জটিলতার সরলকরণ এন মাল্টিচুজ কে

আমার কাছে পুনরাবৃত্তির সাথে এন থেকে কে উপাদানগুলি বেছে নেওয়ার সমতুল্য জটিলতার সাথে একটি পুনরাবৃত্ত অ্যালগরিদম রয়েছে এবং আমি ভাবছিলাম যে আমি আরও সরলীকৃত বিগ-ও এক্সপ্রেশন পেতে পারি কিনা। আমার ক্ষেত্রে, চেয়ে বেশি হতে পারে এবং সেগুলি স্বাধীনভাবে বৃদ্ধি পায়। $k$ $n$

বিশেষত, আমি কিছু স্পষ্টত এক্সপ্রেশনাল এক্সপ্রেশন আশা করতাম। এ পর্যন্ত আমি যে সবচেয়ে ভাল খুঁজে পেতে পারি তা হ'ল স্ট্রিলিংয়ের আনুমানিক based এর উপর ভিত্তি করে , তাই আমি এটি ব্যবহার করতে পারি, তবে আমি আরও আশ্চর্য হয়েছি যে আমি আরও ভাল কিছু পেতে পারি। $O(n!) \approx O((n/2)^n)$

O ((\binom{n + k - 1}{k})) = O (?)

$O\left({{n+k-1}\choose{k}}\right) = O(?)$

asymptotics combinatorics runtime-analysis

— yoniLavi
সূত্র

এটি ঠিক খুব সহায়ক নয় তবে খুব আকর্ষণীয় রামানুজনের

— কল্পিত প্রতীক

ধন্যবাদ,

n! \sim \sqrt{π} {(\frac{n}{e})}^{n} \sqrt[6]{8 n^{3} + 4 n^{2} + n + \frac{1}{30}}

$n! \sim \sqrt{\pi} \left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt[6]{8n^3 + 4n^2 + n + \frac{1}{30}}$ দেখায় শীতল আনুমানিকতার মতো, তবে বাস্তবে এটি এটিকে সরল করতে সহায়তা করবে বলে মনে হয় না।

— yoniLavi

উত্তর:

সম্পাদনা: এই উত্তরটি $k<n$ । এর পরিপ্রেক্ষিতে আবদ্ধ $k$ না করে অভিব্যক্তিটি সীমাহীন। $n$

যদি তবে আপনার ভাবটি । লক্ষ্য করুন যে কোনও এর জন্য স্ট্রিলিং সূত্রে by যেখানে বাইনারি এনট্রপি। বিশেষত । সুতরাং আমাদের কাছে $k=n-1$ $O\left ({{2(n-1)}\choose{n-1}}\right)$ $0<\alpha<1$

(\binom{m}{α m}) = Θ (m^{- 1 / 2} 2^{H (α) m}),

${m \choose {\alpha m}}= \Theta(m^{-{1/2}} 2^{H(\alpha)m}),$

H (q) = - q \log q - (1 - q) \log (1 - q)

$H(q)=-q \log q - (1-q) \log (1-q)$

H (1 / 2) = 1

$H(1/2)=1$

k = n - 1

$k=n-1$

O ((\binom{2 (n - 1)}{n - 1})) = Θ ((2 n - 2)^{- 1 / 2} 2^{2 n - 2}) = Θ (\frac{4^{n}}{\sqrt{n}}) .

$O\left ({{2(n-1)}\choose{n-1}}\right)=\Theta((2n-2)^{-{1/2}} 2^{2n-2})=\Theta\left(\frac{ 4^{n}}{\sqrt{n}}\right).$

যেহেতু উপরের সীমাটি সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে (এটি আমি এটি প্রদর্শন করার জন্য অনুশীলন হিসাবে রেখেছি), আপনার অভিব্যক্তি । $k=n-1$ $O\left(\frac{ 4^{n}}{\sqrt{n}}\right)$

— A.Schulz
সূত্র

ধন্যবাদ, আমি ঠিক যা খুঁজছিলাম! এবং এটি আরও একটি বিষয় যা আমাকে তথ্য তত্ত্ব অধ্যয়ন করতে উদ্বুদ্ধ করে।

