বড় অসীম চেইন

প্রথমে, কেবল বিষয়গুলি স্পষ্ট করার জন্য আমাকে বড় এর সংজ্ঞা লিখতে দিন । $O$

$f(n)\in O(g(n))\iff \exists c, n_0\gt 0$ যেমন $0\le f(n)\le cg(n), \forall n\ge n_0$

ধরা যাক আমাদের একটি সীমাবদ্ধ ফাংশন রয়েছে: সন্তুষ্টিজনক: $f_1,f_2,\dots f_n$

$O(f_1)\subseteq O(f_2)\dots \subseteq O(f_n)$

এর transitivity দ্বারা , আমরা যে: $O$ $O(f_1)\subseteq O(f_n)$

আমাদের যদি অসীম চেইন থাকে তবে এটি কি ধরে রাখবে ? অন্য কথায়, ? $O's$ $O(f_1) \subseteq O(f_\infty)$

কি হচ্ছে তা ভাবতে আমার সমস্যা হচ্ছে।

asymptotics landau-notation

— saadtaame
সূত্র

উত্তর:

"প্রথমে আমাদের যদি অসীম শৃঙ্খলা থাকে তবে এটি কি ধরে রাখবে?" বলতে আমাদের অর্থ কী তা আমাদের প্রথমে পরিষ্কার করা দরকার। আমরা ফাংশন অসীম অনুক্রম যেমন ব্যাখ্যা এই ধরনের সমস্ত যে আমরা আছে । এই জাতীয় ক্রমের একটি শেষ ফাংশন নাও থাকতে পারে। $\{f_i:\mathbb{N}\to\mathbb{N} \mid 1\leq i\}$ $i$ $f_i(n) = O(f_{i+1}(n))$

আমরা ক্রমের ক্রিয়াগুলির সীমাটি দেখতে পারি, যেমন । তবে এটি সম্ভব যে সীমাটি বিদ্যমান নেই। এমনকি এটি বিদ্যমান থাকলেও আমাদের কাছে থাকতে পারে না । উদাহরণস্বরূপ কার্যাবলী ক্রম বিবেচনা । প্রতিটি , এবং অতএব । তবে এভাবে । $f_\infty(n) = \lim_{i\to \infty} f_i(n)$ $f_1(n) = O(f_\infty(n))$ $f_i(n) = \frac{n}{i}$ $i$ $f_i(n)=\Theta(n)$ $f_i(n) = O(f_{i+1}(n))$ $f_\infty(n)=\lim_{i\to\infty}f_i(n)=0=\Theta(1)$ $f_1(n) \neq O(f_\infty(n))$

অন্যদিকে আমরা ক্লাসগুলির ক্রমের সীমাটি দেখতে পারি যা ফাংশনের সীমাটির শ্রেণির সমান হওয়ার দরকার নেই । আমাদের কাছে , রয়েছে, সুতরাং ও এবং সমস্ত । উচ্চতর সীমা (এই ক্ষেত্রে ফাংশন) সমস্ত উপাদান যা অসীম প্রায়ই ঘটতে এবং নিকৃষ্ট সীমা সব উপাদান যা সব ঘটতে রয়েছে রয়েছে কিছু $f_i \in \mathcal O(f_{i+1})$ $\mathcal O(f_i) \subseteq \mathcal O(f_{i+1})$ $f_j \in \lim_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \limsup_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \liminf_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}\bigcap_{k>n}\mathcal O(f_k)$ $j$ $\mathcal O(f_i), i \ge n_0$ $n_0$ (যা উপাদানটির উপর নির্ভর করে)। যেহেতু ক্লাসগুলির ক্রমটি একঘেয়েভাবে উভয় বিদ্যমান এবং তারা সমান they এটি ন্যায়সঙ্গত করে । $\lim$

— frafl
সূত্র

দুটি সিরিজ রয়েছে: একটি ফাংশন (যা রূপান্তর করতে পারে বা না পারে) এবং একটি সেট (যেখানে প্রতিটি সেট পূর্ববর্তীগুলির একটি সুপার সেট; এই কারণেই এই সিরিজটি লিম ইনফ এবং সেটের জন্য লিম সাপের সংজ্ঞাটি রূপান্তর করে) । প্রথম অংশটি অংশ ব্যতীত প্রশ্নের উত্তর দেয় , দ্বিতীয় অংশ অংশটিকে নেতিবাচকভাবে উত্তর দেয় (যদি চুন থাকে)।

f_{\infty}

$f_\infty$

f_{\infty}

$f_\infty$

f_{\infty}

$f_\infty$

— ফ্রেফএল

পদগুলির সংখ্যা অগণনীয় হলে কী হবে? :)

— স্যাম এম

কিছু সুশৃঙ্খলা ব্যবহার করে বা আপনি আরও ধারাবাহিক কিছু দ্বারা সিরিজটি প্রতিস্থাপন করতে চান? :)

— ফ্রেফল

@ কাভেঃ অনেক ধন্যবাদ, এখন এটি অনেক অর্থবোধ করে। আপনি যদি সীমা ব্যবহার এবং সেই লিম ইনফ জিনিসটির অর্থ কী তা প্রমাণ করতে পারেন তবে তা আমার বুঝতে সম্পূর্ণ করবে।

