বাছাইয়ের উপর আকর্ষণীয় সমস্যা

Question

সংখ্যাযুক্ত বল (এলোমেলো) দিয়ে একটি নল দেওয়া। নলটির একটি বল সরাতে ছিদ্র থাকে। একটি অপারেশনের জন্য নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি বিবেচনা করুন:

1. আপনি গর্ত থেকে এক বা একাধিক বল বাছতে পারেন এবং আপনি যে বলটি বাছাই করেছেন সেটির কথা মনে রাখতে পারেন।
2. আপনাকে পাইপটি বাম দিকে ঘুরতে হবে যাতে পাইপের বাকী বলগুলি বাম দিকে সরে যায় এবং বলগুলি সরিয়ে খালি স্থানটি দখল করে।
3. পাইপ থেকে আপনি যে ক্রমটি সংখ্যাযুক্ত বলগুলি বেছে নিয়েছেন সেটিকে পরিবর্তন করার কথা নয় are এখন আপনি এগুলি আবার বলের চলাফেরায় তৈরি শূন্য স্থানটি ব্যবহার করে পাইপে রেখে দেন।

1 থেকে 3 পদক্ষেপকে একটি অপারেশন হিসাবে বিবেচনা করা হয়।

আরোহী ক্রমানুসারে সংখ্যাযুক্ত বলগুলি বাছাই করতে প্রয়োজনীয় সর্বনিম্ন ক্রিয়াকলাপগুলি সন্ধান করুন।

উদাহরণস্বরূপ: যদি নল থাকে:$[1\ 4\ 2\ 3\ 5\ 6]$

তারপরে আমরা এবং এবং বের করতে পারি , এবং যদি আমরা বামদিকে পাইপটি কাত করে রাখি তবে আমরা পাই , এবং পাইপটির প্রান্তে পাইপের প্রান্তে আমরা সন্নিবেশ করান ।5 6 [ 1 2 3 ] ( 4 5 6 ) [ 1 2 3 4 5 6 $4$$5$$6$$[1\ 2\ 3]$$(4\ 5\ 6)$$[1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6]$

সুতরাং প্রয়োজনীয় পদক্ষেপের ন্যূনতম সংখ্যাটি ১ টি 1. পাইপটি বাছাই করতে আমার ন্যূনতম অপারেশনগুলি সন্ধান করতে হবে।

এই সমস্যাটি কীভাবে সমাধান করবেন সে সম্পর্কে কোনও ধারণা বা ইঙ্গিত?

Comments

যদি সেগুলি বিপরীত ক্রমে আসে তবে আপনাকে 2, 3, ... ক্রমানুসারে নিতে হবে এবং শেষে ক্রিয়াকলাপের জন্য শেষে যুক্ত করতে হবে। এটি স্পষ্টতই সবচেয়ে খারাপ পরিস্থিতি। $n$

— ভনব্র্যান্ড

8,7,6,5,4,3,2,1 -> 75318642 -> 51627384 -> 12345678 সর্বদা বিজোড় অবস্থানগুলি বাইরে রেখে।

— অ্যাড্রিয়ানএন

আমার উত্তরটির সংক্ষিপ্তসার: বাছাই করতে প্রয়োজনীয় ন্যূনতম সংখ্যার সংখ্যা হ'ল , যেখানে সংখ্যা। ⌈ লগ ইন করুন 2 ( ঘ ( π - 1 ) + + 1 ) ⌉ ঘ ( ⋅ $\pi$$\lceil \log_2 (d(\pi^{-1})+1) \rceil$$d(\cdot)$

— যুবাল ফিল্মাস

আমি বিপরীতগুলি অপসারণের ক্ষেত্রে এটি ভাবতে পছন্দ করি। প্রতিটি ক্রিয়াকলাপের সাহায্যে আপনি যে কোনও সেট এবং এসএক্সের মধ্যে বিবর্তনগুলি সরিয়ে ফেলতে পারেন (যেখানে পুরো সেট)। সুতরাং, আপনাকে কেবল আপনার সেটগুলি সাবধানে বেছে নিতে হবে। এস - এক্স এস $X$$S-X$$S$$X$

— জো

Answer 1

নিম্নলিখিত প্রক্রিয়াটি ব্যবহার করে একটি পারমিটেশন , ডোনেটেড এর রান-পার্টিশন সংখ্যা নির্ধারণ করুন । যাক যেমন পূর্ণসংখ্যা সর্বোচ্চ যে সংখ্যার হতে এ আদেশ বৃদ্ধি প্রদর্শিত । এগুলি থেকে সরান এবং প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করুন। পুরো ক্রমশক্তিটি গ্রহণ করতে গোলাকার সংখ্যাটি ।r ( π ) কে মিনিট ( π ) , … , কে π π আর ( π $\pi$$r(\pi)$$k$$\min(\pi),\ldots,k$$\pi$$\pi$$r(\pi)$

