বিটা সম্প্রসারণের সংগম

যাক $\to_\beta$ হতে $\beta$ -reduction মধ্যে $\lambda$ -calculus। নির্ধারণ $\beta$ -expansion $\leftarrow_\beta$ দ্বারা $t'\leftarrow_\beta t \iff t\to_\beta t'$ ।

Is $\leftarrow_\beta$ একত্র প্রবহমান? অন্য কথায়, আমরা যে আছে কোন $l,d,r$ , যদি $l \to_\beta^* d\leftarrow_\beta^* r$ , তারপর অস্তিত্ব আছে $u$ যেমন যে $l\leftarrow_\beta^* u \to_\beta^* r$ ?

কীওয়ার্ডস: wardর্ধ্বমুখী সঙ্গম, সিআর সম্পত্তি উল্টো দিকে down

আমি দুর্বল সম্পত্তি: স্থানীয় সঙ্গম (অর্থাত্ যদি $l \to_\beta d\leftarrow_\beta r$ , তবে $l\leftarrow_\beta^* u \to_\beta^* r$ ) দেখতে পেয়ে শুরু করেছি। এমনকি যদি এই সত্য, এটা জনতা সূচিত করা হবে না যেহেতু $\beta$ -expansion অ সসীম, কিন্তু আমি ভেবেছিলাম যে এটা সাহায্য করবে আমাকে অবমুক্ত বুঝতে।

(শীর্ষ) যদি যেখানে উভয় কমানোর টপ লেভেল হয়, অনুমান হয়ে $(\lambda x_1.b_1)a_1\rightarrow b_1[a_1/x_1]=b_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ । উপর থেকে $\alpha$ -renaming, আমরা অনুমান করতে পারেন $x_1\not =x_2$ , এবং এটি যে কোনও পদে $x_1$ বা $x_2$ নিখরচায় রয়েছে।

(নিক্ষেপ) যদি $x_1$ মধ্যে মুক্ত নয় $b_1$ , আমরা $b_1=b_2[a_2/x_2]$ এবং সেইজন্য আছে $(\lambda x_1.b_1)a_1=(\lambda x_1.b_2[a_2/x_2])a_1\leftarrow(\lambda x_1.(\lambda x_2.b_2)a_2)a_1\rightarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ ।

একটি সরল প্রমাণ আনয়ন দ্বারা (চালু $b_1$ এবং $b_2$ ক্ষেত্রে জন্য) (শীর্ষ) নিম্নরূপ হবে:

যদি $b_1$ একটি ভেরিয়েবল $y_1$ ,
- তাহলে $y_1=x_1$ , অনুমান হয়ে $(\lambda x_1.x_1)a_1\rightarrow a_1=b_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ এবং আমরা অবশ্যই আছে $(\lambda x_1.x_1)a_1=(\lambda x_1.x_1)(b_2[a_2/x_2])\leftarrow (\lambda x_1.x_1)((\lambda x_2.b_2)a_2)\rightarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ ।
- যদি $y_1\not=x_1$ , তবে আমরা কেবল (থ্রো) ব্যবহার করতে পারি।
একই প্রমাণগুলি প্রয়োগ করা হয় $b_2$ একটি পরিবর্তনশীল।
জন্য $b_1=\lambda y.c_1$ এবং $b_2=\lambda y.c_2$ , অনুমান হয়ে $(\lambda x_1.\lambda y. c_1)a_1\rightarrow \lambda y.c_1[a_1/x_1]=\lambda y.c_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.\lambda y.c_2)a_2$ এবং আনয়ন হাইপোথিসিস দেয় $d$ যেমন যে $(\lambda x_1.c_1)a_1\leftarrow d\rightarrow (\lambda x_2.c_2)a_2$ যা বোঝা $\lambda y.(\lambda x_1.c_1)a_1\leftarrow \lambda y.d\rightarrow \lambda y.(\lambda x_2.c_2)a_2$ । দুর্ভাগ্যক্রমে, আমাদের $\lambda y.(\lambda x_2.c_2)a_2\rightarrow (\lambda x_2.\lambda y.c_2)a_2$ । (এই আমার মনে হয় $\sigma$ -reduction।)
অ্যাপ্লিকেশনের জন্য একই সমস্যা দেখা দেয় দুটো কারণে: $\lambda$ গুলি যেখানে তারা হওয়া উচিত নয়।

lambda-calculus term-rewriting

— xavierm02
সূত্র

@chi আমি যদি ভুল আছি,

কাজ করে।

(λ b . y b) y \leftarrow (λ a . (λ b . a b) y) y \to (λ a . a y) y

$(\lambda b.yb)y\leftarrow(\lambda a. (\lambda b. a b)y)y\rightarrow (\lambda a. a y)y$

