বিভাগ তত্ত্ব বলতে কী বোঝায় এখনও উচ্চতর অর্ডার ফাংশনগুলি কীভাবে মোকাবেলা করতে হয় তা জানে না?

Question

পড়া উদয় রেড্ডির উত্তর থেকে কি SML মধ্যে functors এবং বিভাগ তত্ত্ব মধ্যে সম্পর্ক? উদয় রাজ্য

বিভাগের তত্ত্বটি এখনও উচ্চ-আদেশ ক্রিয়াকলাপগুলি কীভাবে মোকাবেলা করতে পারে তা জানে না। কিছু দিন, এটি হবে।

যেহেতু আমি ভেবেছিলাম বিভাগের তত্ত্বটি গণিতের ভিত্তি হিসাবে কাজ করতে সক্ষম হয়েছিল, তখন সমস্ত গণিত এবং উচ্চতর ক্রমের ক্রিয়াকলাপ অর্জন করা সম্ভব হবে।

সুতরাং, বিভাগ তত্ত্ব দ্বারা বোঝানো কী এখনও উচ্চতর অর্ডার ফাংশনগুলি মোকাবেলা করতে জানেন না? বিভাগ তত্ত্বকে গণিতের ভিত্তি হিসাবে বিবেচনা করা বৈধ?

Comments

এই আলোচনাটি cstheory.stackexchange.com এর জন্য উপযুক্ত ।

— মার্টিন বার্গার

Answer 1

উচ্চ-অর্ডার ফাংশন সহ সমস্যাটি যথেষ্ট সরল simple

• মতো টাইপ-কনস্ট্রাক্টর = [ এক্স → এক্স ] কোনও ফান্টেক্টর নয়। এটা হওয়া উচিত ছিল। $T(X) = [X \to X]$

• ${\it twice}_X : T(X) \to T(X) = \lambda f.\, f \circ f$

আপনি পড়তে পারেন Eilenberg এবং MacLane মূল বিভাগ তত্ত্ব কাগজ , (পিডিএফ) intuitions তারা বর্তমান কভার সেই ক্ষেত্রে। কিন্তু তাদের তত্ত্বটি তা করে না। তাদের ছিল 1945 সালের জন্য একটি দুর্দান্ত কাগজ ! তবে, আজ আমাদের আরও প্রয়োজন।

এই বিষয়গুলিতে বিভাগীয় তাত্ত্বিকদের প্রতিক্রিয়া কিছুটা বিভ্রান্তিকর। তারা এমনভাবে কাজ করে যেমন উচ্চতর অর্ডার অপারেশনগুলি কম্পিউটার বিজ্ঞান ধারণা তৈরি করে; এগুলি গণিতের কোনও ফল নয়। যদি তা হয় তবে কম্পিউটার বিজ্ঞানের ভিত্তির জন্য গণিতের একটি ভিত্তি যথেষ্ট ভাল হবে না।

তবে আমি তা গুরুত্ব সহকারে বিশ্বাস করি না। আমি বিশ্বাস করি যে উচ্চতর অর্ডার ফাংশনগুলিও গণিতের জন্য বেশ গুরুত্বপূর্ণ হবে। তবে তাদের গুরুত্ব সহকারে অনুসন্ধান করা হয়নি। আমি আশাবাদী যে, কোনও একদিন তাদের অনুসন্ধান করা হবে এবং বিভাগের তত্ত্বের সীমাবদ্ধতাগুলি উপলব্ধি হবে।

Comments

এটি আশ্চর্যজনক যে তারা উচ্চ-মাত্রার বীজগণিত, এন-বিভাগের তত্ত্ব এবং এর মতো অন্বেষণ করার সময় তারা যে গভীরতার দিকে যায় সেগুলি বিবেচনা করে উচ্চতর ক্রমের ক্রিয়াকে আকর্ষণীয় বিবেচনা করে না। তুলনামূলকভাবে, উচ্চতর আদেশ ক্রিয়াগুলি এত নীচে পৃথিবী বলে মনে হচ্ছে। বিশেষত, যদি সেই পৃথিবীতে হাস্কেল প্রোগ্রাম জড়িত থাকে।

— ডেভ ক্লার্ক

$n$$A \cong A^*$$A \cong A^{**}$

$T(X)$$A \to B$

+1 এটি সত্যিই আকর্ষণীয়। আপনি কি এমন কোনও রেফারেন্স জানেন যা এই বিষয়গুলি নিয়ে আরও আলোচনা করে?

— কাভেহ

$\lambda$$\pi$$\pi$

Answer 2

[এই দ্বিতীয় উত্তরটি একটি "বিভাগের থিওরি ২.০" কীভাবে উচ্চতর অর্ডার ফাংশনগুলি যথাযথভাবে ডিল করে, এর মতো রূপরেখা উপস্থাপন করে]]

তাদের সম্পর্কে যুক্তিতে উচ্চতর অর্ডার ফাংশনগুলি কীভাবে মোকাবেলা করা যায় তা আমরা দীর্ঘদিন ধরে জানি for

• যখন একটি বীজগণিত কাঠামোর উচ্চতর অর্ডার অপারেশন থাকে, সমকামী কাজ করে না। পরিবর্তে আমাদের অবশ্যই যৌক্তিক সম্পর্ক ব্যবহার করা উচিত । অন্য কথায়, আমাদের অবশ্যই " ফাংশন সংরক্ষণের কাঠামো" থেকে " সম্পর্ক সংরক্ষণের কাঠামো" এ চলে যেতে হবে।