উদাহরণস্বরূপ, আসুন গণনা । পাওয়ার জন্য আমরা প্রথমে । তারপরে আমরা পেতে আলাদা করে । তারপরে আমরা পেতে আলাদা করে । অবশেষে, আমরা খালি অনুগতি পেতে আলাদা করে রেখেছি। এটি চার রাউন্ডে লাগে তাই ।1 6273584 234 6758 5 678 678 আর ( 62735814 ) = $r(62735814)$$1$$6273584$$234$$6758$$5$$678$$678$$r(62735814) = 4$

বাছাই করার জন্য এই উপস্থাপনাটি কীভাবে ? প্রতিটি দ্বিতীয় রান, অর্থাৎ নিন এবং এই সংখ্যাগুলি ডান দিকে (সম্পাদনা করুন: ক্রমানুসারে তারা প্রদর্শিত ক্রম হিসাবে, )। এখন নামে মাত্র দুটি রান রয়েছে এবং আমরা ডান দিকে সরিয়ে তালিকাটি বাছাই করতে পারি ।234 , 678 51627384 627384 1234 , 5678 $62735814$$234,678$$51627384$$627384$$1234,5678$$5678$

এখন আমি নীচের অনুমানটি করা যাক: একটি ক্রমবিন্যাসের জন্য i , আসুন সমস্ত পদক্ষেপের সেট হোন যা এক পদক্ষেপের মধ্যে move থেকে পাওয়া যায় । তারপরে ।Π π মিনিট α ∈ Π আর ( α ) = ⌈ আর ( π ) / ২ $\pi$$\Pi$$\pi$$\min_{\alpha \in \Pi} r(\alpha) = \lceil r(\pi)/2 \rceil$

এই অনুমান দেওয়া, এটা দেখানোর জন্য যে একটি বিন্যাস বাছাই করা প্রয়োজন প্যাচসমূহ ন্যূনতম সংখ্যা সহজ হয় , এবং আমি এই সূত্র সব বিনিময়ের জন্য যাচাই করেছেন জন্য ।⌈ লগ 2 আর ( π ) ⌉ এস এন এন ≤ $\pi$$\lceil \log_2 r(\pi) \rceil$$S_n$$n \leq 8$

সম্পাদনা করুন: এখানে রান-পার্টিশন সংখ্যার আলাদা ব্যাখ্যা রয়েছে যা এটির গণনা করার জন্য একটি রৈখিক সময়ের অ্যালগরিদম দেয় এবং আমাকে আমার অনুমানের একটি প্রমাণ স্কেচ করার অনুমতি দেয়, এইভাবে সূত্রটি যাচাই করে নিন ।$\lceil \log_2 r(\pi) \rceil$

পুনরায় বিবেচনা করুন । কারণ যে প্রথমবার চালনার প্রান্ত যে সামনে প্রদর্শিত হয় । একইভাবে, দ্বিতীয় রান প্রান্ত থেকে প্রদর্শিত হয় আগে , ইত্যাদি। অতএব একটি বিন্যাস রান পার্টিশন সংখ্যা সংখ্যা গুলি যেমন যে সামনে প্রদর্শিত হয় ।1 2 1 4 5 4 আমি আমি + + 1 $62735814$$1$$2$$1$$4$$5$$4$$i$$i+1$$i$

আমরা যদি আদেশের বিপরীত দিকে তাকাই তবে আমরা এটি আরও সংক্ষেপে জানাতে পারি। আবার বিবেচনা করুন । নিন । এই অনুক্রমের তিনটি অবতরণ রয়েছে: (একটি উত্স পূর্ববর্তীটির চেয়ে ছোট অবস্থান)। উতর প্রত্যয়ের প্রত্যেকটি একটি নতুন রান শুরুর সাথে মিলে যায়। তাই এক সমান প্লাস descents সংখ্যা ।π - 1 = 72485136 7 2 48 5 1 36 R ( π ) π - $\pi = 62735814$$\pi^{-1} = 72485136$$7\mathbf{2}48\mathbf{5}\mathbf{1}36$$r(\pi)$$\pi^{-1}$