— yoniLavi

@ ফ্যালকার 84: শেষ ট্রানজিশনে আমার একটি ছোট টাইপ ছিল। বর্গমূলের অংশটি বিভাজনের কাছে যেতে হবে। অতএব পরেশের উপস্থাপিত চেয়ে আবদ্ধ কিছুটা ভাল। (প্রকৃতপক্ষে,

— আবদ্ধটি asympototically

আমারও সেই ছোট্ট বিয়োগ চিহ্নটি লক্ষ্য করা উচিত ছিল, আবারও ধন্যবাদ।

— yoniLavi

আপনার "অনুশীলন হিসাবে বাম" বিবৃতি যে সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে তা ভুল। তাহলে , অভিব্যক্তি । এটি সর্বদা চেয়ে কম নয় not ।

k = n - 1

$k = n-1$

n = 3

$n=3$

(\binom{k + 2}{k}) = (\binom{k + 2}{2}) = \frac{(k + 1) (k + 2)}{2}

${k+2 \choose k} = {k+2 \choose 2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$

(\binom{4}{2}) = 6

${4 \choose 2} = 6$

— পিটার শোর

যেহেতু , সমস্যাটি এবং প্রতিসম হয় (যা আমার ক্ষেত্রে সম্পর্ক ছাড়াই বাড়তে পারে) )। সুতরাং, আমি মনে করি, আরও সঠিক উত্তরটি উত্তরের চূড়ান্ত অংশে

(\binom{n + k - 1}{k}) = (\binom{n + k - 1}{n - 1})

${{n+k-1}\choose{k}} = {{n+k-1}\choose{n-1}}$

n

$n$

k

$k$

x := m a x (n, k)

$x := max(n,k)$

— yoniLavi

ওল্ফ্রাম বলেছেন সন্ডো (২০০)) [১] এবং সন্ডো এবং জুডিলিন (২০০)) [২] অসমতাটির বিষয়টি উল্লেখ করেছেন: জন্য ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য এবং আসল সংখ্যা ।

\frac{1}{4 r m} {[\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r}}]}^{m} < (\binom{(r + 1) m}{m}) < {[\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r}}]}^{m}

$\frac{1}{4rm}\left[\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right]^m < {(r+1)m \choose m} < \left[\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right]^m$

m

$m$

r \geq 1

$r\ge 1$

এরপরে আমরা করতে পারি এবং ।

(\binom{n + k - 1}{k}) < (\binom{n + k}{k}) = (\binom{(r + 1) m}{m})

${n+k-1\choose k} < {n+k\choose k} = {(r + 1)m \choose m}$

r = \frac{n}{k}

$r = \frac{n}{k}$

m = k

$m = k$

তারপরে আমাদের কাছে

(\binom{n + k - 1}{k}) < {[\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r}}]}^{m} = {(\frac{n + k}{k})}^{n + k}

${n+k-1\choose k} < \left[\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right]^m = \left(\frac{n+k}{k}\right)^{n+k}$

এখন, দ্বিপদী অভিব্যক্তির পাসকালের ত্রিভুজটির মাঝখানে সর্বাধিক মান রয়েছে। সুতরাং, আমাদের ক্ষেত্রে, বা । $n+k = 2k$ $k = n$

উপরের অসমতার পরিবর্তে, আমরা পাই: ।

(\binom{n + k - 1}{k}) < 2^{2 n} = 4^{n}

${n+k-1\choose k} < 2^{2n} = 4^n$

অতএব, একটি শক্ত বাউন্ড ।

(\binom{n + k - 1}{k}) = O (4^{n})

${n+k-1\choose k} = O(4^n)$

আপনি আরও দেখতে পারেন যে সর্বাধিক মানের জন্য নিম্ন সীমাটি হ'ল

(\binom{n + k - 1}{k}) = Ω (\frac{4^{n}}{n})

${n+k-1\choose k} = \Omega\left(\frac{4^n}{n}\right)$

তথ্যসূত্র:
[1] সন্ডো, জে। "সমস্যা 11132." আমের। ম্যাথ। মাসিক 112, 180, 2005.
[2] সোনডো, জে এবং জুডিলিন, ডাব্লু। "অলারের ধ্রুবক, কিউ-লোগারিদমস এবং রামানুজন ও ইঞ্জিলের সূত্র" রামানুজন জে। 12, 225-244, 2006।

— পরেশ
সূত্র