— xavierm02

আমি কিছুটা @ চির সাথে একমত যে আপনি এটি সম্পর্কে চিন্তাভাবনা করার পরে এবং বেশ কয়েকটি পাল্টা উদাহরণ দেখার পরে এটি সঙ্গম বলে মনে হচ্ছে। কিন্তু আসলে কি বিষয়ে

(λ x . x x y) y \to y y y \leftarrow (λ x . y x x) y

$(\lambda x.x\;x\;y)\;y \to y\;y\;y \leftarrow (\lambda x.y\;x\;x)\;y$

— রোডল্ফ লেপিগ্রে

যদিও এটি সত্য হলে এটি আমার পক্ষে সুবিধাজনক হবে তবে আমি কিছুটা হতাশাবাদী। আমার একজন সহকর্মী নিম্নলিখিত মন্তব্য করেছিলেন যা এটি অসম্ভব বলে মনে হচ্ছে: এটি বোঝানো চাই যে একই (গির্জার) পূর্ণসংখ্যা গণনা করা কোনও দুটি স্বেচ্ছাচারিত প্রোগ্রাম একত্রিত করা যায়।

— xavierm02

উত্তর না হয়। বরেনড্রেগেটে 3.5.11 ব্যায়াম প্লটকিনকে দায়ী করা একটি পাল্টা উদাহরণ দেয়, তবে কোনও রেফারেন্স ছাড়াই:

এবং

। আমি একটি প্রমাণ সন্ধান করতে যাচ্ছি।

(λ x . b x (b c)) c

$(\lambda x. b x (b c)) c$

(λ x . x x) (b c)

$(\lambda x. x x) (b c)$

— গিলস 'এস-অশুভ হওয়া বন্ধ করুন'

আমি উত্তর হিসাবে কাউন্টারটেক্সেল পোস্ট করেছি, যা আমি প্রমাণ হিসাবে ভেবেছিলাম তা দিয়ে, তবে আমি একটি পদক্ষেপ বের করতে পারি না। যদি কেউ এটি বের করতে পারে তবে দয়া করে একটি উত্তর পোস্ট করুন এবং আমি আমার মুছুন।

— গিলস 'তাই মন্দ হওয়া বন্ধ করুন'

উত্তর:

দুটি পাল্টা উদাহরণ:

$(\lambda x. b x (b c)) c$ এবং $(\lambda x. x x) (b c)$ (প্লটকিন)।
$(\lambda x. a (b x)) (c d)$ এবং $a ((\lambda y. b (c y)) d)$ (ভান ওস্ট্রোম)।

নীচে উল্লিখিত কাউন্টারেক্সেক্সামটি ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসে দেওয়া হয়েছে : এর সিনট্যাক্স এবং শব্দার্থবিজ্ঞান এইচপি বারেনারেডগেট, সংশোধিত সংস্করণ (1984), অনুশীলন 3.5.11 (vii) করেছেন। এটি প্লটকিনের জন্য দায়ী (কোনও সঠিক উল্লেখ নেই)। আমি একটি অসম্পূর্ণ প্রমাণ দিই যা টেক ফাইভ: একটি ইজি এক্সপেনশন এক্সারসাইজ ( ১৯৯ 1996) [পিডিএফ] - তে একটি ভিন্ন কাউন্টারেরেক্সামালের ভিনসেন্ট ভ্যান ওস্ট্রোমের প্রমাণ থেকে অভিযোজিত ।

প্রমাণের ভিত্তি হ'ল মানীয়করণের উপপাদ্য, যা আমাদের নির্দিষ্ট ফর্মের কেবল বিটা বিস্তৃতি বিবেচনা করতে দেয়। স্বজ্ঞাতভাবে বলতে গেলে, একটি স্ট্যান্ডার্ড হ্রাস হ্রাস এমন একটি হ্রাস যা এর সমস্ত সংকোচনাকে বাম থেকে ডানে পরিণত করে। আরও স্পষ্টভাবে, একটি হ্রাস হ'ল মানহীন যদি কোনও পদক্ষেপ $M_i$ যার রেডেক্সটি পূর্ববর্তী পদক্ষেপ $M_j$ রেডেক্সের বামদিকে একটি রেডেক্সের অবশিষ্টাংশ ; "Left" এবং একটি redex জন্য "অধিকার" অবস্থান দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় $\lambda$ যে যখন redex সংকুচিত হয় দূর হয়ে যায়। প্রমিতকরণ উপপাদ্য বলে যে সেখানে যদি $M \rightarrow_\beta^* N$ তারপর একটি প্রমিত হ্রাস থেকে $M$ থেকে $N$ ।

