যদি অঙ্কের দ্বারা, আপনার অর্থ প্রাকৃতিক সংখ্যার (যেমন, গণনাযোগ্য) এর সাথে একটি দ্বিধা আছে, তবে না, গণনাযোগ্য সংখ্যাগুলি গণনাযোগ্য নয়।
আসুন সমস্যাটি আরও স্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত করুন: একটি "নাম্বার-প্রিন্টিং টিউরিং মেশিন (এনপিটিএম)" একটি ট্যুরিং মেশিন যা প্রতিটি রাজ্যের ক্রান্তিকরণের জন্য কোনও কিছুই মুদ্রণ করতে পারে না বা কোনও দশমিক অঙ্ক, বিয়োগ চিহ্ন বা সময়কাল মুদ্রণ করতে পারে। এটি বাস্তব সংখ্যার দশমিক উপস্থাপনা মুদ্রণের জন্য যথেষ্ট।
খালি টেপ থেকে শুরু হওয়া এনপিটিএম দ্বারা যথেষ্ট সময় দেওয়া, যথেচ্ছভাবে দীর্ঘ উপস্থাপনের সাথে মুদ্রণ করা যায় এমন কোনও আসল সংখ্যা হিসাবে একটি গণনীয় আসল সংখ্যাটি সংজ্ঞায়িত করা যাক। এটি আরও বলতে দেয় যে কোনও সংখ্যাকে একটি নির্দিষ্ট এনপিটিএম দ্বারা গণনা করা হয় যদি এটি হয় ভালভাবে তৈরি প্রকৃত সংখ্যা মুদ্রণের পরে থামে (যার ক্ষেত্রে, সংখ্যাটির সীমাবদ্ধ দশমিক উপস্থাপনা থাকে) বা সময়সীমার মধ্যে সীমাবদ্ধ পরিমাণে মুদ্রিত ভাল নম্বরটি প্রিন্ট করে দশমিক পয়েন্ট সহ এবং আরও বেশি সময় দেওয়া আরও অঙ্ক মুদ্রণের মাধ্যমে সংখ্যার যথার্থতা বাড়িয়ে তুলবে।
এই পরবর্তী শর্তটি প্রয়োজন কারণ, যদি আমাদের কাছে এমন কোনও মেশিন থাকে যা উদাহরণস্বরূপ, কিছু অঙ্কের একটি অসীম অনুক্রম প্রিন্ট করে, বলে 1111111111111111111..., এটি কোনও আসল সংখ্যার গণনা করা বলা যায় না, কারণ আসল সংখ্যায় কেবল ডানদিকে অসীম প্রতিনিধিত্ব থাকে দশমিক সময়ের দিকে। অন্যদিকে, যদি মেশিনটি মুদ্রণ করে 3.14এবং মুদ্রণ বন্ধ করে দেয় তবে কখনই থামে না, কেবলমাত্র সংখ্যার যথার্থতা বৃদ্ধি না হওয়ায় এটি কোনও আসল সংখ্যা গণনা করার কথা বলা যায় না, এইভাবে, এই নির্দিষ্ট মেশিনটি এটি নির্মাণ করবে না আরও।
এগুলি এনপিটিএম এর উদাহরণ যা কিছু সংখ্যার গণনা করে। একটি এনপিটিএম যে:
- মুদ্রণ
1, তারপরে থামুন। এটি নম্বর 1 গণনা করে।
- মুদ্রণ
1.0, তারপরে থামুন। এটি 1 নম্বরও গণনা করে।
- মুদ্রণ করে
1.0000000এবং চিরকালের জন্য জিরো মুদ্রণ চালিয়ে যায়। এই এক নম্বর 1 গণনা।
- মুদ্রণ
3.14, তারপরে থামুন। এটি 3.14 নম্বর গণনা করে।
- মুদ্রণ করে
3.14159এবং চিরকাল printing অঙ্ক মুদ্রণ করে চলে । এই এক গণনা সংখ্যা ।ππ
- মুদ্রণগুলি
-42.এবং তারপরে থামে। এটি গণনা সংখ্যা -42।
এবং এগুলি এনপিটিএম এর উদাহরণ যা কোনও সংখ্যার গণনা করে না । একটি এনপিটিএম যে:
- মুদ্রণ
123123123এবং তারপরে 123চিরকালের জন্য ক্রমটি মুদ্রণ করতে যায় । কোনও সংখ্যা গণনা করছে না কারণ এই অসীম অনুক্রমটি কোনও আসল সংখ্যাকে উপস্থাপন করে না।
- মুদ্রণ
1.0.0এবং তারপরে থামে। কারণ এই সীমাবদ্ধ ক্রমটি ভালভাবে তৈরি হয়নি।
- মুদ্রণ
