার চেয়েও বড় । আমি নিশ্চিত নই যে উল্লম্বের সংখ্যাটি দ্বারা আবদ্ধ কিনা, তাই না?

T

$T$

n = | S | + | T |

$n = |S| + |T|$

O (n)

$\mathcal{O}(n)$

— Albjenow

@ অ্যালবজেনো, আমি নিশ্চিত নই যে এটি আপনার উদ্বেগকে সম্বোধন করে কিনা, তবে হ্যাঁ, ২ টি মাত্রায় আমি বিশ্বাস করি যে পয়েন্টগুলিতে ভোরোনাই চিত্রের শীর্ষাংশের সংখ্যা হ'ল (আমি মনে করি এটি বা মনে আছে এরকম কিছু).

n

$n$

O (n)

$O(n)$

\leq 6 n

$\le 6n$

— DW

ম্যাথ.স্ট্যাকেক্সেঞ্জেনে এই প্রশ্ন হিসাবে এটি সঠিক বলে মনে হচ্ছে ।

— Albjenow

আমি আমার মন্তব্যটিকে একটি উত্তরে প্রসারিত করছি, যেহেতু আমি একটি আধা সন্তোষজনক উত্তর পেয়েছি। এটি কেবলমাত্র দূরত্বের জন্য সমস্যার সমাধান করে । এই উত্তরটি মূলত ভুল। $L^1$

এই কাগজটি মামলার জন্য মাত্রাগুলির নিকটতম জুটির সন্ধানের সমস্যাটি সমাধান করে যখন সেটগুলি হাই-প্লেন) দ্বারা হাইপারপ্লেন দ্বারা পৃথক করা হয় । $d$ $O(n \log^{d-1} n)$

দুটি মাত্রার জন্য, এটি আপনার প্রশ্নের মূল প্রেরণা হিসাবে আপনি যে উত্তরে উল্লেখ করেছেন সেই ক্ষেত্রে কেসটি সমাধান করে । এটি এর 2D সমস্যার সাধারণ কেস সমাধান করতেও ব্যবহার করা যেতে পারে । $O(n \log n)$ $O(n \log^2 n)$

প্রদত্ত দুটি সেট 2D মধ্যে পয়েন্ট, 3D স্থান তাদের এম্বেড, সেট স্থানচ্যুত কিছু দ্বারা এবং সেট দ্বারা মধ্যে দিক। আপনার ইনপুট পয়েন্টগুলির যথার্থতা (এবং প্রতিটি ইনপুট স্থানাঙ্কের জন্য যথার্থ বিটগুলি দ্বিগুণ করে) নিয়ে নিকটতম জোড়া পয়েন্টের পছন্দকে প্রভাবিত না করার জন্য তৈরি করা যেতে পারে । উদ্ধৃত কাগজ থেকে 3 ডি অ্যালগরিদম ব্যবহার করুন। $S, T$ $S$ $-\delta_z$ $T$ $\delta_z$ $z$ $\delta_z$ $\delta_z$

— aelguindy
সূত্র

+1, তবে সেই কাগজটি সম্পর্কে কয়েকটি বিষয় (যা আমি কেবল পড়া শুরু করেছি): (i) তারা কেবল পুনর্গঠনকারী (ম্যানহাটন) দূরত্বের ক্ষেত্রে সমস্যার সমাধান করার দাবি করে ; (২) আমি বুঝতে পারছি কেন তারা মনে করেন যে, এ অঞ্চলে না পি উপর। 2 ঠিক 1 পয়েন্ট থাকে। আমি অনুমান করেছিলেন যে মধ্যে বিন্দু মধ্যমা Y সহ-Ord সঙ্গে এ , এবং মধ্যে বিন্দু মধ্যমা Y সহ-Ord সঙ্গে এ , কিন্তু আমি দেখতে পাচ্ছি না কিভাবে উপরে এই থেকে অনুসরণ করতে পারে।

P_{2}

$P_2$

p_{m}

$p_m$

P

$P$ $P$

q_{m}

$q_m$

Q

$Q$ $Q$

— j_random_hacker

@ j_random_hacker কাগজটি কেবল L1 দূরত্বের জন্য সমস্যার সমাধান করে এবং এই উত্তরটি ভুল) :) এবং আমি মনে করি এটি চিঠিটি

:)।

l

$l$

— aelguindy

লিঙ্কটি নষ্ট হয়েছে :(

— কীর্তনা গোপালকৃষ্ণন