গণ্যযোগ্য রিয়েলগুলির সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য বৈশিষ্ট্য

"গণনাযোগ্য রাজ্যের জন্য ধানের উপপাদ্য" - অর্থাত, প্রদত্ত সংক্ষিপ্ত বাস্তবের দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা সংখ্যার কোনও ননড্রাইভাল সম্পত্তি সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য - সত্য?

এটি বাস্তবের সংযোগের সাথে কোনও প্রত্যক্ষ উপায়েই কি মিলে যায়?

computability real-numbers computable-analysis

— Shachaf
সূত্র

উত্তর:

হ্যাঁ, চালের বাস্তবের জন্য ধানের উপপাদ্যটি গণনাযোগ্য রিয়েলগুলির প্রতিটি যুক্তিসঙ্গত সংস্করণ ধারণ করে।

আমি প্রথমে একটি নির্দিষ্ট উপপাদ্য এবং একটি তাত্পর্য প্রমাণ করব এবং পরে এটি কম্পিউটারে সামর্থ্যের সাথে কী করবে তা ব্যাখ্যা করব।

উপপাদ্য: ধরুন একটি মানচিত্র এবং দুটি বাস্তব যেমন এবং । তারপর অস্তিত্ব আছে একটি কোশি ক্রম যেমন যে জন্য সব । $p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$ $a, b \in \mathbb{R}$ $p(a) = 0$ $p(b) = 1$ $(x_i)_i$ $p(\lim_i x_i) \neq p(x_j)$ $j \in \mathbb{N}$

প্রুফ। আমরা নীচে জোড় : মান্য যে সবার জন্য : $(y_i, z_i)_i$

(y 0, z 0) (y i + 1, z i + 1) = (a, b) = {(y i, (y i + z i) / 2) ((y i + z i) / 2, z i) if p ((y i + z i) / 2) = 1 if p ((y i + z i) / 2) = 0

$\begin{align*} (y_0, z_0) &= (a, b) \\ (y_{i+1}, z_{i+1}) &= \begin{cases} (y_i, (y_i + z_i)/2) & \text{if $p((y_i + z_i)/2) = 1$} \\ ((y_i + z_i)/2, z_i) & \text{if $p((y_i + z_i)/2) = 0$} \\ \end{cases} \end{align*}$

i∈N $i \in \mathbb{N}$

$p(y_i) = 0$ এবং $p(z_i) = 1$
$|z_i - y_i| = |b - a| \cdot 2^{-i}$
$|y_{i+1} - y_i| \leq |b - a| \cdot 2^{-i}$
$|z_{i+1} - z_i| \leq |b - a| \cdot 2^{-i}$

সুতরাং ক্রমগুলি এবং এবং এগুলি একটি সাধারণ বিন্দুতে রূপান্তরিত হয় । যদি তবে আমরা , এবং যদি তবে আমরা । $(y_i)_i$ $(z_i)_i$ $c = \lim_i y_i = \lim_i z_i$ $p(c) = 0$ $(x_i)_i = (z_i)_i$ $p(c) = 1$ $(x_i)_i = (y_i)_i$ $\square$

সংশ্লেষ: ধরুন এবং দুটি বাস্তব যেমন এবং । তারপরে প্রতিটি টিউরিং মেশিন হয় চিরতরে চলে বা এটি চিরকাল চলে না। $p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$ $a, b \in \mathbb{R}$ $p(a) = 0$ $p(b) = 1$

প্রুফ। উপপাদ্য দ্বারা, একটি কোশি ক্রম যেমন যে জন্য সব । সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই আমরা ধরে নিতে পারি যে এবং । $(x_i)_i$ $p(x_j) \neq p(\lim_i x_i)$ $j \in \mathbb{B}$ $p(x_j) = 1$ $p(\lim_i x_i) = 0$

একটি ট্যুরিং মেশিন হতে দিন । by দ্বারা একটি অনুক্রম সংজ্ঞা করুন ক্রম ভালভাবে সংজ্ঞায়িত কারণ আমরা অনুকরণ করতে পারে পর্যন্ত পদক্ষেপ এবং সিদ্ধান্ত নেন তা বা যে অনেক পদক্ষেপ মধ্যে বন্ধ করে দিয়েছে না। এরপরে, পর্যবেক্ষণ করুন যে হ'ল একটি কচী ক্রম কারণ একটি কচী অনুক্রম (আমরা এটিকে অনুশীলন হিসাবে ছেড়ে দিই)। যাক । হয় বা : $T$ $y_i$

y i = {x j x i if T halts in step j and j \leq i if T does not halt within i steps

