গোল্ডবাচ কনজেকচার এবং ব্যস্ত বিভার নম্বর?

Question

পটভূমি: আমি কম্পিউটার বিজ্ঞানে একজন সম্পূর্ণ সাধারণ মানুষ।

আমি এখানে ব্যস্ত বিভার নম্বরগুলি পড়ছিলাম এবং আমি নিম্নলিখিত প্যাসেজটি পেয়েছি:

মানবিকতা কখনই বিবি ()) এর মান নির্দিষ্টভাবে জানতে পারে না, বিবি ()) এর মান বা ক্রমের কোনও উচ্চতর সংখ্যাকে ছেড়ে দিন।

প্রকৃতপক্ষে, ইতিমধ্যে শীর্ষ পাঁচ এবং ছয়-বিধি প্রার্থী আমাদের বাদ দিয়েছে: তারা কীভাবে মানুষের পদে 'কাজ' করে তা আমরা ব্যাখ্যা করতে পারি না। যদি সৃজনশীলতা তাদের নকশাকে ভারসাম্য দেয় তবে এটি এটি নয় যে মানুষ এটি সেখানে রেখেছিল। এটি বোঝার একটি উপায় হ'ল এমনকি ছোট টুরিং মেশিনগুলি গভীর গাণিতিক সমস্যাগুলি এনকোড করতে পারে। গোল্ডবাচের অনুমানটি ধরুন, প্রতি 4 নম্বর বা তারও বেশি সংখ্যক দুটি প্রধান সংখ্যার যোগফল: 10 = 7 + 3, 18 = 13 + 5। অনুমানটি 1742 সাল থেকে প্রমাণকে প্রতিহত করেছে। তবুও আমরা 100 টি নিয়ম দিয়ে একটি টিউরিং মেশিন ডিজাইন করতে পারলাম, এটি দুটি সংখ্যার সংখ্যার যোগফল কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য প্রতিটি সংখ্যার পরীক্ষা করে এবং এটি কখন এবং যদি এটির সাথে কোনও কাউন্টারের নমুনা খুঁজে পায় তা বন্ধ করে দেয় অনুমান। তারপরে বিবি (১০০) জেনে আমরা নীতিগতভাবে বিবি (১০০) পদক্ষেপের জন্য এই মেশিনটি চালাতে পারি, এটি থামছে কিনা তা স্থির করে এবং এর মাধ্যমে গোল্ডবাচের অনুমানটি সমাধান করতে পারে।

অ্যারনসন, স্কট "বড় নাম্বার কে রাখতে পারে?" বড় নাম্বার কে রাখতে পারে? এনপি, এনডি ওয়েব 25 নভেম্বর 2016।

আমার কাছে মনে হয় লেখক পরামর্শ দিচ্ছেন যে আমরা গোল্ডবাখ কনজেকচারকে প্রমাণ করতে বা বাতিল করতে পারি, অসীম বহু সংখ্যার সম্পর্কে একটি বিবৃতি, একটি সীমাবদ্ধ গণনার মধ্যে। আমি কি কিছু মিস করছি?

Comments

@ এভিল আমি মনে করি এটি সম্ভব যে কিছু গাণিতিক অনুমানগুলি এখনও নিষ্পত্তি হয়নি কারণ তাদের প্রস্তাবিত প্রমাণগুলি একটি সীমাবদ্ধ (তবুও অবিস্মরণীয় বৃহত্তর) সংখ্যার উপর নির্ভর করে। আমি কেবল এটি দেখতে চেয়েছিলাম যে গোল্ডব্যাচের অনুমানের ক্ষেত্রে এটি ছিল না।

— ওভি

মনে রাখবেন যে সমস্ত আনুষ্ঠানিক প্রমাণগুলি একটি সীমিত সংখ্যক পদক্ষেপ নিয়ে গঠিত, তারা "অসীম বহু সংখ্যার বিষয়ে একটি বিবৃতি" উদ্বিগ্ন কিনা। এই কাল্পনিক পরিস্থিতিতে দাবী গোল্ডবাচের অনুমানটি যাচাই করতে (বা বিপরীতে) কতগুলি সংখ্যার পরীক্ষা করতে হবে তার উপরের একটি আবদ্ধ "জানার" উপর নির্ভর করে।

