স্কোয়ারগুলির স্বতন্ত্র টিলিংস

আমরা দুই ধরণের টাইল ব্যবহার করে টাইম স্কয়ার টাইল করতে চাই: স্কয়ার টাইল এবং স্কয়ার টাইল যাতে প্রতিটি অন্তর্নিহিত বর্গটি ওভারল্যাপিং ছাড়াই আচ্ছাদিত থাকে। আসুন আমরা একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করি যা স্কোয়ার এবং স্পেসের যেকোন সংখ্যক ব্যবহার করে বৃহত্তম অনন্য টিলেবল স্কোয়ারের আকার দেয় । $m\times m$ $1 \times 1$ $2 \times 2$ $f(n)$ $n$ $1\times 1$ $2 \times 2$

এই ফাংশনটি গণনাযোগ্য? অ্যালগরিদম কী?

EDIT1: স্টিভেনের উত্তরের উপর ভিত্তি করে, স্বতন্ত্র টাইলিংয়ের অর্থ হল স্কোয়ারের মধ্যে স্কোয়ারের বারের অবস্থানের জন্য একটি অনন্য কনফিগারেশন সহ একটি উপায় আছে স্কয়ার। $2 \times 2$ $m \times m$ $n$ $1 \times 1$ $m \times m$

computability combinatorics

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি
সূত্র

কীভাবে একটি অনন্য পর্যায়ের সংজ্ঞা দেওয়া হয়? উদাহরণস্বরূপ, এখানে 4 টি প্রতিসামান্য সময় থাকতে পারে। তারা অনন্য হবে না?

— পরেশ

প্রতিসম টিলিংস একটি কনফিগারেশন হিসাবে গণনা।

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি

ব্যবহার

n

$n$ 1-বাই -1 স্কোয়ার বা সর্বাধিক ব্যবহার

n

$n$ ? অন্যভাবে

f

$f$ সর্বদা সংজ্ঞায়িত হয় না: আপনি 2 1-বাই -1 টাইলস এবং 2-বাই -2 টাইলগুলির কোনও সংখ্যক কোনও স্কোয়ার টাইল করতে পারবেন না, কারণ অঞ্চলটি হবে

4 x + 2

$4x + 2$ এবং 2 কোনও চতুষ্কোণীয় অবশিষ্টাংশ নয় 4.

D_{4}

$D_4$ ?

— সাশো নিকোলভ

ঠিক আছে. এই ক্ষেত্রে সংজ্ঞা দেয়

f (n) = 0

$f(n)=0$ । আমি ডিহাইড্রাল গ্রুপ ডি 4 এর সাথে পরিচিত নই।

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি

আমি আশঙ্কা করছি যে আমার এখনও ক্ষতি হচ্ছে - একটি উদাহরণ সম্ভবত বুঝতে সাহায্য করার দিকে অনেক এগিয়ে যাবে। প্রদত্ত উত্তর কীভাবে প্রশ্নের উত্তর দেয় না?

— স্টিভেন স্টাডনিকি

মন্তব্যগুলিতে আমার অনুমানকে প্রমাণ করার জন্য এখানে একটি যুক্তি দেওয়া হচ্ছে যে কোনও অ-স্কোয়ারের জন্য এ জাতীয় কোনও অনন্য প্রবণতা বিদ্যমান নেই $n\gt 5$ । প্রথমত, মন্তব্যগুলিতে সাশো দ্বারা উল্লিখিত হিসাবে, $n$ অবশ্যই সীমাবদ্ধ রাখতে হবে, কারণ এমন কোনও ঝুঁকির উপস্থিতি নেই যদি if $n\equiv2$ বা । যদি একটি নিখুঁত বর্গক্ষেত্র হয় তবে স্পষ্টতই বর্গক্ষেত্র অনন্যভাবে টাইলযোগ্য, সুতরাং এই ক্ষেত্রে পরিষ্কারভাবে সংজ্ঞায়িত এবং শূন্য নয় non যুক্তিটি সম্পূর্ণ করার জন্য, এটি কেবল দেখানো থেকে যায় যে বা তার বেশি টাইল যুক্ত কোনও টাইলিং অনন্য হতে পারে না। $3\pmod 4$ $n$ $n=k^2$ $k\times k$ $f(n)$ $1$ $2\times 2$