• উচ্চতর অর্ডার ধরণের "ইউনিফর্ম" বা "একই সাথে প্রদত্ত" ট্রান্সফর্মেশন সম্পর্কে কথা বলার জন্য, স্বাভাবিকতা কাজ করে না। পরিবর্তে আমাদের অবশ্যই রিলেশনাল প্যারামিট্রিসিটি ব্যবহার করা উচিত । অন্য কথায়, আমাদের অবশ্যই "সমস্ত আকারের সংরক্ষণের পরিবারগুলি " থেকে "সমস্ত যৌক্তিক সম্পর্ক সংরক্ষণের পরিবারগুলিতে" যেতে হবে ।

• $\to$

এই বিষয়গুলির তাত্ক্ষণিক পরিচয়টি ডোমেনস এবং ডোনোটেশনাল শব্দার্থবিজ্ঞানের "রিলেশনাল প্যারামিট্রিকটি" সম্পর্কিত পিটার ও'হর্নের বিভাগে রয়েছে : ইতিহাস, সমাপ্তি ও উন্মুক্ত সমস্যা (সাইটসাইট) ।

• "ক্যাটাগরি থিওরি ২.০" তৈরির প্রথম প্রচেষ্টা ও'হর্ন এবং টেনেন্টের প্যারামিট্রিকটি এবং লোকাল ভেরিয়েবলস (সিটিসারেক্স) এ ।

• ব্রায়ান ডানফির পিএইচডি থিসিস: রিফ্লেক্সিভ গ্রাফগুলিতে (সিটিসিরেক্স) একতার ধারণা হিসাবে প্যারামিটারিটিসিটি তাদের কাঠামোর উপর ভিত্তি করে তৈরি করে এবং প্যারামিট্রিকটির ফলাফল পাওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় সম্পর্কের কাঠামোটি অক্ষরেখার করে তোলে। আমি ডানফির থিসিসটি সমস্ত ইস্যুটির একটি ভাল ওভারভিউ পাওয়ার জন্য সুপারিশ করব।

• সম্পূর্ণতার জন্য, আমার ক্লোদিও হার্মিডার পিএইচডি থিসিসও উল্লেখ করা উচিত: ফাইব্রেশনস, লজিক্যাল প্রেডিকেটস এবং ইনডিটারমিনেটস (পিডিএফ) , যা প্রথম শ্রেণীর তাত্ত্বিক সেটিংয়ের মধ্যে যৌক্তিক সম্পর্ক নিয়ে পড়াশোনা করেছিলেন, তবে তাঁর চিকিত্সা বেশিরভাগ মানুষের পক্ষে খুব প্রযুক্তিগত is

আমি আরও যুক্ত করতে পারি যে রাষ্ট্রের বিষয়ে যুক্তিটি হ'ল উচ্চ-অর্ডার ফাংশনগুলি সুস্পষ্টভাবে প্রদর্শিত হয়। অটোমাটা-তাত্ত্বিকদের প্রথম বুঝতে পেরেছিলেন যে homomorphisms সঠিকভাবে কাজ করে না, একটি ঐতিহাসিক কাগজ নামক ছিল অটোমাটা পণ্য এবং ঢেকে ফেলার সমস্যা । তারা "দুর্বল হোমোর্ফিজম" এবং "আবরণ সম্পর্ক" এর মতো পদ যুক্তিসঙ্গত সম্পর্কের জন্য উল্লেখ করেছেন। যথাযথভাবে, "সিমুলেশন" এবং "বিসিমুলেশন" এর মতো শব্দগুলি তাদের উল্লেখ করতে ব্যবহৃত হয়েছিল। ডেভিড স্যাঙ্গির্গির জরিপ নিবন্ধ: বিসিমুলেশন অ্যান্ড কাইন্ডাকশন অব দ্য অরিজিনস এ প্রারম্ভিক ইতিহাস এবং আরও অনেক কিছু জুড়ে।

রাষ্ট্র সম্পর্কে যুক্তিযুক্ত, বিশেষত আবশ্যক প্রোগ্রামিংয়ে বারবার ফসল আপাতত সম্পর্কিত যুক্তির প্রয়োজন । খুব কম লোক লক্ষ্য করেছেন যে নম্র "অর্ধকোলন" একটি উচ্চ-অর্ডার অপারেশন। সুতরাং, উচ্চতর অর্ডার ফাংশনগুলি কীভাবে মোকাবেলা করতে হয় তা না জেনে আপনি অত্যাবশ্যকীয় প্রোগ্রামগুলির বিষয়ে চিন্তাভাবনার ভিত্তিতে নামতে পারবেন না। আমরা গণিতের সমস্ত উত্তর আছে এই ভুল বিশ্বাসে রাষ্ট্র এবং অপরিহার্য প্রোগ্রামিংয়ের বিষয়গুলি উপেক্ষা করে চলেছি। সুতরাং, যদি গণিতবিদরা রাষ্ট্র বুঝতে না পারেন, এটি অবশ্যই ভাল হবে না! কিছুই সত্য থেকে আরও হতে পারে। কম্পিউটার কম্পিউটার সায়েন্সের কেন্দ্রবিন্দুতে রয়েছে রাজ্য। রাষ্ট্রকে কীভাবে মোকাবেলা করতে হবে তা দেখিয়ে আমরা সাধারণভাবে বিজ্ঞানের অগ্রগতি করব!

Comments

@ গুয়কোডার, আমি মনে করি এটি ভাল ধারণা। যাইহোক, আমি মনে করি এটি এবং এটি প্রশ্ন তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানের ক্ষেত্রেও বিষয় হতে পারে আপনি যদি এটি সেখানে পোস্ট করতে পছন্দ করেন।

— কাভেহ

উদয়ের সাথে আলাপ-আলোচনা করার পরে, এই দ্বিতীয় উত্তরটির জন্য বিশেষভাবে কোনও নতুন প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা হবে না। :)

— গাই কোডার

রাষ্ট্র আপেক্ষিক।

— শেলবি মুর III