$y_i = \begin{cases} x_j & \text{if $T$ halts in step $j$ and $j \leq i$}\\ x_i & \text{if $T$ does not halt within $i$ steps} \end{cases}$

T $T$

i $i$

(yi)i $(y_i)_i$

(xi)i $(x_i)_i$

z=limiyi $z = \lim_i y_i$

p(z)=0 $p(z) = 0$

p(z)=1 $p(z) = 1$

যদি তবে চিরতরে চলে। প্রকৃতপক্ষে, যদি এটি পদক্ষেপের পরে বন্ধ হয়ে যায় , তবে আমাদের কাছে , এবং তাই বিরোধিতা করবে । $p(z) = 0$ $T$ $j$ $z = x_j$ $p(z) = p(x_j) = 1$ $p(z) = 0$
যদি তবে চিরকালের জন্য চলবে না। প্রকৃতপক্ষে, যদি এটি করা থাকে তবে আমাদের , এবং তাই , বিপরীতে । $p(z) = 1$ $T$ $z = \lim_i x_i$ $p(z) = p(\lim_i x_i) = 0$ $p(z) = 0$ $\square$

এখন আমরা ব্যাখ্যা করতে পারি যে এটি কেন আমাদের সংখ্যার জন্য রাইসের উপপাদ্য দেয়। প্রমাণগুলি গঠনমূলক, অতএব তারা গণনীয় পদ্ধতিগুলি ফলন করে। এটি কম্পিউটারের যোগ্যতার কোনও মডেল এবং রিয়েলগুলির কোনও গণনা কাঠামোর ক্ষেত্রে সত্য that প্রকৃতপক্ষে, আপনি ফিরে যেতে পারেন এবং প্রোগ্রামটি তৈরির নির্দেশাবলী হিসাবে প্রমাণটি পড়তে পারেন - সমস্ত পদক্ষেপটি গুননীয়।

সুতরাং, যদি আমরা একটি গণনামূলক মানচিত্র এবং গণনযোগ্য যেমন এবং , তারপরে আমরা উপপাদ্যটির গঠনমূলক প্রমাণগুলি থেকে শুরু করে গণনাযোগ্য প্রক্রিয়াগুলি প্রয়োগ করতে পারি এবং হাল্টিং ওরাকল তৈরির জন্য একাদশই তৈরি করেছি। তবে হ্যালটিং ওরাকলটির অস্তিত্ব নেই, সুতরাং, প্রতিটি গণনামূলক মানচিত্র । ধ্রুবক। $p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$ $a, b \in \mathbb{R}$ $p(a) = 0$ $p(1) = 1$ $p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$

পরিপূরক: রাইসের উপপাদ্য বাস্তবের সংযোগের সাথে সম্পর্কিত কিনা তা নিয়েও একটি প্রশ্ন ছিল। হ্যাঁ, এটি মূলত বিবৃতি যে বাস্তবগুলি সংযুক্ত রয়েছে।

আসুন আমরা প্রথমে পর্যবেক্ষণ করি যে একটি অবিচ্ছিন্ন মানচিত্র the (আমরা on on তে পৃথক টপোলজি নিয়ে থাকি ) বিচ্ছিন্ন ক্লোপেনের এক জোড়া (বন্ধ এবং উন্মুক্ত) সেট করে যেমন । প্রকৃতপক্ষে, এবং । কারণ অবিচ্ছিন্ন এবং এবং open খোলা রয়েছে, এবং খোলা থাকবে, বিচ্ছিন্ন হবে এবং তারা স্পষ্টতই সমস্ত কভার করে । বিপরীতভাবে, কোন যুগল টুকরো করা clopens যে কভার একটি ক্রমাগত মানচিত্র নির্ধারণ করে $p : X \to \{0,1\}$ $\{0,1\}$ $U, V \subseteq X$ $U \cup V = X$ $U = p^{-1}(\{0\})$ $V = p^{-1}(\{1\})$ $p$ $\{0\}$ $\{1\}$ $U$ $V$ $X$ $(U,V)$ $X$ $p : X \to \{0,1\}$ যা থেকে উপাদান এবং থেকে উপাদানগুলিকে মানচিত্র করে । $U$ $0$ $V$ $1$

