ব্যস্ত বিভার ফাংশনের একটি বৈকল্পিক

Question

এই প্রশ্নটি পড়ার পরে " প্রাকৃতিক আরই অবিশ্বাস্য সমস্যা তবে নিরাময়-সম্পূর্ণ নয় " নিম্নলিখিত ভাষাটি আমার মনে এসেছে:

যদি ব্যস্ত বিভার ফাংশন (একটি ফাঁকা টেপ শুরু করার সাথে উপরের বর্ণিত ধরণের সমস্ত প্রতীক 2-প্রতীক এন-রাষ্ট্র টুরিং মেশিনগুলির মধ্যে সর্বাধিক অর্জনযোগ্য স্কোর) থাকে তবে ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করুন:$\Sigma(\cdot)$

$$BB(\langle M \rangle) = \begin{cases} 1 & \text{$\langle M \rangle$ computes $\Sigma(\cdot)$}\\ 0 & \text{ otherwise} \end{cases}$$

এখন ভাষাটি সংজ্ঞা দিন:

$L = \{ \langle M \rangle \; | \; \langle M \rangle \mbox{ halts and } BB(\langle M \rangle) = 0 \}$

কি পুনরাবৃত্তভাবে গণনা করা যায়? (এটা পুনরায় হওয়া উচিত: একই দৈর্ঘ্যের সমস্ত স্মৃতি পাশাপাশি এম মাত্র অনুকরণ, এবং যদি স্থগিত এবং অন্য শুমার করার জন্য একটি উচ্চতর স্কোর অ্যাড এম সঙ্গে স্থগিত)।$L$$M$$M'$

আমরা বিরাম সমস্যা কমে যায় ? (মনে হচ্ছে এটি ব্যস্ত বিভারগুলির থামানো "ক্যাপচার" করতে পারে না)$L$

Comments

ইসরাজ্যের সংখ্যা? $|\langle M \rangle|$

— পল জিডি

আপনি কখন এমন গণনা করবেন যা থামবে না ? আপনি আর এর সমস্ত সদস্যকে গণনা না করাতে আর আর হতে পারে না , এবং আপনি যে পদ্ধতিটি বর্ণনা করেছেন কেবলমাত্র সেইগুলি গণনা করে যা আসলে থামে। $M$$L$$L$

— স্টিভেন স্টাডনিকি

@ পেলজিডি: হ্যাঁ এটি রাষ্ট্রের সংখ্যা (থামিয়ে দেওয়া রাষ্ট্রকে বাদ দেওয়া হয়েছে)

— ভোর

@ স্টিভেনস্ট্যাডনিকি: আমি দৃlic়ভাবে ধরে নিয়েছি যে মধ্যে কেবল মেশিন রয়েছে যা থামছে ... সম্ভবত আমাকে এ প্রশ্নটি পরিষ্কার করে দেওয়া উচিত (আমাকে এ সম্পর্কে কিছুটা ভাবতে দিন, সম্ভবত এটি প্রশ্নকে তুচ্ছ করে তোলে)। $L$

— ভোর

@ কাভেহ এমনকি এটি একটি প্রতিশ্রুতি সমস্যা নয় - আপনি কেবল সংজ্ঞা দিতে পারেন $L$ (যেমন আমি বিশ্বাস করি ওপি লক্ষ্য করে) হিসাবে $L=\{\langle M\rangle | M\ \text{halts} \wedge BB(\langle M\rangle) = 0\}$।