প্রথমে, বিবেচনা করুন , । যদি আমাদের টাইল ব্যবহার করে একটি স্কোয়ারের একটি টাইলিং থাকে তবে অবশ্যই হতে হবে, বলুন ; তারপরে আমরা টাইলের টাইলিং তৈরি করে এবং তারপরে চার টাইলের 'ব্লক' দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারি । এটা স্পষ্ট যে বিভিন্ন প্রতিস্থাপনে সর্বদা স্বতন্ত্র টিলেিংস হতে পারে বা যেখানে একক $n\equiv 0\pmod 4$ $n=4k$ $m\times m$ $n\ 1\times 1$ $m$ $m=2j$ $j\times j$ $2\times2$ $k$ $1\times 1$ $m=4, n=12$ $m=4, n=4$ $2\times 2$ টাইল বা একক 'চার ব্লক' বাকি; এই ক্ষেত্রে, যদিও, একটি ভিন্ন অসম টাইলিং আছে, এটি একটি কোণার পরিবর্তে একটি প্রান্তের মাঝখানে টালি রাখে । $2\times 2$

অবশেষে, ধরুন , বিশেষত অনুমান (এবং দিয়ে সামান্য তুচ্ছ ঘটনা রোধ করতে যেখানে নীচের যুক্তিটি অতিক্রম করার জন্য স্কোয়ারে কেবল 'পর্যাপ্ত জায়গা নেই' রোধ করতে হবে) )। তারপরে কোনও আকারের বর্গ বা তার চেয়ে ছোট আকারে অনন্যভাবে টাইলযোগ্য হতে পারে না: বর্গের শীর্ষে এবং বর্গের ডানদিকে টাইলস সহ একটি টাইলিং বিবেচনা করুন (অতিরিক্ত টাইল সহ) শুধু ডানদিকে টোকা - তারা যুক্তি প্রভাবিত করতে পারে না)। স্কয়ারের উপরের বামে এখন 'ব্লক' (উপরে দুটি টাইল এবং $n\equiv 1\pmod 4$ $n=4t+1$ $t\gt 1$ $(2t+1)^2$ $1\times 1$ $1\times 1$ $2\times 3$ $1\times 1$ $2\times 2$ তাদের নীচে টাইল) এমন একটি টাইলিং তৈরি করতে 'ফ্লিপ' করা যেতে পারে যা প্রয়োজনীয়ভাবে তৈরি করা টাইলিংয়ের চেয়ে আলাদা হবে। অবশেষে, চেয়ে বড় আকারের কোনও বর্গক্ষেত্র হতে পারে না: ধরুন আমরা জন্য আকারের একটি বর্গ টাইল করার চেষ্টা করছি ; তারপরে কবুতরের নীতি অনুসারে আমরা স্কোয়ারের উপর টাইলের চেয়ে বেশি ফিট করতে পারি না , যার অর্থ এখানে রয়েছে স্কোয়ার বামে উপরে - কিন্তু যেহেতু , , সংখ্যা টাইলস আমরা আছে। $(2t+1)^2$ $(2s+1)^2$ $s\gt t$ $s^2\ 2\times 2$ $(2s+1)^2-4s^2 = 4s^2+4s+1-4s^2=4s+1$ $s\gt t$ $4s+1\gt 4t+1=n$ $1\times 1$

সুতরাং, এর জন্য বিদ্যমান একমাত্র অনন্য টিলিংগুলি হ'ল যেগুলি টাইলগুলি মোটেই ব্যবহার করে না , এবং কেবলমাত্র শূন্য নয় যখন একটি বর্গ হয় ( এটি সমান বর্গ) )। $n\gt 5$ $2\times 2$ $f(n)$ $n$ $\sqrt{n}$

