বাইনারি হিপ প্রমাণিত করার জন্য পাতা রয়েছে

Question

আমি প্রমাণ করার চেষ্টা করছি যে নোড সহ একটি বাইনারি হিপ ঠিক নীচে পাতাগুলি রয়েছে, যেহেতু এই নিম্নলিখিত উপায়ে নির্মিত হয়েছে:$n$$\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$

প্রতিটি নতুন নোড পেরকোলিট আপের মাধ্যমে .োকানো হয় । এর অর্থ হ'ল প্রতিটি নতুন নোড অবশ্যই পরবর্তী উপলব্ধ সন্তানের তৈরি করা উচিত। আমি এর দ্বারা যা বোঝাচ্ছি তা হ'ল বাচ্চারা স্তর-নীচে এবং বাম থেকে ডানে ভরা। উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত গাদা:

    0
   / \
  1   2

হবে আছে এই আদেশ সালে নির্মিত হয়েছে: 0, 1, 2. (সংখ্যা, শুধু ইনডেক্স তারা যে নোড অনুষ্ঠিত প্রকৃত তথ্য তার কোনও সূচনা প্রদান।)

এর দুটি গুরুত্বপূর্ণ জড়িত রয়েছে:

1. লেভেল সম্পূর্ণরূপে ভরাট না হয়ে লেভেল কোনও নোড থাকতে পারে না$k+1$$k$

2. শিশুরা বাম থেকে ডানদিকে নির্মিত তাই, স্তরের স্তরের নোডের মধ্যে কোনও "খালি জায়গা" থাকতে পারে না বা নীচের মত পরিস্থিতি থাকতে পারে: $k+1$

       0
      / \
     1   2
    / \   \
   3  4    6
   

(এটি আমার সংজ্ঞা অনুসারে একটি অবৈধ গাদা হবে)) সুতরাং, এই স্তূপটি মনে করার একটি ভাল উপায় হ'ল একটি অ্যারের বাস্তবায়ন , যেখানে অ্যারের অশ্লীলতায় কোনও "লাফান" থাকতে পারে না।

সুতরাং, আমি ভেবেছিলাম অনুষঙ্গটি সম্ভবত এটি করার একটি ভাল উপায় ... সম্ভবত কিছু এন এর জন্য এমনকি একটি বিজোড় মামলা মোকাবেলা করতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, এই ফ্যাশনে নির্মিত গাদা এমনকি একটি এন এর জন্য একটি সন্তানের সাথে একটি অভ্যন্তরীণ নোড থাকতে হবে এবং এমন কোনও বিজোড় এন এর জন্য কোনও নোড অবশ্যই ব্যবহার করে কিছু আনয়ন। ধারনা?

Comments

@ ডেভ ক্লার্ক: বেশ নয়; লিঙ্কযুক্ত প্রশ্নটি আমাদের সম্পাদকের অংশগুলিকে রেফারেন্সের জন্য রেখে দেওয়া একটি ভুল বোঝাবুঝির ফলাফল।

— রাফেল

আপনি কি নোড সংখ্যা শ্রমের উপর অন্তর্ভুক্তি চেষ্টা করেছেন ? সন্নিবেশ সংখ্যা?

— রাফেল

@ ডেভ ক্লার্ক: কেন? এটি নিজেই একটি বৈধ প্রশ্ন, ইমো।

— রাফেল

বিটিডাব্লু, প্রশ্নটির স্তূপগুলির সাথে কোনও সম্পর্ক নেই। দাবিটি কোনও সম্পূর্ণ বাইনারি গাছের

— রণ জি

Answer 1

যদি আমি আপনার প্রশ্নটি সঠিকভাবে পাই তবে প্রাপ্ত হিপগুলি কেবলমাত্র একটি আদেশযুক্ত বাইনারি-ট্রি, যেখানে অর্ডারে আমি বুঝাতে চাইছি যে লে স্তরটি কেবলমাত্র কে - 1 স্তর সম্পূর্ণ পূরণ করার পরে দখল করা যাবে এবং প্রতিটি স্তর বাম দিক থেকে দখল করা হবে ডানদিকে, এড়ানো ছাড়া।$k$$k-1$