— স্টিভেন স্টাডনিকি

Answer 1

আমি বিশ্বাস করতে পারি না যে আমি এটি আগে দেখিনি - তবে হ্যাঁ, এর জন্য ওরাকল দিয়ে $L$আপনি থামানো সমস্যা সমাধান করতে পারেন। স্পষ্টতই এর জন্য একটি ওরাকল$L$ আমাদের সমস্ত অ-ব্যস্ত বিভারকে থামানো মেশিনগুলিকে 'পুনরাবৃত্তিমূলক' দেয়, সুতরাং প্রশ্নটি হল 'আমরা কি পুনরাবৃত্তভাবে বের করতে পারি? $L$ব্যস্ত বিভারগুলি কী? '। নির্ধারণ করা$\Sigma_2(n)$'দ্বিতীয় ব্যস্ততম বিভার' এর গণনা কার্য হিসাবে; এটি হ'ল দ্বি-প্রতীক সকলের মধ্যে দ্বিতীয় সর্বোচ্চ প্রাপ্ত স্কোর$n$স্টেট টিএমস এখানে কৌশলটি একটি পুনরাবৃত্ত ফাংশন আছে$f()$ যেমন যে $\Sigma(n)\leq\Sigma_2(f(n))$ (এটা প্রায় নিশ্চিত যে $f(n)=n+1$ কৌতুকটি বাস্তবে করবে, তবে তার জন্য বিবি ফাংশনটি কঠোরভাবে বাড়ছে তা জেনে রাখা দরকার): একটি মেশিন দেওয়া হয়েছে given $M$ আকারের $n$ যে মুদ্রণ $\Sigma(M)$ এর টেপটিতে 1s এবং তারপরে থামে, কিছু আছে some $c\gt 1$ এবং প্রতিটি আকার দুটি মেশিন $\leq cn$ ঠিক যে মুদ্রণ $\Sigma(M)$ 1s এবং ঠিক $\Sigma(M)+1$ 1s যথাক্রমে তাদের টেপগুলিতে - এবং এটি একটি 'ব্যস্ত বিভার' মেশিনের জন্য সত্য holds $M$ যদিও আমরা জানি না $M$স্পষ্টভাবে । এর অর্থ হল যে 'দ্বিতীয় ব্যস্ত বিভার' ফাংশনে সীমাবদ্ধ থাকা$f(n)$ ব্যস্ত বিভার ফাংশনটির জন্য সীমাবদ্ধ করে $n$; তবে এর পরে এটি কোনও টিএম এর জন্য থামানো সমস্যা সমাধান করা সহজ$M$ আকারের $n$ - যদি $\langle M\rangle\in L$ তারপরে বলুন $M$স্থগিত; অন্যথায়, আকারের দীর্ঘতম চলমান মেশিনটি সন্ধান করুন$f(n)$ ভিতরে $L$ (যা পুনরাবৃত্তির সাথে সম্পন্ন করা যায় যেহেতু আকারের চূড়ান্তভাবে অনেকগুলি মেশিন রয়েছে $\leq f(n)$) এবং অনুকরণ $M$যে মেশিনটি থামাতে যতটা পদক্ষেপ নেয় for যদি$M$ তখনকার সময়ের মধ্যে থেমে নেই $M$ সম্ভবত থামানো যাবে না।

Comments

ধন্যবাদ; আপনার উত্তরে অনুপ্রাণিত হয়ে আমি একটি দ্রুত (তুচ্ছ) পেয়েছি -: পৃথক উত্তরে থামানো সমস্যা থেকে সরাসরি হ্রাস।

— ভোর

Answer 2

এটি স্টেভেনের উত্তরের একটি পুনর্নির্মাণ সংস্করণ, হ্যালটিং সমস্যা থেকে স্পষ্টভাবে হ্রাস সহ।

প্রদত্ত $\langle M \rangle, w$ বিল্ড $M'$ যে রান $M$ চালু $w$ এবং যদি এটি থামে টেপের ডানদিকে যায়, একটি 0 লিখে থামে।

যদি $M'$ স্থগিত, $BB(M')=0$কারণ একই আকারের সমতুল্য টিএম রয়েছে যা 1 লিখে থামায়; সুতরাং আমরা এর জন্য সিদ্ধান্তকটি ব্যবহার করতে পারি$L$ যদি পরীক্ষা করা হয় $M$ বন্ধ $w$ ($M$ বন্ধ $w$ iff $M' \in L$)

... দেখা গেল যে প্রশ্নটি আসলেই তুচ্ছ :-)