এই সর্বোত্তম ভ্রমণের সমস্যাগুলি কি গাছগুলিতে সময়সীমা এনপি-হার্ডের আওতায় রয়েছে?

Question

আমার এক বন্ধু আমাকে গাছের নীচের সময়সূচী সমস্যা জিজ্ঞাসা করেছেন। আমি এটি দেখতে খুব পরিষ্কার এবং আকর্ষণীয়। এটির জন্য কোনও রেফারেন্স আছে?

সমস্যা: একটা গাছ , প্রতিটি প্রান্ত 1 প্রতিসম ট্রাভেলিং খরচ হয়েছে । প্রতিটি প্রান্তবিন্দু জন্য বনাম আমি , সেখানে একটি টাস্ক যা আগে তার নির্দিষ্ট সময়সীমা কাজ করতে হবে প্রয়োজন ঘ আমি । কার্যটি v i হিসাবেও চিহ্নিত করা হয় । প্রতিটি টাস্কের সমান মান থাকে 1. প্রসেসিংয়ের সময় প্রতিটি টাস্কের জন্য 0 হয় , যেমন কোনও টাস্কের সময়সীমা শেষ হওয়ার আগে তার পরিদর্শন করার সমান হয়। সাধারণত্ব ক্ষতি ছাড়া যাক বনাম 0 রুট চিহ্নিত এবং অভিমানী কোন অবস্থিত টাস্ক বনাম 0 । ভি 0 তে একটি যান রয়েছে$T(V,E)$$v_i$$d_i$$v_i$$v_0$$v_0$$v_0$সময়ে 0। এছাড়াও, আমরা ধরে নিই যে প্রতিটি পর্বের জন্য $d_i \ge dep_i$ , v i এর গভীরতা । এটি স্বতঃস্ফূর্ত, এর গভীরতার চেয়ে কম সময়সীমা সহ ভার্টেক্সটি আউটলেট হিসাবে নেওয়া উচিত। সমস্যাটি একটি সময় নির্ধারণের জন্য জিজ্ঞাসা করে যা যতগুলি সম্ভব কাজগুলি শেষ করে।$dep_i$$v_i$

অগ্রগতি:

1. গাছ একটি পাথ অবধি সীমিত থাকবে, তাহলে এটি হল গতিশীল প্রোগ্রামিং মাধ্যমে।$\mathsf{P}$
2. গাছটি যদি কোনও গ্রাফটিতে সাধারণীকরণ করা হয়, তবে এটি কমপ্লিটে রয়েছে।$\mathsf{NP}$
3. আমার কাছে খুব সাধারণ লোভী অ্যালগরিদম রয়েছে যা বিশ্বাস করা হয় 3-ফ্যাক্টর অ্যাপোরক্সিমেশন। আমি এটি পুরোপুরি প্রমাণ করে দেখিনি। ঠিক আছে, আমি এনপি-হার্ড ফলাফল সম্পর্কে আরও আগ্রহী। :-)

আপনার উপদেশের জন্য ধন্যবাদ.

Comments

একটি সম্পূর্ণ গ্রাফ এ, কাজ সহজ হবে? কেবল একটি সাধারণ লোভী অ্যালগরিদম ব্যবহার করুন ...

— জো

@Joe: হ্যাঁ। কারণ প্রতিটি প্রান্তে 1 ইউনিট ভ্রমণ প্রয়োজন, সুতরাং "ক্রসরোড" এর মধ্যে কোনও পছন্দ নেই। হ্যাঁ, আপনি কি এখনও এই সমস্যায় আগ্রহী? হতে পারে আমরা ইমেলের মাধ্যমে কথা বলতে পারি। :-)

— পেং ঝাং

যদি সমস্ত সময়সীমা একই হয় এবং / অথবা আমরা কেবল সমস্ত কাজ শেষ করতে পারি কিনা তা জিজ্ঞাসা করব?

— ডোমোটরপ

@ ডমোটরপ: যদি এটি একটি নির্দিষ্ট সময়সীমার সাথে সমস্ত কাজ শেষ করতে বলে, তবে উত্তরটি হ্যাঁ যদি হয় এবং শুধুমাত্র যদি অভিন্ন সময়সীমা । গভীরতা প্রথম অনুসন্ধান। ক্ষেত্রে ক্ষেত্রে সর্বোত্তম সমস্যা হিসাবে ডি < | ভি | , এটা সহজ কিনা তা আমি জানি না। এই সমস্যাটি সম্পর্কে অনেকগুলি বৈচিত্র রয়েছে, যেমন বিবেচনা করে কী কী সময়সীমা একটি সীমাবদ্ধ সেট থেকে মান গ্রহণ করে যার কার্ডিনালটি ধ্রুবক? আপনার মন্তব্যের জন্য আপনাকে অনেক ধন্যবাদ। $d\ge |V|$$d< |V|$