তারপরে প্রমাণটি এরকম হয়।

1. গভীরতার এর একটি নিখুঁত গাছের ঠিক 2 কে + 1 - 1 নোড থাকে।$k$$2^{k+1}-1$
2. ধরে নিন যে গাদা গভীরতা পৌঁছেছে । এইভাবে $k$
   1. স্তর পর্যন্ত গাছটি নিখুঁত (এবং সেখানে 2 কে - 1 নোড রয়েছে)$k-1$$2^k-1$
   2. শেষ স্তরে, ঠিক নোড রয়েছে যা সমস্ত পাতা।$n-2^k+1$
3. পঞ্চম স্তরের প্রতিটি পাতার একটি পিতামাতা থাকে। তদুপরি, প্রতিটি পর পর দুটি পাতায় একই পিতা থাকে (সম্ভবত শেষ নোড ছাড়া, যার পিতার কেবল একটি সন্তান রয়েছে)$k$
4. সুতরাং, স্তর কে - 1 , 2 ⌈ n - 2 কে + 1 এ নোডের মধ্যে$2^{k-1}$$k-1$পিতা-মাতা, এবং বাকী2কে-1-⌈n-2 কে +$\left\lceil \frac{n-2^{k}+1}{2} \right\rceil$পাতা হয়।$2^{k-1} - \left\lceil\frac{n-2^{k}+1}{2}\right\rceil$
5. পাতার মোট পরিমাণ হ'ল যা আপনাকে যা প্রয়োজন তা দেয়। $$n-2^k+1 + 2^{k-1} - \left\lceil\frac{n-2^{k}+1}{2}\right\rceil$$

Comments

লক্ষ্য করুন পূর্ণ থেকে ভিন্ন সম্পূর্ণ থেকে ভিন্ন নিখুঁত বাইনারি গাছ। দুর্ভাগ্যজনক, অস্পষ্ট এবং শব্দগুলির অসম্পূর্ণ পছন্দ, তবে আপনি এটি সম্পর্কে কী করতে পারেন। আমার ধারণা অনুমান যে উইকিপিডিয়া সংজ্ঞা আঁকড়ে থাকা বোধগম্য হয়, কারণ বেশিরভাগ সেখানে আগে দেখবেন?

— রাফেল

ওহ, বাহ, আমি এই শর্তগুলিও জানতাম না। এই বিষয়টি চিহ্নিত করার জন্য ধন্যবাদ.

— রান জি।

"লেভেল কে − 1 অবধি গাছটি নিখুঁত (এবং সেখানে 2 ^ কে - 1 নোড রয়েছে)" এবং "সুতরাং, স্তরের কে − 1 এর 2 k (কে − 1) নোডের মধ্যে" বিতর্কিত বক্তব্য বলে মনে হচ্ছে, নাকি আমি কিছু মিস করছি?

— অ্যাড্রিয়ান এইচ।

$2^k-1$$2^{k-1}$$2^{k-1}+2^{k-2}+...$

আহ আপনি সম্পূর্ণরূপে ঠিক আছেন, স্পষ্টতার জন্য অনেক ধন্যবাদ!

— অ্যাড্রিয়ান এইচ।

Answer 2

এখানে একটি সহজ যৌক্তিক প্রমাণ।

$n^{th}$$\lfloor{n/2}\rfloor$$\lfloor n/2 +1\rfloor)^{th}$$\lfloor{n/2}\rfloor$

$\lfloor(n/2)\rfloor$$\lceil(n/2)\rceil$

Comments

বেশ স্বজ্ঞাত এবং স্পষ্ট ব্যাখ্যা। ধন্যবাদ।

— হোয়াইটহ্যাট