— হার্ডম্যাথ

আপনার প্রশ্নটি গাণিতিক প্রমাণগুলির কেন্দ্রবিন্দুতে পৌঁছে যা সাধারণত অসীম বৈশিষ্ট্যগুলিকে সীমাবদ্ধ যৌক্তিক বিবৃতিতে রূপান্তর করতে পরিচালিত করে। "এটি কীভাবে ঘটে" এখনও অধ্যয়নাধীন। হিঁ, গাণিতিক সমস্যাগুলি খোলার জন্য অনস্বীকার্য সমস্যাগুলির চিঠিপত্রের দিকেও ইঙ্গিত করেছেন, সমস্ত উন্মুক্ত গাণিতিক অনুমানের জন্য প্রায় 1-1 টি চিঠিপত্র রয়েছে। (আগ্রহী উদাহরণস্বরূপ upvotes মাধ্যমে এক্সপ্রেস যদি কিছু সময় রেফ দিয়ে উত্তর এ রান্না করতে পারে)। কম্পিউটার সায়েন্স চ্যাট এবং আমার ব্লগ ইত্যাদিতে আরও আলোচনা

— vzn

Answer 1

বিবৃতিটি অসীম বহু সংখ্যার সম্পর্কে , তবে এর বিক্ষোভ (বা খণ্ডন) একটি সীমাবদ্ধ অনুশীলন হতে হবে। যদি সম্ভব হয়.

(মিথ্যা) ধারণাটি থেকে বিস্মিত হতে পারে যে বিবি (100) অনুসন্ধান করা একটি "তাত্ত্বিকভাবে সহজ" সমস্যা হতে পারে, কেবল ব্যবহারিক কারণেই এটি অসম্ভব হয়ে পড়েছে - যেহেতু প্রচুর মেশিন রয়েছে, এবং থামার আগে তারা এত দীর্ঘ সময়ের জন্য চালাতে পারে , যদি মোটেও - সর্বোপরি, তারা কেবল মেশিন ...

সত্যটি হ'ল বিবি (এন) আবিষ্কার করা, তাত্ত্বিক এবং ব্যবহারিক উভয় কারণে উভয়ই তাত্ত্বিক এবং কার্যনির্বাহী কারণ হতে হবে ur

Comments

এইচএম তাই আমি এটি বুঝতে পারি তা নিশ্চিত হয়ে নিন। বিবি (এন) কোডের 100 "লাইনে" নেওয়া যেতে পারে এমন "পদক্ষেপ" সংখ্যাটি পরিমাপ করে (প্রোগ্রামগুলি থামায় না এমন জন্য)। যদি আমরা এমন একটি প্রোগ্রাম তৈরি করতে পারি যে 100 টি লাইন বা তার চেয়ে কম সংখ্যক যা প্রতিটি সংখ্যার পরীক্ষা করে এবং এটি বিবি (100) ধাপে থামে না, তবে এটি কখনই থামবে না, যার ফলে অনুমানটি সত্য প্রমাণিত হয়?

— ওভি

@ ওভি বেশ নয় পদক্ষেপ "সঙ্গে একটি প্রোগ্রাম সর্বশ্রেষ্ঠ সম্ভব সংখ্যা কোড লাইনের", জন্য চালাতে পারেন কিনা এটা করে স্থগিত। তবে আপনার মন্তব্যের বাকী অংশটি ঠিক সঠিক। $BB(n)$$n$

— ডেভিড রিচার্বি

@ ওভির বক্তব্যটি হ'ল গোল্ডবাচের অনুমানটি যদি মিথ্যা হয় তবে যে কোনও টিএম চেয়ে যা অনুমান করে যে অনুমান একটি সীমাবদ্ধ পদক্ষেপে থামবে (কারণ এটি একটি প্রতিবিম্ব খুঁজে পাবে)। যদি এই জাতীয় কোনও মেশিনের স্টেট থাকে এবং ধরে নেওয়া যায় যে গোল্ডব্যাচের অনুমানটি মিথ্যা, অর্থাত সীমাবদ্ধ সংখ্যক পদক্ষেপের পরে মেশিনটি থেমে থাকে, তবে চেয়ে ছোট পদক্ষেপের এই সংখ্যাটি । অন্য দিকে: যদি আমরা পদক্ষেপের জন্য এই মেশিনটি চালিত করি এবং এটির কোনও পাল্টা নমুনা না পাওয়া যায় তবে আমরা জানি যে সেই মেশিনটি থামবে না, তাই গোল্ডবাচের অনুমানটি সত্য। বি বি ( এন ) বি বি ( এন $n$$BB(n)$$BB(n)$

— বকুরিউ

Answer 2

লেখকের ধারণা ছিল যে আপনি 100 টি লাইনে একটি প্রোগ্রাম লিখতে পারেন (এখানে কোনও স্থির সীমাবদ্ধ নম্বর) যা নিম্নলিখিতটি করে: এক্স নম্বর নেয়, অনুমানের পরীক্ষা নেয়। যদি এটি সত্য না হয় তবে পরবর্তী সংখ্যাটিতে অন্যথায় চালিয়ে যান।