— সাদাতাম

@ এসাদতামে: সম্ভবত কারণ এটি উপরের প্রশ্নটি এখনও জানতে চায় না যা আপনি জানতে চান? যদি আমি সঠিকভাবে মনে রাখি, আপনি কোনও মন্তব্য প্রস্তাবিত হওয়ার কারণে যুক্ত করেছেন । আপনি যদি কিছু প্রসঙ্গ সরবরাহ করেন তবে হয়ত কেউ আবার প্রশ্নটি পুনরায় উত্তর দিতে পারে।

f_{\infty}

$f_\infty$

— ফ্রেফএল

হ্যাঁ, অসীম চেইন থাকা সম্ভব possible

আমি নিশ্চিত যে আপনি ইতিমধ্যে কয়েকটি উদাহরণের সাথে পরিচিত: আপনার এখানে একটি অসীম শৃঙ্খলা রয়েছে: ক্রমবর্ধমান ডিগ্রির বহুপদী। আপনি আরও যেতে পারেন? নিশ্চিত! কোনও বহুত্বের চেয়ে তাত্পর্যপূর্ণভাবে দ্রুত বৃদ্ধি পায় (সংবেদনশীলভাবে বলা হয়)। এবং অবশ্যই আপনি যেতে পারেন:

O (x) \subseteq O (x^{2}) \subseteq \dots \subseteq O (x^{42}) \subseteq \dots

$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O(x^{42}) \subseteq \ldots$

O (x) \subseteq O (x^{2}) \subseteq \dots \subseteq O (x^{42}) \subseteq \dots O (e^{x})

$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O(x^{42}) \subseteq \ldots O(e^x)$

O (e^{x}) \subseteq O (x e^{x}) \subseteq O (e^{2 x}) \subseteq O (e^{e^{x}}) \subseteq \dots

$O(\mathrm{e}^x) \subseteq O(x\,\mathrm{e}^x) \subseteq O(\mathrm{e}^{2x}) \subseteq O(\mathrm{e}^{\mathrm{e}^x}) \subseteq \ldots$

আপনি অন্য দিকেও অসীম চেইন তৈরি করতে পারেন। যদি তবে (ইতিবাচক ফাংশনগুলিতে লেগে থাকা, যেহেতু এখানে আমরা জটিলতার ক্রিয়াগুলির অ্যাসিপটিকগুলি নিয়ে আলোচনা করি)। সুতরাং আমরা উদাহরণস্বরূপ আছে: $f = O(g)$ $\dfrac{1}{g} = O\left(\dfrac{1}{f}\right)$

O (x) \subseteq O (x^{2}) \subseteq \dots \subseteq O (\frac{e^{x}}{x^{2}}) \subseteq O (\frac{e^{x}}{x}) \subseteq O (e^{x})

$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O\left(\dfrac{e^x}{x^2}\right) \subseteq O\left(\dfrac{e^x}{x}\right) \subseteq O(e^x)$

আসলে, ক্রিয়াকলাপগুলির যে কোনও শৃঙ্খলা দেওয়া আছে , আপনি তাদের ক্রিয়াকলাপের চেয়ে দ্রুত বাড়তে পারে এমন একটি ক্রিয়াকলাপ তৈরি করতে পারেন । (আমি ধরে গুলি from থেকে ।) প্রথমে, idea ধারণাটি দিয়ে শুরু । এটি কাজ করতে পারে না কারণ এ সেট । আনবাউন্ড করা যেতে পারে। তবে যেহেতু আমরা কেবল অ্যাসিপোটোটিক বৃদ্ধিতে ছেদ করছি তাই এটি ছোট শুরু এবং ক্রমবর্ধমানভাবে বিকাশের জন্য যথেষ্ট। সীমাবদ্ধ ফাংশনের সর্বাধিক গ্রহণ করুন । $f_1, \ldots, f_n$ $f_\infty$ $f_i$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{R}_+$ $f_\infty(x) = \max \{f_n(x) \mid n \in\mathbb{N}\}$ $\{f_n(x) \mid n \in\mathbb{N}\}$

f_{\infty} (x) = max {f_{n} (x) ∣ 1 \leq n \leq N} if N \leq x < N + 1

$f_\infty(x) = \max \{f_n(x) \mid 1 \le n \le N \} \qquad \text{if $N \le x \lt N+1$}$ তারপরে যে কোনও , , যেহেতু । আপনি যদি এমন কোনও ক্রিয়া চান যা কঠোরভাবে দ্রুত বৃদ্ধি পায় ( ), ।

N

$N$

f_{N} \in O (f_{\infty})

$f_N \in O(f_\infty)$

\forall x \geq N, f_{\infty} (x) \geq f_{N} (x)

$\forall x \ge N, f_\infty(x) \ge f_N(x)$

f_{\infty} = o (f_{\infty}^{'})

$f_\infty = o(f_\infty')$

f_{\infty}^{'} (x) = x \cdot (1 + f_{\infty} (x))

$f_\infty'(x) = x \cdot (1 + f_\infty(x))$

— গিলস 'তাই খারাপ হওয়া বন্ধ করুন'
সূত্র

এই সমস্ত উত্তর (আপনার এবং অন্য একটি), এই অনুমানের উপর ভিত্তি করে যে আমরা জানি যে অনন্তের মধ্যে কী ঘটে যায়, সেগুলি আমার পক্ষে সন্তুষ্ট নয়, আমি ওপি সম্পর্কে জানি না (কেন আমাদের সীমাহীন আকারের বন্ধ গোষ্ঠী থাকা উচিত নয়) ?)

@ সাeedদআমিরী আমি দুঃখিত, আমি আপনার মন্তব্যটি বুঝতে পারি না: "অনন্তের মধ্যে কী ঘটে তা আমরা জানি, তারা আমার পক্ষে সন্তুষ্ট নয়" এর অর্থ কী?

— গিলস 'এস-অশুভ হওয়া বন্ধ করুন'