— পেং ঝাং

আমি বলব এনপি-হার্ড শিডিয়ুলিং চিড়িয়াখানাটি দেখুন , যদি আমি আপনার সমস্যার ভুল বোঝে except

— গোপি

Answer 1

নিশ্চিত না যে এটি আপনার উত্তর (নীচে দেখুন) তবে মন্তব্যগুলির জন্য কিছুটা দীর্ঘ।

আমি যদিও আপনার সমস্যাটি এমন কিছু ছিল: $(P|tree;p_i=1|\Sigma T_i)$ , যেখানে:

• অভিন্ন একজাতীয় প্রসেসর,$P$
• "গাছ" বলতে গাছের রূপকে সীমাবদ্ধতা বোঝায়,
• বোঝায় কাজের ওজন 1 এর সমান এবং এবং$p_i=1$
• বিলম্বন যোগফল কমিয়ে ঘোরা (অর্থাত, যে তাদের সময় সীমার পরে শেষ কাজগুলো নম্বর)।$\Sigma T_i$

যদি এটি হয় তবে আপনার সমস্যাটি এনপি-হার্ড: আপনি এটিকে নজরে রাখতে পারেন সীমাবদ্ধতাগুলির সাথে একক মেশিনে সম্পূর্ণ অসচেতনতা হ্রাস করার সাধারণীকরণ হিসাবে । প্রকৃতপক্ষে এই কাগজটিতে বলা হয়েছে যে একাধিক লিনিয়ার চেইনের জন্য এটি একটি একক প্রসেসরের এনপি-হার্ড। সহজ রূপান্তরটি হ'ল ফর্মের গাছগুলিকে এক মূলের এবং মূল থেকে শুরু করে লিনিয়ার চেইন নেওয়া।

তবে আমি অবাক হয়েছি কারণ আপনি মনে করছেন যে একক লিনিয়ার চেইনের ক্ষেত্রে আপনি ডায়নামিক প্রোগ্রামিং ব্যবহার করবেন। আপনার কেন ডিপি লাগবে তা আমি দেখতে পাচ্ছি না, যেহেতু আমার কাছে মনে হয় যে একটি একক রৈখিক চেইনের সময় নির্ধারণের সময় অগ্রাধিকারের সীমাবদ্ধতার কারণে আপনার বেশি পছন্দ হয় না: কেবল একটি একক পছন্দ। সুতরাং আমি আপনার সমস্যা ভুল বুঝেছি।

Comments

আমার সমস্যাটি আপনার থেকে আলাদা বলে মনে হচ্ছে। খনিটি হ'ল, "একটি মূলযুক্ত গাছ, ভ্রমণ মূল্যের ইউনিট সময়, প্রতিটি সময়সীমা নির্ধারিত সময় সহ একটি টাস্কের সাথে, কার্যটির পূর্ববর্তী হওয়ার জন্য কোনও সময় প্রয়োজন হয় না the মূল থেকে শুরু করে, কতগুলি কাজ শেষ করা যায়?" সুতরাং কোনও নজির নেই, কোনও কার্য প্রক্রিয়া করার জন্য কোনও সময় প্রয়োজন নেই। আপনাকে অনেক ধন্যবাদ.

— পেং ঝাং

@ পেংজ্যাং, যদি এটি একটি শিকড় গাছ হয়, তবে এর নজির আছে? প্রান্তের ব্যয় (অগ্রাধিকার?) বা কার্যগুলি হিসাবে, এটি আমার কাছে একই জিনিস বলে মনে হয়। আমি সত্যই উভয়ের মধ্যে পার্থক্য দেখতে পাচ্ছি না। অবশেষে কতগুলি কাজ সমাপ্ত হতে পারে, আপনি যদি তাদের সময়সীমার পরে শেষ হওয়া কাজের সংখ্যাকে ন্যূনতম করেন তবে এটি শেষ হওয়া কাজগুলির সর্বাধিক করার সমতুল্য। আপনি যা আশা করছেন তার কোনও ছবি আঁকতে পারেন?