ব্যস্ত বিভার নম্বরটি জেনে আপনি এই মেশিনটিকে সেই সংখ্যক পদক্ষেপের জন্য অনুকরণ করতে পারেন এবং তারপরে সিদ্ধান্ত নিতে পারেন এটি বন্ধ হয় কিনা। উপরের থেকে, যদি এটি থেমে থাকে - অনুমানটি সত্য নয়, যদি এটি থামে না - ধারণাটি সত্য।

Comments

"যদি এটি থামে না - ধারণাটি সত্য", কারণ মেশিনটি বিবি (100) ধাপের বেশি চালানোর পরে, এটি কখনই থামবে না।

— অ্যালবার্ট হেন্ডরিক্স

Answer 3

আড়োনসন সম্প্রতি ইয়েদিদিয়ার সাথে কাজ করে এই সংগীত / ধারণা সম্পর্কে বিস্তারিতভাবে প্রসারিত করেছেন [[1] তারা গোল্ডব্যাচ অনুমানের জন্য একটি স্পষ্টত 4888 রাষ্ট্রীয় মেশিন আবিষ্কার করে। আপনি কাগজটি কীভাবে এটি নির্মাণ করা হয়েছিল তা পড়তে পারেন। টিএমগুলি খুব কমই নির্মিত হয় তবে উচ্চ স্তরের ভাষার উপর ভিত্তি করে সংকলকগুলির মতো হয়ে থাকে এবং সংকলকগুলি অনেকগুলি রাজ্য যুক্ত করে। একটি "হস্তনির্মিত" টিএম সহজেই একটি অর্ডার অফ-মাত্রার কম পরিমাণ রাজ্য সহজেই ব্যবহার করতে পারে, যেমন 100s বা 100 এরও কম। অন্য কথায় এই কাগজে সত্যিকার অর্থেই রাষ্ট্রগুলির # সংক্ষিপ্ত করার চেষ্টা করা হয়নি # । সাধারণ ধারণাটি সঠিক এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানীরা যথাযথ ধ্রুবক প্রয়োগের কাজ সম্পর্কে সাধারণত এতটা চিন্তিত নন।

এই সাধারণ তত্ত্বটি ক্যালিউডস দ্বারা বর্ণিত হয়েছে ([1] দ্বারা উদ্ধৃতও করা হয়েছে) দুটি দুর্দান্ত কাগজপত্রে যা এই অঞ্চলে দীর্ঘ-লোক-উপাসনার কিছু উপপাদ্য রেখেছিল এবং যা অন্যান্য লেখক (যেমন মিশেল) দ্বারাও লক্ষিত হয়েছে। [২] [ 3] মূলত যে কোনও উন্মুক্ত গাণিতিক সমস্যা অনস্বীকার্য সমস্যায় রূপান্তরিত হতে পারে। এর কারণ হল বেশিরভাগ গাণিতিক সমস্যাগুলি কাউন্টারেক্সেক্সেলস এবং কাউন্টারিক্সের উদাহরণগুলির জন্য অসীম সংখ্যক কেস সন্ধানে জড়িত থাকে তবে তবে অকার্যকরভাবে বা বড় টিএম ইত্যাদির প্রয়োজন হতে পারে)।

এছাড়াও, "খুব ছোট" টিএম (# রাজ্যের মধ্যে গণিত) খুব জটিল গণিতের সমস্যাগুলি পরীক্ষা করতে / করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ কোলাটজ অনুমানটি সমাধান করার জন্য কোনও টিএম এর মোটামুটি অনুমান কয়েক ডজন রাজ্য হবে।

অনির্বাচিততা এবং এনপি সম্পূর্ণতার মধ্যে একটি আকর্ষণীয় সংযোগ / সাদৃশ্য রয়েছে। এনপি হ'ল দক্ষতার সাথে চেকযোগ্য সমস্যাগুলির শ্রেণি, উদাহরণস্বরূপ পি সময়ে পরীক্ষা করা যায়। অনস্বীকার্য সমস্যা হ'ল সমস্ত সমস্যার শ্রেণি যা দক্ষতার কোনও সীমা ছাড়াই পাল্টে দেওয়া উদাহরণগুলির জন্য অ্যালগোরিদমিক চেক করার অনুমতি দেয়।

ব্যস্ত বিভার সমস্যার সাথে সংযোগটি বোঝার এখানে একটি প্রাথমিক উপায়। সমস্ত অনস্বীকার্য সমস্যা টিউরিং সংযোগযোগ্যতা / সমতুল্যের কারণে সমতুল্য। সমস্ত এনপি সম্পূর্ণ সমস্যা যেমন পি সময়ে একে অপরে রূপান্তরিত করা যায় (হ্রাস), সমস্ত অনস্বীকার্য সমস্যা ট্যুরিং সম্পূর্ণতা এবং গণনাযোগ্য হ্রাস (যা নির্বিচারে সময় নিতে পারে) এর কারণে সমতুল্য। তাই ব্যস্ত বিভারের সমস্যাটি এই অর্থে থেমে থাকা সমস্যার সমতুল্য, এবং যদি কেউ ব্যস্ত বিভারকে সমাধান করতে পারে, তবে একজন উন্মুক্ত সমস্ত গাণিতিক প্রশ্ন সমাধান করতে পারে।

