গণনাযোগ্যগুলির চেয়ে কেন আরও অ-গণনীয় ফাংশন রয়েছে?

Question

আমি বর্তমানে অ্যালগোরিদম এবং জটিলতায় একটি বই পড়ছি। এই মুহুর্তে আমি গণনাযোগ্য এবং অ-গণনীয় ফাংশনগুলি সম্পর্কে পড়ছি এবং আমার বইতে বলা হয়েছে যে আরও অনেকগুলি ক্রিয়াকলাপ রয়েছে যা গণনাযোগ্যের তুলনায় অ-গণনীয়, বাস্তবে সংখ্যাগরিষ্ঠটি অ-গণনাযোগ্য বলে। কিছুটা অর্থে আমি স্বজ্ঞাতভাবে এটি গ্রহণ করতে পারি তবে বইটি একটি প্রথাগত প্রমাণ দেয় না বা এটি বিষয়টিতে খুব বেশি বিস্তৃত করে না।

আমি কেবল একটি প্রমাণ দেখতে চেয়েছিলাম / এখানে কাউকে এ সম্পর্কে বিস্তারিতভাবে বলতে দেওয়া / আরও শক্তভাবে বুঝতে হবে যে কেন গণনাযোগ্যগুলির চেয়ে আরও অনেক বেশি অ-গণনীয় ফাংশন রয়েছে।

Comments

দুটি অসীম সেট তুলনা করার সময়, "আরও" এর শব্দার্থবিজ্ঞানগুলি সংশোধন করতে হবে।

— রাফেল

Answer 1

এগুলি হ'ল বহু গণনীয় ফাংশন:

প্রতিটি গণনীয় ফাংশনটিতে কমপক্ষে একটি অ্যালগরিদম থাকে। প্রতিটি আলগোরিদিম একটি নির্দিষ্ট সেট থেকে প্রতীক ব্যবহার করে একটি সসীম বিবরণ, যেমন সসীম বাইনারি চিহ্ন ব্যবহার স্ট্রিং হয়েছে । দ্বারা চিহ্নিত সসীম বাইনারি স্ট্রিংগুলির সংখ্যা গণনাযোগ্য (অর্থাত্ প্রাকৃতিক সংখ্যার )।$\{0,1\}$$\{0,1\}^*$$\mathsf{N}$

সুতরাং সেখানে বেশিরভাগ গণনাযোগ্য ফাংশন থাকতে পারে। আছে অন্তত প্রত্যেকের জন্য যেহেতু ধর্তব্য অনেক গণনীয় ফাংশন , ধ্রুবক ফাংশন গণনীয় হয়।$c\in \{0,1\}^*$$f(x)=c$

অন্য কথায়, এর মধ্যে একটি চিঠিপত্র রয়েছে:

• গণনাযোগ্য ফাংশনগুলির সেট,
• অ্যালগরিদমের সেট,
• $\{0,1\}^*$ , from থেকে সীমাবদ্ধ স্ট্রিংগুলির সেট এবং$\{0,1\}$
• $\mathbb{N}$ , প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট।

অন্যদিকে, স্ট্রিংগুলি (বা প্রাকৃতিক সংখ্যা) এর চেয়ে অগণিত ফাংশন রয়েছে। একটি ফাংশন (বা ) প্রতিটি ইনপুটটির জন্য একটি মান নির্ধারণ করে। এগুলির প্রতিটি মান অন্যের থেকে স্বাধীনভাবে চয়ন করা যায়। সুতরাং সম্ভাব্য ফাংশন রয়েছে। প্রাকৃতিক সংখ্যার উপর ফাংশনের সংখ্যা প্রকৃত সংখ্যার সমান।$f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$f:\{0,1\}^* \to \{0,1\}^*$$\mathbb{N}^\mathbb{N}=2^\mathbb{N}$

যেহেতু কেবলমাত্র অগণনীয় ফাংশনগুলি গণনাযোগ্য, বেশিরভাগগুলি তা নয়। বস্তুত uncomputable ফাংশন সংখ্যা হয়।$2^{\mathbb{N}}$

