যখন কোনও উপাদান পরিবর্তিত হয় তখন কম্পিউটিং ইনভার্স ম্যাট্রিক্স

18

একটি প্রদত্ত $n \times n$ ম্যাট্রিক্স । be (যা, ) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স আসুন । ধরে নিন যে in এর একটি উপাদান পরিবর্তিত হয়েছে (আসুন কে )। উদ্দেশ্য এই পরিবর্তনটির পরে করা। এই উদ্দেশ্যটি সন্ধান করার জন্য কি এমন কোনও পদ্ধতি আছে যা স্ক্র্যাচ থেকে বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স পুনরায় গণনার চেয়ে আরও দক্ষ efficient $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}^{-1}$ $\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}$ $\mathbf{A}$ $a _{ij}$ $a' _{ij}$ $\mathbf{A}^{-1}$

algorithms numerical-analysis online-algorithms

— AJed
সূত্র

দুর্দান্ত উত্তর: আমি নিম্নলিখিত কাগজটি পেয়েছি যা এই সঠিক সমস্যার মোকাবেলা করে: সংকোভস্কি, পিয়োটার। "ডায়নামিক ম্যাট্রিক্স বিপরীত হয়ে গতিশীল ট্রানজিটিভ বন্ধ।" কম্পিউটার সায়েন্সের ফাউন্ডেশন, ২০০৪। কার্যদিবস। 45 তম বার্ষিক আইইইই সিম্পোজিয়াম চালু। আইইইই, 2004.

— এজেড

যদি কাগজটি কোনওভাবে উত্তর দেয় বা আপনার সমস্যার সমাধান করে তবে একটি উত্তর যুক্ত করা ঠিক হবে! :) সর্বোপরি, মন্তব্যগুলি যে কোনও সময় মুছে ফেলা হতে পারে।

— জুহো

12

শের্মান-মরিসন সূত্র সাহায্য করতে পারে:

(A + u v^{T})^{- 1} = A^{- 1} - \frac{A^{- 1} u v^{T} A^{- 1}}{1 + v^{T} A^{- 1} u} .

$(A + uv^T)^{-1} = A^{-1} - \frac{A^{-1} uv^T A^{-1}}{1 + v^T A^{-1} u}.$

যাক এবং , যেখানে হ'ল মানক ভিত্তিক কলাম ভেক্টর। আপনি পরীক্ষা করতে পারেন যে আপডেট হওয়া ম্যাট্রিক্সটি যদি তবে $u = (a'_{ij}-a_{ij}) e_i$ $v = e_j$ $e_i$ $A'$

A^{' - 1} = A^{- 1} - \frac{(a_{i j}^{'} - a_{i j}) A_{i \to}^{- 1} A_{↓ j}^{- 1 T}}{1 + (a_{i j}^{'} - a_{i j}) A_{i j}^{- 1}} .

$A^{\prime -1} = A^{-1} - \frac{(a'_{ij}-a_{ij})A^{-1}_{i\rightarrow} A^{-1T}_{\downarrow j}}{1 + (a'_{ij}-a_{ij})A^{-1}_{ij}}.$

— ইউভাল ফিল্ম
সূত্র

7

$A$ $A^{-1}$

$\delta = a_{ij}' - a_{ij}$ $a_{ij}$ $e_i$ $i$

(A + e_{i} δ e_{j}^{⊤}) A^{- 1} = I + e_{i} δ e_{j}^{⊤} A^{- 1}

$(A + e_i \delta e_j^\top )A^{-1} = I + e_i \delta e_j^\top A^{-1}$

$e_i \delta e_j^\top$ $\delta$ $ij$ $A^{-1}$ $A^{-1}$

A^{- 1} (A + e_{i} δ e_{j}^{⊤}) = I + A^{- 1} e_{i} δ e_{j}^{⊤}

$A^{-1}(A + e_i \delta e_j^\top ) = I + A^{-1}e_i \delta e_j^\top$

$A^{-1}$

— আদম ডাব্লু
সূত্র

উত্তম উত্তর, তবে ইউভালের আগেরটির থেকে এটি কতটা আলাদা?

— আজেদ

1

A^{- 1}

$A^{-1}$