আমি অনেক অ্যালগরিদমিক সমস্যা দেখতে পাই যা সর্বদা কিছুটা দীর্ঘায়িত করে:

আপনি একটি আছে পূর্ণসংখ্যা অ্যারের , আপনি বের করতে হবে যেমন যে সম্ভব মধ্যে সময়। $h[1..n]\geq 0$ $i,j$ $(h[j]-h[i])(j-i)$ $O(n)$

স্পষ্টতই সময় সমাধানটি সমস্ত জোড় বিবেচনা করা হয়, তবে, বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে অন্য কিছু না জেনেও আমরা এর বহিঃপ্রকাশকে সর্বাধিকতর করার কোনও উপায় আছে কি? $O(n^2)$ $O(n)$ $h$

আমি যে ধারণাটি ভেবেছিলাম তা হল স্থির করা , তারপরে আমাদের থেকে পর্যন্ত সমান বা এবং যেহেতু স্থির করা হয়েছে, তারপরে আমাদের । $j$ $i^*$ $1$ $j-1$ $\text{argmax}_i\{(h[j]-h[i])(j-i)\}$ $\text{argmax}_i\{h[j]j-h[j]i-h[i]j+h[i]i\}$ $j$ $\text{argmax}_i\{-h[j]i-jh[i]+ih[i]\}$

যাইহোক, আমি ভিতরে নির্ভর করে পদ থেকে মুক্তি পাওয়ার কোন উপায় দেখতে পাচ্ছি না । কোন সাহায্য? $j$

algorithms algorithm-analysis optimization

— AspiringMat
সূত্র

একটি সমাধান কি সহায়ক হবে?

O (n \log n)

$O(n\log n)$

— xskxzr

@xskxzr নিশ্চিত করুন আপনার যদি কিছু আছে

— AspiringMat

এটি একটি সমাধান। উইলার্ড ঝান নির্দেশিত একটি সমাধান এই উত্তরের শেষে যুক্ত করা হয়েছে। $O(n\log n)$ $O(n)$

$O(n\log n)$ সমাধান

বিশ্বাসের জন্য, । $f(i,j)=(h[j]-h[i])(j-i)$

সংজ্ঞা দিন এবং এবং মধ্যে সবচেয়ে ছোট সূচী । একইভাবে, নির্ধারণ করুন এবং এবং মতো বৃহত্তম সূচক । সিক্যুয়েনস এবং সময়ে গণনা করা সহজ । $l_1=1$ $l_i$ $l_i>l_{i-1}$ $h[l_i]<h[l_{i-1}]$ $r_1=n$ $r_i$ $r_i<r_{i-1}$ $h[r_i]>h[r_{i-1}]$ $l_1,l_2,...$ $r_1,r_2,\ldots$ $O(n)$

এই ক্ষেত্রে যে কোনও যেমন (অর্থাত্ )) তুচ্ছ। আমরা এখন নগণ্য মামলায় মনোনিবেশ করি focus এই ধরনের ক্ষেত্রে, সমাধানটি খুঁজতে, আমাদের কেবল এই জাতীয় জোড়া বিবেচনা করা উচিত। $i<j$ $h[i]< h[j]$ $f(i,j)>0$

প্রত্যেকের জন্য যেমন যে যাক হবে বৃহত্তম সূচক যেমন যে আর ক্ষুদ্রতম সূচক হতে যেমন যে , তারপর (অন্যথায় of সংজ্ঞা অনুসারে , এইভাবে সংজ্ঞার সাথে ) এবং একইভাবে । অতএব এর অর্থ আমাদের কেবল জোড়া বিবেচনা করতে হবে যেখানে । $i<j$ $h[i]<h[j]$ $u$ $l_u\le i$ $v$ $r_v\ge j$ $h[l_u]\le h[i]$ $l_{u+1}\le i$ $l_{u+1}$ $u$ $h[r_v]\ge h[j]$

(h [r_{v}] - h [l_{u}]) (r_{v} - l_{u}) \geq (h [j] - h [i]) (r_{v} - l_{u}) \geq (h [j] - h [i]) (j - i) .

$(h[r_v]-h[l_u])(r_v-l_u)\ge(h[j]-h[i])(r_v-l_u)\ge(h[j]-h[i])(j-i).$

(l_{u}, r_{v})

$(l_u,r_v)$

l_{u} < r_{v}

$l_u<r_v$

বোঝাতে , আমরা নিম্নলিখিত থিম আছে। $v(u)=\arg\max_{v:\ l_u<r_v}f(l_u,r_v)$

এক জোড়া যেখানে , এবং যেখানে অস্তিত্ব আছে যেমন যে এবং বা এই ধরনের যে এবং , একটি চূড়ান্ত সর্বোত্তম সমাধান হতে পারে না। $(l_u,r_v)$ $l_u<r_v$ $u_0$ $u<u_0$ $v<v(u_0)$ $u>u_0$ $v>v(u_0)$

