সংক্ষেপে, সেট তত্ত্বটি সদস্যপদ সম্পর্কে এবং বিভাগের তত্ত্বটি কাঠামো-সংরক্ষণের রূপান্তরগুলি সম্পর্কে।
সেট তত্ত্বটি কেবল সদস্যপদ সম্পর্কে (যেমন একটি উপাদান হওয়া) এবং এর পরিপ্রেক্ষিতে কী প্রকাশ করা যেতে পারে (যেমন একটি উপসেট হওয়া)। এটি উপাদান বা সেটের অন্য কোনও বৈশিষ্ট্য নিয়ে নিজেকে উদ্বেগ দেয় না।
বিভাগের তত্ত্বটি একটি প্রদত্ত প্রকার 1 এর গাণিতিক কাঠামোগুলি তাদের কাঠামোর কিছু দিক সংরক্ষণ করে এমন ক্রিয়াকলাপের মাধ্যমে কীভাবে একে অপরকে 2 তে রূপান্তরিত করা যায় সে সম্পর্কে কথা বলার একটি উপায় ; এটি গাণিতিক কাঠামোর 1 গ্রুপ (গ্রুপ, অটোমেটা, ভেক্টর স্পেসস, সেটস, টপোলজিকাল স্পেসস, এবং এমনকি বিভাগগুলি!) এবং সেই ধরণের 1 এর মধ্যে ম্যাপিংয়ের দুর্দান্ত পরিসরে কথা বলার জন্য অভিন্ন ভাষা সরবরাহ করে । যদিও এটি কাঠামোর মধ্যে ম্যাপিংয়ের বৈশিষ্ট্যগুলিকে আনুষ্ঠানিক করে তোলে (সত্যই: কাঠামোটি চাপানো হয়েছে এমন সেটগুলির মধ্যে) তবে এটি কেবল মানচিত্র এবং কাঠামোর বিমূর্ত বৈশিষ্ট্য নিয়ে কাজ করে, এগুলিকে আকার হিসাবে চিহ্নিত করে (বা তীর ) এবং বস্তুগুলি; এই ধরনের কাঠামোগত সেটগুলির উপাদানগুলি বিভাগ তত্ত্বের উদ্বেগ নয়, এবং সেগুলিগুলির কাঠামোও নয়। আপনি " এটি একটি তত্ত্ব কি " জিজ্ঞাসা করেছেন ; এটি একটি স্বেচ্ছাসেবী টাইপ 1 এর গাণিতিক বস্তুর কাঠামো সংরক্ষণ ম্যাপিংয়ের একটি তত্ত্ব ।
অ্যাবস্ট্রাক্ট বিভাগ 3 এর তত্ত্বটি , যেমনটি ঠিক বলেছেন, প্রশ্নে থাকা বস্তুর কাঠামো নির্দিষ্ট করে দেয় সেটগুলি, অপারেশনগুলি, সম্পর্কগুলি এবং অক্ষগুলি পুরোপুরি উপেক্ষা করে এবং ঠিক এমন একটি ভাষা সরবরাহ করে যাতে ম্যাপিংগুলি কীভাবে এই জাতীয় কিছু কাঠামো সংরক্ষণ করে তা নিয়ে কথা বলতে পারে আচরণ: কোন কাঠামো সংরক্ষণ করা হয় তা না জেনে আমরা জানি যে এই জাতীয় দুটি মানচিত্রের সংমিশ্রণও কাঠামো সংরক্ষণ করে। এই কারণেই, বিভাগের তত্ত্বের অলঙ্কারগুলির জন্য আবশ্যক যে মরফিজমগুলির উপর একটি সহযোগী রচনা আইন থাকা উচিত এবং একইভাবে, প্রতিটি বস্তু থেকে নিজের মধ্যে একটি পরিচয় রূপের উপস্থিতি থাকতে পারে। কিন্তু এটা গ্রহণ করে না যে morphisms আসলে হয় সেট মধ্যে ফাংশন, শুধু যে তারা আচরণ তাদের মত।