এ থেকে আমরা শিখতে পারি যে একটি স্পেস সংযোগ বিচ্ছিন্ন থাকলে এবং কেবলমাত্র যদি সেখানে থাকে তবে একটি অবিচ্ছিন্ন মানচিত্র এবং মতো এবং (আমাদের এবং প্রয়োজন যাতে আমরা একটি ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র পচন পেতে পারি )। একই কথা বলার আরেকটি উপায় রয়েছে: একটি স্পেস সংযুক্ত থাকে যদি এবং কেবলমাত্র, সমস্ত ক্রমাগত মানচিত্র constant ধ্রুবক থাকে। $X$ $p : X \to \{0,1\}$ $a, b \in X$ $p(a) = 0$ $p(1) = b$ $a$ $b$ $X$ $X$ $X \to \{0,1\}$

গণনীয় গণিতে আমাদের একটি মৌলিক উপপাদ্য রয়েছে: প্রতিটি গণনীয় মানচিত্র অবিচ্ছিন্ন । সুতরাং, যতক্ষণ না আমরা গণনাযোগ্য বস্তুর ক্ষেত্রের মধ্যে আছি, ততক্ষণ রাইসের উপপাদ্যটি বলে যে একটি নির্দিষ্ট স্থান সংযুক্ত রয়েছে। সর্বোত্তম রাইস ক্ষেত্রে উপপাদ্য এর প্রশ্নে স্থান আংশিক গণনীয় ফাংশন স্থান হয় । $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

— আন্দ্রেজ বাউয়ার
সূত্র

ধন্যবাদ! এই আমি খুঁজছিলাম ছিল। অন্যান্য প্রশ্ন সম্পর্কে কোনও ধারণা - এটি সরাসরি বাস্তবের সংযোগের সাথে সম্পর্কিত কিনা?

— শাচাফ

রাইসের উপপাদ্যটি আসলে সংযুক্তি উপপাদ্যের একটি রূপ যা সম্পর্কে আমি একটি ব্যাখ্যা যুক্ত করেছি।

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

ধরুন এবং সংজ্ঞায়িত করুন যদি পদক্ষেপের মধ্যে না থাকে এবং অন্যথায়। যদি টি থামায় না তবে রূপান্তর করে , অন্যথায় এটি রূপান্তরিত হয় । যদি গণনাযোগ্য হয় তবে প্রদত্ত দেওয়া হলে এর সীমা গণনা করে কোনও মেশিন তৈরি করা যায় । কেন দেখানোর জন্য এই যথেষ্ট নয় গণনীয়, অথবা এমনকি semidecidable করা যাবে না (যেমন iff বন্ধ না হয়

p(x)=1,p(x′)=0 $p(x)=1, p(x')=0$

yi=x $y_i=x$

T $T$

i $i$

yi=x′ $y_i=x'$

yi $y_i$

x $x$

x′ $x'$

x,x′ $x,x'$

T $T$

$y_i$

$p$

$T$

$p$

$1$ সীমাতে)। স্পষ্টতই আমি কিছু মিস করছি, যেহেতু এখানে অনানুষ্ঠানিক বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা সেমিডেসিডেবল।

— এরিয়েল

আপনার সংজ্ঞাটি ঠিক আছে, তবে এটির সীমাটি বলে দাবি করার জন্য আপনার সিকোয়েন্সের রূপান্তরটির একটি গণনীয় হারও প্রয়োজন । যেহেতু আমরা গনা করতে পারবে না যা সূচিতে ক্রম থেকে লাফ পারে থেকে (অথবা অন্যথায় আমরা গনা পারে যা ধাপে থেমে যাবে), অভিসৃতি এমন গণনীয় হার ছিল না যেতে পারে।

$T$

$y_i$

$i$

$y_i$

$x$

$x'$

$T$

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

-1

না বা, অন্তত, প্রমাণটি তুচ্ছ নয়, যেহেতু আপনি বাস্তবের গণনা করার জন্য (সাধারণত অনেকগুলি) সম্ভাব্য উপায়গুলির মধ্যে বেছে নিতে পারেন এবং নির্বাচিত সম্পত্তির মোট কাঠামোযুক্ত কাঠামোর সাথে একটি বেছে নিতে সক্ষম হতে পারেন যাতে আপনি সম্পত্তিটি থামিয়ে সমস্যার পরীক্ষা করছেন না।

এছাড়াও, আমি মনে করি "নন্ট্রাইভিয়াল" অর্থ সংখ্যার বৈশিষ্ট্যগুলি বোঝার জন্য কীভাবে আমার আরও ভাল বোঝার দরকার। রাইসের উপপাদ্যের জন্য, "নন্ট্রাইভিয়াল" মূলত সিনট্যাকটিক নয় এবং সিনট্যাক্স দ্বারা বোঝানো হয় না। তবে প্রতিটি গণনাযোগ্য আসল সংখ্যা কোনও একক প্রোগ্রাম নয়, বরং প্রোগ্রামগুলিতে পূর্ণ সমতুল্য শ্রেণি।

— বয়ড স্টিফেন স্মিথ জুনিয়র
সূত্র

আমি এখানে আপনি কি বলতে চান তা নিশ্চিত নই। আপনি কি গণনাযোগ্য আসল সংখ্যাগুলির (যেমন, , , , ইত্যাদি) এবং যেগুলি গণনা করছেন সেই প্রোগ্রামগুলির মধ্যে পার্থক্য করার চেষ্টা করছেন ? অবশ্যই, এমন অনেকগুলি প্রোগ্রাম রয়েছে যা প্রতিটি গণনামূলক বাস্তবকে গণনা করে তবে সেখানে অসীম অনেকগুলি ট্যুরিং মেশিন রয়েছে যে কোনও সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য ভাষা নির্ধারণ করে এবং সাধারণ রাইসের উপপাদ্যটি নিয়ে কোনও সমস্যা হয় না।

$2$

$22/7$

$\pi$

— ডেভিড রিচারবি

গণনাযোগ্য বাস্তবের বিভিন্ন উপস্থাপনায় আসলে উল্লেখযোগ্যভাবে পৃথক পৃথক গণনা বৈশিষ্ট্য রয়েছে? ধরা যাক যে আমি এন.ইউইকিভিডিয়া.র.কম / উইকি / কমপটেবল_ নাম্বারের একটি সংজ্ঞা ব্যবহার করছি , উদাহরণস্বরূপ একটি কম্পিউটেবল রিয়েল এমন একটি প্রোগ্রাম দ্বারা উপস্থাপিত হয় যা যুক্তিযুক্ত ত্রুটি আবদ্ধ করে এবং সেই গণ্ডির মধ্যে একটি আনুমানিক উত্পন্ন করে। আমার অর্থ রাইসের উপপাদ্য হিসাবে একই অর্থে "তুচ্ছ": এমন একটি সম্পত্তি যা সমস্ত গণনীয় রাজ্যের বা তাদের কোনওটির ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য না। এটি সত্য যে প্রতিটি সংখ্যা একাধিক প্রোগ্রাম দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, তবে এটি আংশিক ফাংশনগুলির ক্ষেত্রেও সত্য।

— শাচাফ

@ শ্যাচাফ এটি রাইসের উপপাদ্যের চেয়ে বেশি "তুচ্ছ"। "সিনট্যাকটিক" বৈশিষ্ট্যগুলিও তুচ্ছ - যেমন "প্রাথমিক অবস্থায় কমপক্ষে 4 টি রাজ্য পৌঁছতে পারে", "একটি সংযুক্ত রাষ্ট্রের গ্রাফ রয়েছে", "কোনও টেপে এক্স লেখেন এমন কোনও রূপান্তর নেই" ইত্যাদি - এবং তাদের প্রয়োজন প্রতিটি মেশিনে প্রয়োগ নেই।

— বয়ড স্টিফেন স্মিথ জুনিয়র

@ ডেভিডরিচার্বি হ্যাঁ, আমি মনে করি পার্থক্যটি প্রয়োজনীয়। আপনি যদি মোট বা উত্পাদনশীল উপস্থাপনার সাথে একচেটিয়াভাবে কাজ করতে সক্ষম হন তবে আপনার আরও শক্তি রয়েছে।

— বয়ড স্টিফেন স্মিথ জুনিয়র 19

ধানের উপপাদ্যটি আংশিক ফাংশনগুলির বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে, তাদের গণনাকারী অ্যালগরিদম নয়। একইভাবে আমি গণনাযোগ্য রিয়েলগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছি, প্রোগ্রামগুলি নয় যে তাদের গণনা করবে।

— শাচাফ