প্রুফ। এর সংজ্ঞা অনুসারে, আমাদের কাছে বা $v(u_0)$
$(h [r_{v (u_{0})}] - h [l_{u_{0}}]) (r_{v (u_{0})} - l_{u_{0}}) \geq (h [r_{v}] - h [l_{u_{0}}]) (r_{v} - l_{u_{0}}),$ $(h[r_{v(u_0)}]-h[l_{u_0}])(r_{v(u_0)}-l_{u_0}) \ge (h[r_v]-h[l_{u_0}])(r_v-l_{u_0}),$ $(h [r_{v}] - h [r_{v (u_{0})}]) l_{u_{0}} + h [l_{u_{0}}] (r_{v} - r_{v (u_{0})}) + h [r_{v (u_{0})}] r_{v (u_{0})} - h [r_{v}] r_{v (u_{0})} \geq 0.$ $(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_{u_0}+h[l_{u_0}](r_v-r_{v(u_0)})+h[r_{v(u_0)}]r_{v(u_0)}-h[r_v]r_{v(u_0)} \ge 0.$
আপনি যে ক্ষেত্রে এবং , নোট এবং , এবং এছাড়াও এবং , আমাদের $u<u_0$ $v<v(u_0)$ $h[r_v]-h[r_{v(u_0)}]<0$ $r_v-r_{v(u_0)}>0$ $l_u<l_{u_0}$ $h[l_u]>h[l_{u_0}]$
$\begin{aligned} (h [r_{v}] - h [r_{v (u_{0})}]) l_{u} + h [l_{u}] (r_{v} - r_{v (u_{0})}) \\ > & (h [r_{v}] - h [r_{v (u_{0})}]) l_{u_{0}} + h [l_{u_{0}}] (r_{v} - r_{v (u_{0})}) . \end{aligned}$ $\begin{align*} &(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_u+h[l_u](r_v-r_{v(u_0)})\\ >\ &(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_{u_0}+h[l_{u_0}](r_v-r_{v(u_0)}). \end{align*}$
এর অর্থ বা
$(h [r_{v}] - h [r_{v (u_{0})}]) l_{u} + h [l_{u}] (r_{v} - r_{v (u_{0})}) + h [r_{v (u_{0})}] r_{v (u_{0})} - h [r_{v}] r_{v (u_{0})} > 0,$ $(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_u+h[l_u](r_v-r_{v(u_0)})+h[r_{v(u_0)}]r_{v(u_0)}-h[r_v]r_{v(u_0)} > 0,$ $(h [r_{v (u_{0})}] - h [l_{u}]) (r_{v (u_{0})} - l_{u}) > (h [r_{v}] - h [l_{u}]) (r_{v} - l_{u}) .$ $(h[r_{v(u_0)}]-h[l_u])(r_{v(u_0)}-l_u) > (h[r_v]-h[l_u])(r_v-l_u).$
সুতরাং হ'ল চেয়ে সমাধান । অন্য মামলার প্রমাণও একই রকম। $(l_u,r_{v(u_0)})$ $(l_u,r_v)$ $\blacksquare$

আমরা প্রথমে গণনা করতে পারি যেখানে সিক্যুয়েন্সের দৈর্ঘ্য , তারপরে এর জন্য মধ্যে সর্বোত্তম সমাধান পুনরাবৃত্তভাবে গণনা করুন এবং , এবং এর জন্য মধ্যে সর্বোত্তম সমাধান এবং । থিম কারণে গ্লোবাল অপটিমাম সমাধান থেকে আসতে হবে । $v(\ell/2)$ $\ell$ $l_1,l_2,\ldots$ $o_1$ $(l_u,r_v)$ $u=1,\ldots,\ell/2-1$ $v=v(\ell/2),v(\ell/2)+1,\ldots$ $o_2$ $(l_u,r_v)$ $u=\ell/2+1,\ell/2+2,\ldots$ $v=1,\dots,v(\ell/2)$ $\{(l_{\ell/2},r_{v(\ell/2)}),o_1,o_2\}$

$O(n)$ সমাধান

চলুন যদি । লেমার প্রমাণটিও একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য দেখায়: এবং জন্য , যদি , তবে । এর অর্থ ম্যাট্রিক্স সম্পূর্ণ একঘেয়ে ম্যাট্রিক্স যেখানে অনুক্রমের দৈর্ঘ্য (তাই অর্থ শেষ থেকে -th উপাদান), তারপর SMAWK অ্যালগরিদম এর সর্বনিম্ন মান এটি প্রয়োগ করতে পারেন , এর এইভাবে সর্বোচ্চ মান । $f(l_u,r_v)=-\infty$ $l_u\ge r_v$ $u>u_0$ $v>v_0$ $f(l_{u_0},r_{v_0})\ge f(l_{u_0},r_v)$ $f(l_u,r_{v_0})>f(l_u,r_v)$ $M[x,y]:=-f(l_x,r_{c-y+1})$ $c$ $r_1,r_2,\ldots$ $r_{c-y+1}$ $y$ $M$ $f$

— xskxzr
সূত্র

আপনি যা প্রমাণ করেছেন তা হল একটি ম্যাট্রিক্স, সুতরাং বিভাজন এবং বিজয় একটি অ্যালগরিদম দেয়। কিন্তু আপনি আসলে যে প্রমাণ করতে পারে হয় Monge , যাতে SMAWK অ্যালগরিদম প্রয়োগ করা যায়।

f (l_{u}, r_{v})

$f(l_u,r_v)$

O (n \log n)

$O(n\log n)$

f (l_{u}, r_{v})

$f(l_u,r_v)$

O (n)

$O(n)$

— উইলার্ড ঝান

কিভাবে বাড়ানোর লক্ষ্যে মধ্যে

O(nlogn)O(nlog⁡n)O(n\log n) সমাধান

O(n)O(n)O(n) সমাধান

$O(n\log n)$ সমাধান

$O(n)$ সমাধান