যাক $L = (\lambda x. b x (b c)) c$ এবং $R = (\lambda x. x x) (b c)$ । উভয় পদ বিটা-হ্রাস করতে $b c (b c)$ এক ধাপে।

মনে করুন যে এখানে একটি সাধারণ পূর্বপুরুষ $A$ রয়েছে যা $L \leftarrow_\beta^* A \rightarrow_\beta^* R$ । প্রমিতকরণের উপপাদ্যকে ধন্যবাদ, আমরা ধরে নিতে পারি যে উভয় হ্রাস প্রমিত। সাধারণত্ব ক্ষতি ছাড়া, যে অনুমান করা $A$ প্রথম পদক্ষেপ যেখানে এই কমানোর ভিন্ন হয়। এই দুটি হ্রাসের মধ্যে, আসুন $\sigma$ সেই এক যেখানে প্রথম ধাপের পুনরায় অপরটির বাম দিকে চলে আসুন এবং $A = C_1[(\lambda z. M) N]$ যেখানে $C_1$ এই সংকোচনের প্রসঙ্গ এবং $(\lambda z. M) N$ হল রিডেক্স। যাক $\tau$ অন্যান্য হ্রাস করা।

যেহেতু $\tau$ স্ট্যান্ডার্ড এবং এটির প্রথম ধাপটি $C_1$ এর গর্তের ডানদিকে , এটি $C_1$ বা তার বামে সংকোচ করতে পারে না। অতএব চূড়ান্ত শব্দটি $\tau$ ফর্ম হল $C_2[(\lambda z. M') N']$ যেখানে অংশগুলি $C_1$ এবং $C_2$ তাদের গর্ত বাম অভিন্ন, $M \rightarrow_\beta^* M'$ এবং $N \rightarrow_\beta^* N'$ । যেহেতু $\sigma$ এ কমিয়ে শুরু $C_1$ এবং কখনও আরও বাম হ্রাস, তার ফাইনাল টার্ম ফর্ম হওয়া আবশ্যক $C_3[S]$ যেখানে অংশ $C_3$ তার গর্ত বাঁদিকে বাম অংশ অভিন্ন $C_1$ এবং $C_2$ , এবং $M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* S$ ।

$L$ $R$ $\tau$ $\lambda z. M$ $L$ $R$ $\tau$ $N$ $C_1 = C_2 = C_3 = []$

$\tau$ $R$ $M \rightarrow_\beta^* z z$ $N \rightarrow_\beta^* b c$ $M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* (\lambda x. b x (b c)) c$ $N$ $L$ $b c$ $N$ $N$ $\sigma$ $\check{N} P$ $\check{N}$ $N$ $L$ $b c$ $b c$ $N$ $L$ $b c$
$\tau$ $L$ $M \rightarrow_\beta^* b z (b c)$ $N \rightarrow_\beta^* c$ $M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* (\lambda x. x x) (b c)$ $N$ $R$ $c$

$N$ $M$

— গিলস 'তাই খারাপ হওয়া বন্ধ করুন'
সূত্র

$\beta$ $x$ $v$ $(\lambda x.v)\;t_1 \to_\beta v$ $(\lambda x.v)\;t_2 \to_\beta v$ $t_1$ $t_2$ $\beta$ $t_1$ $t_2$ $u$ $u \to_\beta^\ast t_1$ $u \to_\beta^\ast t_2$

— রডলফ লেপিগ্রে
সূত্র

(λ x . v) t_{1} \leftarrow (λ x . (λ x . v) t_{1}) t_{2} \to (λ x . v) t_{2}

$(\lambda x .v) t_1\leftarrow (\lambda x .(\lambda x .v) t_1)t_2\rightarrow (\lambda x .v) t_2$

অভিশাপ, ঠিক বলেছেন! আমি পরে আরও কিছু চিন্তা করার চেষ্টা করব, আমার এখনই সময় নেই।

— রোডল্ফ লেপিগ্রে