— স্টিভেন স্টাডনিকি
সূত্র

যেহেতু আপনি সেই অংশটি সন্ধান করছিলেন যেখানে আপনি 1 টি 1 টাইল বাম টানটি ডান ইফফি (সম্ভবত কোনও কারণ ছাড়াই) টাক করেন, তাই এই ক্ষেত্রে এখানে কিছুটা আলাদা চেহারা রয়েছে

n = 4 t + 1

$n = 4t + 1$ এবং বর্গাকার আকার হয়

x^{2} < (2 t + 1)^{2}

$x^2 < (2t + 1)^2$ । লক্ষ্য করুন

x \equiv 1

$x \equiv 1$ অথবা

x \equiv 3 (\mod 4)

$x \equiv 3 \pmod 4$ । উভয় ক্ষেত্রে এটি লাগে

2 x - 1 \equiv 1 (\mod 4)

$2x - 1 \equiv 1 \pmod 4$ স্কোয়ারের জন্য 1 বেধের 1 টি টাইলস বেধ তৈরি করতে। তারপরে আমাদের সাথে রেখে গেছে

n^{'} \equiv 0 (\mod 4)

$n' \equiv 0 \pmod 4$ 1 টি 1 টাইলস। ক্ষেত্রে

n^{'} = 0

$n' = 0$ আমাদের আছে

x = 2 t + 1

$x = 2t + 1$ এবং আপনি এটি মোকাবেলা করেছেন। অন্যথায় আমরা আগের অনুচ্ছেদে হ্রাস পেয়েছি।

— সাশো নিকোলভ

বৈধ অনন্য টাইলিং অবশ্যই উভয় প্রকারের টাইল ব্যবহার করতে হবে। আমার প্রশ্নের মধ্যে এটি পরিষ্কারভাবে উল্লেখ না করার জন্য দুঃখিত।

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি

@ মোহাম্মদআল-তুর্কিস্তান স্টিভেন উপরে প্রমাণ করেছেন যে এরকম অনন্য প্রান্তের কোন অস্তিত্ব নেই

n > 5

$n>5$ । প্রকৃতপক্ষে আপনার সংজ্ঞা অনুযায়ী একমাত্র "বৈধ" অনন্য টাইলিং এর জন্য

n = 5

$n=5$ (একক 2 বাই বাই টাইল এবং 5 1-বাই -1 এর "কোণ")।

— সাশো নিকোলভ

@ স্টিভেন আপনার উত্তরের জন্য ধন্যবাদ, আমার স্বতন্ত্রতার প্রয়োজনীয়তার বিবৃতি আকর্ষণীয় নয় কারণ এটি সহজেই গণনীয় কার্য সম্পাদন করে। আপনি কি মনে করেন যে সর্বাধিক সংখ্যক আমরা প্যাক করে তা প্রয়োজনীয় করে এটি ঠিক করা যেতে পারে?

2 \times 2

$2 \times 2$ -পসিবলিয় কিছু ছেড়ে যাওয়ার সময় অনুসন্ধানগুলি

m \times m

$m \times m$ -স্কোয়ারস অনাবৃত? আমার প্রেরণা হ'ল একটি সাধারণ সংযোজক সমস্যা থেকে নিরীক্ষণযোগ্য ফাংশন তৈরি করা।

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি

@ স্টিভেন, আপনার উত্তরটি মূল প্রশ্নটি সমাধান করে তবে ঠিক এই প্রশ্নটি উত্থাপন করতে আমাকে অনুপ্রাণিত করেছিল তা নয়। আমি আশা করি প্রশ্নটি সংশোধন করে আপনি বিরক্ত হবেন না যেমনটি আমি পূর্ববর্তী মন্তব্যে বর্ণনা করেছি।

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি