রৈখিক সীমাবদ্ধতার সাথে উত্তল ক্রিয়াকলাপটি সর্বাধিক করা

Question

$$\text{maximize } f(\mathbf{x}) \quad\text{subject to } \mathbf{Ax} = \mathbf{b}$$

কোথায়

$$f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^N\sqrt{1+\frac{x_i^4}{\left(\sum_{i=1}^{N}x_i^2\right)^2}},$$

$\mathbf{x} = [x_1,x_2,...,x_N]^T \in \mathbb{R}^{N\times 1}$ এবং।$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{M\times N}$

আমরা দেখতে পারি যে উত্তল এবং ফর্ম হল । এটি এও দেখাতে পারে যে আবদ্ধ । আমি জানি যে উত্তোলন সর্বাধিকীকরণের সমস্যাটি সাধারণভাবে এনপি-হার্ড।$f$$\sqrt{1+y^2}$$f$$[\sqrt{2}, 2]$

তবে সমস্যার নির্দিষ্ট প্রকৃতিটি ব্যবহার করে কোনও মানক উত্তল অপ্টিমাইজেশন সফ্টওয়্যার / প্যাকেজ ব্যবহার করে এটি সমাধান করা কি সম্ভব?

Comments

দুটি সংক্ষিপ্তসার রয়েছে, একটি অন্যটির অভ্যন্তরে, একই "লুপ ভেরিয়েবল" ব্যবহার করে । প্রসঙ্গটি থেকে স্পষ্ট বলে মনে হচ্ছে যে কোনটি ব্যবহার তবে স্পষ্টতার জন্য দয়া করে ঠিক করুন। $i$$i$

— j_random_hacker

Answer 1

হ্যাঁ, সাম্যের সীমাবদ্ধতার সাথে উত্তল অপটিমাইজেশন সাধারণভাবে এনপি-হার্ড। তবে, পরিপক্ক কৌশল রয়েছে যা সমন্বিত বংশদ্ভুতের মতো উত্তল অপ্টিমাইজেশান সমস্যার খুব সুন্দর আনুমানিক সমাধান খুঁজে পায়।

মনে করুন আপনি সমন্বিত বংশদ্ভুত ব্যবহার করেন এবং ম্যাট্রিক্স এ এর ​​র‌্যাঙ্ক । আপনি আপনার সম্ভাব্য সমাধান এনকে -1 স্থানাঙ্কগুলি ঠিক করতে পারেন এবং তারপরে সমাধানের স্পেসে থাকা ভেক্টরগুলি একটি সমন্বয় দ্বারা স্বতন্ত্রভাবে নির্ধারিত হয়, উদাহরণস্বরূপ । সেক্ষেত্রে এই পুনরাবৃত্তির সর্বাধিক সন্ধান করতে আপনি সাথে শ্রদ্ধার সাথে কেবল ডেরাইভেটিভ নিতে পারেন ।$k$$x = (x_1, x_2, x_3, ..., x_n)$$x_i$$f(\cdot)$$x_i$

তারপরে আমরা পুনঃনির্বাচিতভাবে এন কে -১ স্থানাঙ্ক সংশোধন করি এবং প্রায় কোনও অনুকূল কোনও সন্ধান না পাওয়া পর্যন্ত সমাধানটি উন্নত করি।

Comments

@ রডরিগোডেজেভেদো: উত্তেজক অনুকূলিতকরণের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে এলপি সাধারণ ক্ষেত্রেগুলির চেয়ে সহজ, এটি কোনও বৈপরীত্য বা অবাক হওয়ার কিছু নয়।

— j_random_hacker