কাজ করার জন্য: কংক্রিট বিভাগগুলি একটি 'বেস বিভাগ' এর অবজেক্টগুলিতে কাঠামো যুক্ত করার ধারণা মডেল করে; এটি যখন হয় তখন আমাদের পরিস্থিতি থাকতে পারে যেখানে আমরা একটি সেটে গ্রুপ অপারেশনের মতো কাঠামো যুক্ত করি। সেক্ষেত্রে নির্দিষ্ট বেস বিভাগের ক্ষেত্রে কাঠামো কীভাবে যুক্ত করা হয় সে সম্পর্কে আপনার আরও কিছু বলা যেতে পারে।Set
আপনার সূত্রগুলির অন্তর্নিহিত হিসাবে , এই বলে যে " একটি গ্রুপ", যে " গ্রুপের উপাদান" (প্রকৃতপক্ষে একটি সঠিক শ্রেণি ) বা in এর " (একটি বস্তু) "(বা একটি" -অবজেক্ট ") যুক্তিযুক্তভাবে একই জিনিসটি বোঝায় তবে বিভাগটি সম্পর্কে কথা বলতে বোঝায় আপনি গ্রুপ আগ্রহী ( in ) এবং সম্ভবত তাদের মধ্যে যা সাধারণ রয়েছে অন্যান্য আকারের সাথে। অন্যদিকেজি জি জি দ পি জি দ পি জি দ পি জি জি জি ∈ এস এসGGGGrpGrpGrpGএকটি গ্রুপ বলতে পারে যে আপনি নিজের গোষ্ঠীটির কাঠামোর প্রতি আগ্রহী (এর গুণন অপারেশন) বা সম্ভবত গ্রুপটি অন্য কোনও গাণিতিক কোনও জিনিসে কীভাবে কাজ করে তাতে আপনি আগ্রহী suggest আপনার সম্পর্কে কথা বলতে অসম্ভাব্য হবে দলের সেট একাত্মতার, যদিও আপনি সহজেই লিখতে পারে কিছু বিশেষ সেট গ্রুপ আপনি আগ্রহী হন।GG∈SS
আরো দেখুন
1 এখানে এবং প্যাসিম আমি টাইপ তত্ত্বের অর্থে টাইপকে উল্লেখ করি না, বরং গাণিতিক অবজেক্ট / কাঠামোর জন্য প্রয়োজনীয় সংখ্যার বৈশিষ্ট্যগুলির একটি সেট, অর্থাৎ তারা সন্তুষ্ট অক্ষের একটি সেট। সাধারণত এগুলি কাঠামোটি বহন করার জন্য বিবেচিত সেটের উপাদানগুলির উপর কিছু ক্রিয়াকলাপ বা সম্পর্কের আচরণ বর্ণনা করে, যদিও সেটের ক্ষেত্রে তারা নিজেদের ( ) সেটগুলির বাইরে কোনও কাঠামো নেই। যাইহোক, উপরে যেমন বলা হয়েছে, বিভাগ তত্ত্ব এই কাঠামোর বিশদ উপেক্ষা করে।Set
2 আমি সম্ভবত বলতে হবে সব মধ্যে বা আংশিক একে অপরের : এক থেকে homomorphism পারবেন (পূর্ণসংখ্যার) মধ্যে (rationals) কর্তৃক প্রদত্ত ।কিউ এন ↦ nZ Qn↦n2
3 যোগ্যতা ছাড়াই, ' বিভাগ ' এর অর্থ সাধারণত 'বিমূর্ত বিভাগ' হিসাবে পরিচিত, যতদূর আমি দেখতে পাচ্ছি 1945 সালে এবং 1960 এর দশকে বিকাশ হয়েছে যখন কংক্রিট বিভাগগুলি 1970 এর দশকে প্রদর্শিত হয়েছিল বলে মনে হচ্ছে।