— গোপী

আমি দুটি সমস্যার মধ্যে সুস্পষ্ট সম্পর্ক দেখতে পাচ্ছি না। মূল সমস্যাটিতে, পরবর্তী নোডে যাওয়ার ব্যয় নির্ভর করে পূর্ববর্তী পদক্ষেপে কোন নোডটি পরিদর্শন করা হয়েছিল তার উপর। অগ্রাধিকার-সীমাবদ্ধ সময়সূচিতে, প্রসেসেন্সের জন্য পরবর্তী কাজের ব্যয় নির্ভর করে না পূর্ববর্তী পদক্ষেপে কোন কাজটি প্রক্রিয়া করা হয়েছিল, ততক্ষণ অগ্রাধিকারের সীমাবদ্ধতা ততক্ষণ সীমাবদ্ধ থাকে।

— ইয়োশিও ওকামোটো

$1,2,\cdots, n$$f(t,l,r)$$[l,r]$$t$$l$$g(t,l,r)$$f(t,l,r)$$r$$f(t,l,r)$$\{f(\cdot,l+1,r), g(\cdot,l,r-1)$$t,l,r$

— পেং ঝাং

@ পেংজ্যাং, ঠিক আছে, আমি মনে করি আপনি কী বোঝাতে চেয়েছেন সে সম্পর্কে আমার আরও ভাল ধারণা রয়েছে। আমি এখনও বিশ্বাস করি যে কেউ যে শাখাগুলি পাথ রয়েছে (সেইজন্য মূলযুক্ত প্যাথগুলি) রয়েছে এমন বিশেষ গাছ বিবেচনা করে আমি যে কাগজটি দিয়েছিলাম তা সহজেই খাপ খাইয়ে নিতে পারে।

— গোপী

Answer 2

এটি সত্য হওয়ার জন্য আমাদের কিছু অনুমান করতে হবে। নীচে মন্তব্য দেখুন

$t_a$$t_b$

$|V|$

Comments

$f[a, t, t']$$a$$[t,t']$$a$

বিন্দু (1) পয়েন্ট (2) এর মতো সমস্যা নয়। আমার ধারণাটি প্রথম যেমনটি কল্পনা করেছিলাম তেমন কাজ করার জন্য, এটির প্রয়োজন যে আপনি একাধিকবার উপ-ট্রি থেকে প্রস্থান এবং পুনরায় প্রবেশ করবেন না। এটি সুস্পষ্ট নয় যে সর্বোত্তম সমাধান গাছের চারপাশে ঝাঁপ দেয় না: একটি পাতা এবং শিকড়ের কাছাকাছি কিছু পেয়ে যায় এবং একটি পাতায় চলে যায় এবং তারপরে অন্য 2 থেকে খুব দূরে অন্য কোনও পাতায় যায় You এই সত্যটি কাজে লাগাতে যে আপনি যে কোনও পথে চলতে থাকলে সমস্ত নোড পাবেন। বিশেষত যদি কোনও শিশু পরিদর্শন করা হয় তবে পিতা-মাতা ইতিমধ্যে পরিদর্শন করেছেন।

— জো

: আমার দৃষ্টিতে , বিন্দু (1) আসলেই একটি সমস্যা । বিন্দু (2) এর জন্য, আমি বাধাটিকে "পুনরায় প্রবেশ করিনি" "গভীরতা প্রথম অনুসন্ধান" বাধা হিসাবে ডেকেছি। ডিএফএসের সীমাবদ্ধতা সাধারণত সাহিত্যে গৃহীত হয়। এবং এই সীমাবদ্ধতার অধীনে, আমার সমস্যাটি প্রকৃতপক্ষে বহুপদী, যতক্ষণ না গাছের সর্বাধিক ডিগ্রি স্থির থাকে । সুতরাং আমি আশ্চর্য হলাম আমার প্রশ্নটি এনপি-হার্ড। আপনাকে অনেক ধন্যবাদ.

— পেং ঝাং

ডিএফএস সীমাবদ্ধতা সম্পর্কে, যেখানে অনুকূল সিকোয়েন্স এই সীমাবদ্ধতা লঙ্ঘন করে সেখানে একটি উদাহরণ তৈরি করা সহজ। 7 টি নোড সহ একটি সম্পূর্ণ, ভারসাম্য বাইনারি গাছ বিবেচনা করুন। বাম সাবট্রিতে 2 টি পাতাগুলির সময়সীমা 2 এবং 12, ডান সাবট্রিতে 2 টি পাতাগুলির সময়সীমা 8 এবং 6 এবং অভ্যন্তরীণ নোডের সময়সীমা 100 থাকতে পারে 2, , 12; অন্য কোনও আদেশ কমপক্ষে একটি সময়সীমা লঙ্ঘন করে।

— মুহম্মে

Answer 3

এই মামলার জন্য অবিচ্ছিন্নভাবে অনুমান করা বা এটি এনপি-হার্ড প্রমাণিত করার সমস্যা এখনও খোলা আছে এবং যে কোনও ফলাফলের জন্য একটি ভাল প্রকাশনা হবে। কিছু বিশেষ মামলা সমাধান করা হয়েছে। আমার সাথে অন্যদেরও কিছু আংশিক ফলাফল রয়েছে যা মাকড়সা, ধ্রুবক-উচ্চতা গাছের মতো বিশেষ ক্ষেত্রে সমাধান করে। তবে, গাছগুলির জন্য সাধারণ সমস্যা সমাধান করা হয়নি।