অপারেশনটি of এর ক্ষেত্রে দেখতে কেমন ? দিন সংখ্যার সেট যে আমরা ডান দিকে সরাতে হবে, এবং সংখ্যার সেট হতে বামে থাকা যে। আমরা তে সংখ্যাগুলি replace on তাদের আপেক্ষিক ক্রমের প্রতিনিধিত্ব করে এবং নম্বরগুলিকে utation সাথে প্রতিস্থাপন করি replace । উদাহরণস্বরূপ, পদক্ষেপ বিবেচনা । বিপরীত একাধিক বিন্যাসন নিরিখে এটা । সুতরাং ম্যাপ করা হয়েছে বি এ এ { 1 , … , | ক | } বি { | ক | + 1 , … , | ক | + | খ | } 6273 5 8 1 4 ↦ 51 627384 7 248 5 136 ↦ 2 468 1 357 75 21 248136 $\pi^{-1}$$B$$A$$A$$\{1,\ldots,|A|\}$$B$$\{|A|+1,\ldots,|A|+|B|\}$$\mathbf{6273}5\mathbf{8}1\mathbf{4} \mapsto 51\mathbf{627384}$$7\mathbf{248}5\mathbf{136} \mapsto 2\mathbf{468}1\mathbf{357}$$75$$21$এবং ম্যাপ করা হয়েছে ।$248136$$468357$

in এ একটি বংশদ্ভুত কেবলমাত্র অপারেশনের পরে হারিয়ে যাবে এবং । বিপরীতভাবে, পদ , মধ্যে পার্টিশন এবং সাথে সঙ্গতিপূর্ণ -runs এবং -runs; যতবার রুন শেষ হয়ে যায় এবং রুন শুরু হয়, ততক্ষণে অবতরণ ঘটে। "হত্যা" একটি বংশদ্ভুত জন্য, আমরা একটি থেকে সুইচ আছে একটি থেকে -run -run। যদি আমরা দুটি অবরোহকে হত্যা করি তবে আমরা মাঝখানে রুন থেকে একটি রুনে চলে যাব , যার ফলে একটি বংশোদ্ভূত হবে।π - 1 এক্স ∈ একটি Y ∈ বি π - 1 একটি বি একটি বি বি এ একটি বি বি $\ldots xy \ldots$$\pi^{-1}$$x \in A$$y \in B$$\pi^{-1}$$A$$B$$A$$B$$B$$A$$A$$B$$B$$A$

এই যুক্তিটি আনুষ্ঠানিকভাবে দেখাতে পারে যে যদি থেকে কোনও অপারেশনের মাধ্যমে উত্থিত হয় তবে , যেখানে হ'ল সংখ্যা। এটি সমান , এইভাবে আমার অনুমানের এক দিক প্রমাণ করেঅন্য দিকটি সহজ, এবং ইতিমধ্যে উপরে বর্ণিত ছিল: আমরা কেবলমাত্র প্রতিটি দ্বিতীয় রান করি এবং এই রানগুলি ডান দিকে ঠেলা করি যাতে একটি অনুচ্ছেদ utation সন্তোষজনক ।π ঘ ( α - 1 ) ≥ ⌊ ঘ ( π - 1 ) / 2 ⌋ ঘ ( ⋅ ) দ ( α ) ≥ ⌈ দ ( π ) / 2 ⌉ α দ ( α ) = ⌈ দ ( π / 2 ) $\alpha$$\pi$$d(\alpha^{-1}) \geq \lfloor d(\pi^{-1})/2 \rfloor$$d(\cdot)$$r(\alpha) \geq \lceil r(\pi)/2 \rceil$$\alpha$$r(\alpha) = \lceil r(\pi/2) \rceil$

Comments

আপনি একবারে কয়েক রাউন্ড বল নিচ্ছেন, আমি বুঝতে পারি যে এটি অনুমোদিত নয়।

— ভনব্র্যান্ড

আমি তাদের ক্রমানুসারে প্রদর্শিত ক্রমে নিয়ে যাচ্ছি । এটা আইনী।

— যুবাল ফিল্মস

আমি কিছুটা বিভ্রান্ত আপনি কি বাছাই করতে প্রয়োজনীয় অপারেশনগুলির সংখ্যার বিবরণ দিতে পারেন [6 5 4 3 2 1] এবং আপনি উল্লেখ করেছেন "প্রতি দ্বিতীয় রান নিন, অর্থাৎ ২৩৪, Take8৮, এবং এই সংখ্যাগুলি 51627384 পাওয়ার জন্য ডানদিকে নিয়ে যান" আপনি কি দয়া করে এটি ব্যাখ্যা করতে পারেন? বিশদ এবং কীভাবে কার্যকরভাবে r (π) গণনা করতে?

— ব্যবহারকারী 6709

1) , সুতরাং আপনার 3 টি অপারেশন প্রয়োজন। উদাহরণস্বরূপ, । $r(654321) = 6$$654321 \to 531|642 \to 51|6234 \to 1234|56$

— যুবাল ফিল্মস

২) আপনি এই রানগুলির সাথে সংযুক্ত সমস্ত নম্বর নিয়ে যান (ক্রমানুসারে তারা ক্রমানুসারে উপস্থিত হয়) এবং ডানদিকে নিয়ে যান। এই ক্ষেত্রে, আপনি এবং বাম দিকে রেখে leaving $627384$$51$

— যুবাল ফিল্মস