যদি আপনি এটিকে স্বজ্ঞাতভাবে চিত্রিত করতে চান তবে প্রাকৃতিক সংখ্যা এবং আসল সংখ্যাগুলি সম্পর্কে, বা সীমাবদ্ধ বাইনারি স্ট্রিং এবং অসীম বাইনারি স্ট্রিং সম্পর্কে চিন্তা করুন। প্রাকৃতিক সংখ্যা এবং সসীম স্ট্রিংয়ের চেয়ে আরও বেশি আসল সংখ্যা এবং অসীম বাইনারি স্ট্রিং রয়েছে। অন্য কথায় (এই সত্যতার প্রমাণের জন্য ক্যান্টরের তির্যক তর্ক এবং কার্ডিনাল পাটিগণিত দেখুন )।$\mathbb{N} < 2^\mathbb{N}$

Comments

ভাল উত্তর! আমি যা বুঝতে পারি না (আমি এখানে খুব তুচ্ছ কিছু মিস করছি) আপনি কীভাবে get পাবেন ? $\mathbb{N}^\mathbb{N} = 2^\mathbb{N}$

— hsalin

এটি কার্ডিনাল পাটিগণিত। বাইনারিতে প্রাকৃতিক সংখ্যার অসীম অনুক্রমের মধ্যে প্রাকৃতিক সংখ্যা লিখুন, এটি অন্তর্দৃষ্টি দিতে হবে।

— কাভেহ

কেন এই ধারণাটি সত্য হতে পারে - "প্রতিটি অ্যালগরিদমের একটি সীমাবদ্ধ সেট থেকে প্রতীক ব্যবহার করে একটি সীমাবদ্ধ বর্ণনা থাকে"? কেন একটি অ্যালগরিদমের অসীম বর্ণনা থাকতে পারে না?

— রোল্যান্ড পিহলাকাস

@ রোল্যান্ডপিহ্লাকাস যা একটি অ্যালগরিদমের সংজ্ঞার অংশ (যদি আপনি পছন্দ করেন তবে একটি কম্পিউটার প্রোগ্রাম)।

— কাভেহ

Answer 2

এখানে অগণনীয়ভাবে অনেকগুলি অ-গণনীয় বুলিয়ান ফাংশনগুলির একটি "স্পষ্ট" নির্মাণ রয়েছে। কে কিছু স্থির অ-গণনীয় বুলিয়ান ফাংশন হিসাবে ধরা যাক, থামানো সমস্যার বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন বলুন। ফাংশনের সেট বিবেচনা করুন প্রতিটি Each অ-গণনাযোগ্য, এবং অনুমানযোগ্য।$K$

$$F = \{ f \colon \mathbb{N} \to \{0,1\} : \forall x \in \mathbb{N}, f(2x) = K(x) \}.$$ $f \in F$$F$

গণনীয় ফাংশন সহ একই রকম নির্মাণ রয়েছে। প্রদত্ত গণনীয় ফাংশন যাক words অন্য কথায়, যদি এটি চূড়ান্তভাবে অনেকগুলি মানের উপর থেকে পৃথক হয় । সমস্ত ফাংশন গণনাযোগ্য (হার্ড-কোড চূড়ান্তভাবে অনেকগুলি পার্থক্য)। পূর্ববর্তী পরিস্থিতির বিপরীতে, গণনাযোগ্য।জি = { জি : এন → { 0 , 1 } : ∃ n ∈ এন ∀ এম ≥ এন , জি ( এম ) = আর ( এম ) । } g ∈ G R G $R$

$$G = \{ g \colon \mathbb{N} \to \{0,1\} : \exists n \in \mathbb{N} \forall m \geq n, g(m) = R(m). \}$$ $g \in G$$R$$G$$G$

সুতরাং প্রচুর অ-গণনীয় ফাংশন রয়েছে যেহেতু আমাদের কাছে "অসীম অনেকগুলি" ডিগ্রি রয়েছে স্বাধীনতার - প্রকৃত অসীমতা "সম্ভাব্য" অনন্তর পরিবর্তে তুলনামূলক ক্ষেত্রে।