টুরিং মেশিন সম্পর্কিত একটি আকর্ষণীয় মেট্রিক স্পেস

এই প্রশ্নে আমরা কেবলমাত্র ট্যুরিং মেশিনই বিবেচনা করি যা সমস্ত ইনপুটগুলিতে থামে। যদি $k \in \mathbb{N}$ তবে দ্বারা $T_k$ আমরা টুরিং মেশিনকে বোঝাই যার কোড । $k$

নিম্নলিখিত ফাংশন বিবেচনা করুন

s (x, y) = min {k ∣ | L (T_{k}) \cap {x, y} | = 1}

$s(x,y) = \min\{k \mid |L(T_k) \cap \{x,y\}| = 1\}$

অন্য কথায়, হ'ল ক্ষুদ্রতম টিউরিং মেশিনের কোড যা একটির স্ট্রিংকে যথাযথভাবে স্বীকৃতি দেয়আমরা এখন নিম্নলিখিত মানচিত্রটি সংজ্ঞায়িত করতে পারি $s(x,y)$ $x,y.$

d (x, y) = {\begin{cases} 2^{- s (x, y)} & if x \neq y, \\ 0 & otherwise. \end{cases}

$d(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll} 2^{-s(x,y)} & \mbox{if } x \ne y, \\ 0 & \mbox{otherwise.} \end{array} \right.$

এটি দ্রুত যাচাই করা যেতে পারে যে একটি মেট্রিক স্পেস (আসলে একটি আল্ট্রাসমেট্রিক্স) প্রেরণা দেয় $d(x,y)$ $\Sigma^{*}.$

এখন আমি প্রমাণ করতে চাই যে যদি $f:\Sigma^{*} \mapsto \Sigma^{*}$ a একটি অবিচ্ছিন্ন ক্রমাগত ফাংশন হয় তবে প্রতিটি পুনরাবৃত্ত ভাষার জন্য L, $f^{-1}(L)$ পাশাপাশি পুনরাবৃত্ত হয়।

অন্য কথায়, একটি মানচিত্র হতে দিন যে প্রতি জন্য একটি রয়েছে যা যদি স্ট্রিংগুলির জন্য তারপর তারপরে আমাদের দেখাতে হবে যে একটি পুনরাবৃত্ত ভাষায় যে পুনরাবৃত্ত হয়। $f$ $\epsilon > 0$ $\delta > 0$ $x,y \in \Sigma^{*}$

d (x, y) \leq δ

$\quad d(x,y) \leq \delta$

d (f (x), f (y)) < ϵ .

$d(f(x),f(y)) < \epsilon.$

f^{- 1} (L)

$f^{-1}(L)$

L

$L$

এই পোস্টে ইতিমধ্যে উল্লিখিত হিসাবে সমস্যাটির কাছে যাওয়ার জন্য একটি উপায় হ'ল একটি টুরিং মেশিন রয়েছে যা গণনা স্ট্রিং দিয়েছিল $x \in \Sigma^{*}$ $f(x).$

আমি এই দাবিটি প্রমাণ করতে গিয়ে আটকে আছি এবং আস্তে আস্তে ভাবছি যে এটি সমাধানের জন্য আরও কিছু উপায় আছে কিনা?

ইঙ্গিত, পরামর্শ এবং সমাধান স্বাগত!

computability turing-machines

— Jernej
সূত্র

আপনি কেন এটি প্রমাণ করার চেষ্টা করছেন? এটি আমাকে বানচ-মাজুর গণনার স্মরণ করিয়ে দেয়, যা খুব ভাল আচরণ করা হয় না।

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

@ আন্ড্রেজবাউর হোমওয়ার্ক অ্যাসাইনমেন্ট!

— জের্নেজ

সম্পাদনা করুন: মুছে ফেলা ইঙ্গিতগুলি, আমার সমাধান পোস্ট করেছে।

এখানে আমার সমাধান। আমরা একটি রেফারেন্স পয়েন্ট বাছতে যাচ্ছি যেখানে এবং মহাবিশ্বকে এবং এর দৃষ্টিকোণ থেকে বিবেচনা করুন। দেখা যাচ্ছে যে বিন্দুর প্রতিটি "প্রতিবেশী" পুনরাবৃত্তির সাথে মিলে যায়। সুতরাং আশেপাশে একটি পাড়া এবং আশেপাশে এমন কিছু প্রতিবেশী জায়গা থাকবে যা এটির মানচিত্র; এই পাড়াটি একটি পুনরাবৃত্তিমূলক ভাষা। $x$ $f(x) \in L$ $x$ $f(x)$ $L$ $f(x)$ $x$

থিম। এই স্পেসে, কোনও ভাষা পুনরাবৃত্ত হয় যদি এবং কেবল যদি এটি তার প্রতিটি স্ট্রিংয়ের প্রতিবেশী হয়।

প্রুফ । প্রথমত, একটি recursive ভাষা ঠিক দিন । কে জন্য একটি নির্ধারকের ন্যূনতম সূচক হতে দিন । তারপর আমরা আছে যদি , , তাই । এভাবে যে বোঝা $L$ $x \in L$ $K$ $L$ $y \not \in L$ $s(x,y) \leq K$ $d(x,y) \geq 1/2^K$ $d(x,y) < 1/2^K$ । $y \in L$

দ্বিতীয়ত, দিন একটি অবাধ স্ট্রিং এবং ফিক্স হতে ; দিন । যাক ; তারপর । তাহলে আমরা লিখতে পারি $x$ $\varepsilon > 0$ $K = \lfloor \log(1/\varepsilon) \rfloor$ $L_K = \{y : d(x,y) < \varepsilon\}$ $L_K = \{y : s(x,y) > K\}$

L_{K} = {y : (\forall j = 1, \dots, K) | L (T_{j}) \cap {x, y} | \neq 1} .

$L_K = \{ y : (\forall j=1,\dots,K) |L(T_j) \cap \{x,y\}| \neq 1\}.$

কিন্তু নির্ধার্য হল: ইনপুটের , এক প্রথম সিমুলেট করতে পারে উপর মীমাংসাকারী এবং এবং গ্রহণ যদি এবং কেবল যদি প্রতিটি পারেন উভয় গৃহীত বা উভয় প্রত্যাখ্যাত। $L_K$ $y$ $K$ $x$ $y$ $~\square$

এখন আমরা প্রায় সম্পন্ন করেছি:

ঠেকনা। যাক একটানা হও। যদি পুনরাবৃত্ত হয় তবে পুনরাবৃত্ত হয়। $f$ $L$ $f^{-1}(L)$

প্রুফ। একটি অবিচ্ছিন্ন ক্রিয়াকলাপের অধীনে, প্রতিবেশীর প্রিমাইজেশন একটি পাড়া।

মজার ব্যাপার হচ্ছে, আমি মনে করি যে এই স্থান একটি ক্রমাগত ফাংশন অবিশেষে একটানা হল: আসুন , অবিচ্ছিন্ন হতে তাই প্রতিটি বিন্দুতে , প্রতিটি জন্য একটা সংশ্লিষ্ট বিদ্যমান । একটি ত্রুটিমুক্ত দিন । আকারের বলের একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যা রয়েছে : রয়েছে ; তারপর আছে $f$ $x$ $\varepsilon$ $\delta$ $\varepsilon$ $K = \lfloor \log(1/\varepsilon) \rfloor$ $\varepsilon$ $L(T_1) \cup L(T_2) \dots \cup L(T_K)$ ; তারপর, ইত্যাদি। এর এইসব ভাষার প্রতিটি সহযোগীদেরএকটি preimage ভাষা সংশ্লিষ্ট ব্যাস সঙ্গে। প্রতিটি $\overline{L(T_1)} \cup L(T_2) \dots \cup L(T_K)$ $L(T_1) \cup \overline{L(T_2)} \dots \cup L(T_K)$ $f$ $L_i$ $L_i^{\prime}$ $\delta_i$ , $x \in L_i^{\prime}$ । সুতরাং আমরা ধরে এই finitely অনেক ন্যূনতম সময় লাগতে পারে গুলি অভিন্ন ধারাবাহিকতা ধ্রুবক পেতে এই সঙ্গে যুক্ত । $d(x,y) \leq \delta_i \implies d(f(x),f(y)) \leq \varepsilon$ $\delta$ $\delta$ $\varepsilon$

— উসূল
সূত্র

পরিষ্কারভাবে

তবে আমি কীভাবে

পুনরাবৃত্ত হয়তা দেখানোর জন্য মিস করছি!

d (x^{'}, y^{'}) \leq \frac{1}{2^{K}}

$d(x',y') \leq \frac{1}{2^K}$

f^{- 1} (L)

$f^{-1}(L)$

— জের্নেজ

@ জার্নেজ ঠিক আছে, তাই প্রথমে আমাদের কাছেও এই সংকোচনাত্মক রয়েছে - যদি

উভয়ই হয় হয়

বাহয় হয়না। এখন আসুন নেওয়া

d (x^{'}, y^{'}) > \frac{1}{2^{K}}

$d(x^{\prime},y^{\prime}) > \frac{1}{2^K}$

L

$L$

। তারপর কিছু হয়

তাই হয়, যদি

, তারপর

। বিশেষত, আসুন

দিয়েকিছু

চয়ন করি। এখন আমরা জানতে চাই যে

অন্যান্য সমস্ত উপাদানগুলি

ϵ = \frac{1}{2^{K}}

$\epsilon = \frac{1}{2^K}$

δ

$\delta$

d (x, y) \leq δ

$d(x,y) \leq \delta$

| L \cap {f (x), f (y)} | = 1

$\left| L \cap \{f(x),f(y)\} \right| = 1$

x

$x$

x^{'} = f (x) \in L

$x^{\prime} = f(x) \in L$

L

$L$

x^{'}

$x^{\prime}$ , and therefore where must the other members of

f^{- 1} (L)

$f^{-1}(L)$ lie relative to

x

$x$ ?

— usul

@Jernej I have posted my solution now. I hope what I posted earlier was helpful! Thanks for posting this problem, it is very cool.

— usul

Thank you very much for your answer. It took me a while to digest the hints hence I haven't upvoted and accepted your answer!

— Jernej

Quick question. We have shown that

L_{K}

$L_K$ is decidable. I don't see how it follows that it is recursive? Cant it be that one of the simulated

T_{j}

$T_j$ never halts?

— Jernej