....-..---এবং তারপরে থামে। এটি হয় না কারণ এটি খুব ভাল গঠিত প্রকৃত সংখ্যা নয়।
- কখনও কিছু প্রিন্ট করে না, তবে কখনও থামে না। সেখানে কোনও সংখ্যা নির্মান হচ্ছে না।
- কখনই কিছু মুদ্রণ করে না এবং ততক্ষণে থামে। কোন সংখ্যা নির্মাণ করা হয়নি।
- মুদ্রণ করে
3.14, থামবে না, তবে কখনও অন্য কোনও কিছু প্রিন্ট করবে না। কোনও সংখ্যায়ন করা হচ্ছে না কারণ এর যথার্থতা সময়ের সাথে বাড়ছে না।
আপনি ধারণা পেয়েছেন। তারপরে আমাদের কাছে এনপিটিএমের দুটি ক্লাস রয়েছে: যাঁরা কিছু আসল সংখ্যার গণনা করেন, এবং যারা তা করেন না।
গণনাযোগ্য সংখ্যার জন্য কিছু গণনা সন্ধান করার ক্ষেত্রে সমস্যাটি হ'ল, এনপিটিএম নিজেও গণনাযোগ্য হওয়া সত্ত্বেও, আমাদের এমন কোনও পদ্ধতি থাকতে পারে না যা এক ধরণের এনপিটিএমকে অন্যের থেকে পৃথক করে।
ধর্তব্য সেটের সংজ্ঞা বিবেচনা করুন: একটি সেট জন্য ধর্তব্য হতে, কিছু bijective ফাংশন থাকা আবশ্যক ।SF:N→S
গণনাযোগ্য সংখ্যা গণনাযোগ্য কিনা তা প্রমাণ করার জন্য, এনপিটিএমের গণনা থেকে এই জাতীয় কোনও ক্রিয়াকলাপ সংজ্ঞায়িত করার জন্য প্ররোচিত হতে পারে (এবং লোকেরা প্রায়শই এটি করত, যখন তারা বিশ্বাস করে যে গণনাযোগ্য সংখ্যা গণনাযোগ্য)। এটার মতো কিছু:
এনপিটিএম গণনাযোগ্য, সুতরাং , সুতরাং আমরা উপস্থিত সমস্ত এনপিটিএম চিরকালের জন্য গণনা করতে যেতে পারি। সুতরাং, একইভাবে সমস্ত গণনীয় সংখ্যা গণনা করতে, এবং গণনাযোগ্য function দ্বিখণ্ডিত ক্রমটি সংক্ষিপ্তভাবে সংজ্ঞায়িত করতে, অবশ্যই কেবলমাত্র সমস্ত NPTM গণনা করতে হবে, তবে কেবল কয়েকটি গণনা করা লোককে গণনা করতে হবে সত্য নম্বর. তবে আমরা কীভাবে এটি জানি যে এটি কয়েকটি আসল সংখ্যার গণনা করে?ENPTM:N−>NPTMEComputabe:N→Computable
ভাল, আমরা না। এমন একটি মেশিন বিবেচনা করুন যা তাৎক্ষণিকভাবে মুদ্রণ করে 1.0এবং তারপরে মুদ্রণ বন্ধ করে পোস্টের চিঠিপত্রের সমস্যার একটি উদাহরণ সমাধান করার চেষ্টা করে । যদি এটি সমস্যার সমাধান করে তবে এটি থেমে যায়, তারপরে মেশিনটি কেবল এক নম্বর গণনা করে। তবে এই সমস্যাটি অনস্বীকার্য, সুতরাং এটি কখনও থামতে পারে না এবং যদি এটি কখনও থামে না, তবে এটি কখনই আসল সংখ্যাকে গণনা করে না। তবে আমরা জানি না যে এটি কখনও থামবে কিনা , কারণ হ্যালটিং সমস্যাটিও অনস্বীকার্য! সুতরাং, যেহেতু এই নির্দিষ্ট মেশিনটি, এবং অসীমভাবে অন্যান্য অনেক মেশিন, কোনও গণনা করা হয় বা কিছু আসল সংখ্যা নয় তা জানার কোনও উপায় নেই, তাই আমরা এইভাবে আমাদের বাইজিক ফাংশনটি তৈরি / সংজ্ঞায়িত করতে পারি না।
বাইজেকশন সংজ্ঞায়নের নিখুঁত উপায় ব্যর্থ হয় এবং এটি প্রমাণ করার পক্ষে খুব কঠিন কিছু নেই যে এটি করার কোনও উপায় নেই। যুবাল ফিল্মাসের পরামর্শ অনুসারে, তির্যক ব্যবহার করা যেতে পারে।