[1] একটি তুলনামূলকভাবে ছোট টিএম যার আচরণ সেট থিওরি / ইয়েদিদিয়া, অ্যারনসন থেকে স্বতন্ত্র

[2] গাণিতিক সমস্যার জটিলতা মূল্যায়ন: পর্ব 1 / ক্যালুদ

[3] গাণিতিক সমস্যার জটিলতা মূল্যায়ন: পার্ট 2 / ক্যালুদ

Comments

সম্পর্কিত প্রশ্নও দেখুন প্রোগ্রামগুলির সহজ উদাহরণগুলি কী কী যা আমরা জানি না যে সেগুলি সমাপ্ত হয় কিনা? / কম্পিউটার বিজ্ঞান

— vzn

47 রাজ্য । এবং কংক্রিট উদাহরণ সহ পিডিএফ ।

— ইভিল

Answer 4

1. এই জাতীয় টিএম প্রোগ্রামের মাধ্যমে গোল্ডবাচের অনুমানটিকে মিথ্যা বলা যেতে পারে (যদি সত্য মিথ্যা হয়); এটি এইভাবে সঠিক প্রমাণিত হতে পারে না (অন্তর্দৃষ্টিবিদ গণিতবিদ, তবে এটি সম্ভবত এটি করতে পারে)।

2. বিবি (২)) জানার পরে গোল্ডব্যাচ অনুসন্ধানটি কোনও পর্যায়ে বন্ধ হতে পারে; তবুও বিবি (২ 27) (বা চৈতিনের ওমেগা (২))) এর আগে গোল্ডব্যাক টিএম থামবে কিনা, তা জানতে হবে।

সুতরাং "বিবি (২)) এর মধ্যে গোল্ডবাচের উত্তর অন্তর্ভুক্ত রয়েছে" বলা বিভ্রান্তিকর। যদিও এটি করে, মূল বিষয়টি হ'ল: "গোল্ডবাচ (এবং আরও অনেক) বিবি (২ 27) নাম্বারটির পূর্বশর্ত, অন্য কথায় আপনি" বিবি-ফাংশন "বলে ২ 27-তে চ্যালেঞ্জের মতো কোনও বিষয় নেই। আমরা শুধু সমস্ত 27-রাষ্ট্রীয় মেশিন চালান, কালি। গোল্ডব্যাচ, এবং কেবল বিবি (27) দেখার পরে। এবং, একটি ব্যবহারিক পিওভ থেকে, এমনকি বিবি (6) অধরা বলে মনে হয়।

Answer 5

আমি মনে করি যদি আমরা প্রমাণের শর্তে অ্যারনসনের বক্তব্য পুনরুদ্ধার করি তবে এটি কম রহস্যজনক বোধ করবে

আমরা একটি ধ্রুবক নাম রাখতে পারি যাতে গোল্ডবাচের কোনও বিরোধ থাকলে তা সর্বাধিক বর্ণের হতে পারে । সুতরাং, যদি আমরা জানতাম, তবে আমরা সর্বাধিক এর দৈর্ঘ্যের সমস্ত স্ট্রিং তালিকাভুক্ত করে এবং সেগুলির কোনও বৈধ প্রমাণ কিনা তা পরীক্ষা করে অনুমানটি প্রমাণ বা প্রমাণ করতে পারি ।সি সি $C$$C$$C$$C$

এটা তোলে কিছুটা ঐন্দ্রজালিক যে এক নাম পারে বুদ্ধিমান কিনা Goldbach সত্যিকারের বা না ছাড়া (যদিও বাস্তবে পথ অত্যন্ত বড়)। আমি এটি দেখতে সবচেয়ে সহজ উপায় ট্যুরিং মেশিনের মাধ্যমে মনে হয়। যে টিএম স্বর্ণা এবং গোল্ডব্যাচের সমস্ত সম্ভাব্য প্রতিরক্ষার উদাহরণগুলি পরীক্ষা করে তার সুনির্দিষ্ট বিবরণ দৈর্ঘ্য , সুতরাং যদি এটি থামে, এটি পদক্ষেপের চেয়ে কম ক্ষেত্রেই এটি করে । এই গণনার একটি প্রতিলিপি একটি বৈধ বিরোধিতা হবে এবং কেবল অক্ষর গ্রহণ করবে।সি এন বি বি ( এন ) সি = ও ( বি বি ( এন ) $C$$C$$n$$BB(n)$$C = O(BB(n))$