নির্ধারিত মডুলো মি

কী কোফিসিয়েন্টস সঙ্গে একটি পূর্ণসংখ্যা ম্যাট্রিক্স একটি নির্ধারক কম্পিউটিং জন্য পরিচিত দক্ষ আলগোরিদিম হয় $\mathbb{Z}_m$ , তলানি রিং modulo $m$ । সংখ্যা প্রধানমন্ত্রী কিন্তু যৌগিক নাও হতে পারে (তাই কম্পিউটেশন, একটি ক্ষেত্র রিং সঞ্চালিত হয় নয়)। $m$

আমি যতদূর জানি (নীচে পড়ুন), বেশিরভাগ অ্যালগরিদমগুলি গাউসিয়ান নির্মূলকরণের পরিবর্তন। প্রশ্ন এই পদ্ধতিগুলির গণ্য দক্ষতা সম্পর্কে।

যদি এটি ঘটে থাকে যে কিছু ভিন্ন পদ্ধতির রয়েছে, তবে আমি এটি সম্পর্কে কৌতূহলও বোধ করি।

আগাম ধন্যবাদ.

হালনাগাদ:

আমাকে এই প্রশ্নের উত্স ব্যাখ্যা করতে দিন। ধরুন, একটি প্রাথমিক সংখ্যা। সুতরাং একটি ক্ষেত্র। এবং এই ক্ষেত্রে আমরা চেয়ে কম সংখ্যার ব্যবহার করে সমস্ত গণনা সম্পাদন করতে পারি , সুতরাং সংখ্যায় সমস্ত ক্রিয়াকলাপের উপর আমাদের কিছু সুন্দর উপরের আবদ্ধ রয়েছে: সংযোজন, গুণ এবং বিপরীত --- গাউসিয়ান নির্মূলকরণ চালানোর জন্য প্রয়োজনীয় সমস্ত অপারেশন। $m$ $\mathbb{Z}_m$ $m$

অন্যদিকে আমরা যদি কিছু সংখ্যার জন্য বিপর্যয় সঞ্চালন করা সম্ভব নয় না একটি মৌলিক। নির্ণায়ক নির্ণয়ের জন্য আমাদের কিছু কৌশল দরকার। $m$

এবং এখন আমি কৌতূহলী হয়েছি যে কাজটি করার জন্য কী কৌশল এবং এই জাতীয় কৌশলগুলি এবং বইয়ের কাগজপত্রগুলি পাওয়া যায়।

— ভ্যালারি সোকলভ
সূত্র

`` দক্ষ '' বলতে কী বোঝ? সমস্যাটি স্পষ্টভাবে

।

P

$P$

— ডেভিড

হয়

একটি ধ্রুবক সংশোধন? কীভাবে দেওয়া হয়?

m

$m$

— মাইকেল ব্লন্ডিন

ছোট বলতে কী বুঝ? এগুলি কি আনারিতে লেখা যায়?

— মাইকেল ব্লন্ডিন

আমি এখনও প্রশ্ন বুঝতে পারি না। একটি পূর্ণসংখ্যা ম্যাট্রিক্স নির্ধারক, বহুপদী সময় নির্ণিত করা যাবে, সুতরাং আপনি শুধুমাত্র এই মান মডিউল নিতে পারেন

। কোন প্রয়োজন বিভাগের সম্পাদন করতে

বা গুণকনির্ণয় এটি

।

m

$m$

Z_{m}

$Z_m$

m

$m$

— ডেভিড

@ ভ্যালারি সোকলভ: এটি মৌলিক লিনিয়ার বীজগণিত। উদাহরণস্বরূপ, দয়া করে ক্রিস্টোস এইচ। পাপাদিমিট্রিউ দ্বারা গণিত জটিলতার 11.5.3 সমস্যা পরীক্ষা করুন ।

— Tsuyoshi Ito

উত্তর:

আপনি যদি জানেন তবে আপনি প্রতিটি আলাদাভাবে গণনা করতে পারেন এবং তারপরে চাইনিজ রিমেন্ডারিং ব্যবহার করে ফলাফলগুলি একত্রিত করতে পারেন। যদি , তারপর কম্পিউটিং মডিউল যেহেতু এই একটি ক্ষেত্র সহজ হয়। বৃহত্তর , আপনি হেন্সেল লিফটিং ব্যবহার করতে পারেন। $m = p_1^{e_1} \cdots p_n^{e_n}$ $p_i^{e_i}$ $e_i = 1$ $p_i^{e_i}$ $e_i$

— মার্কাস ব্লুজার
সূত্র

ধন্যবাদ! এটি এমন কিছু যা আমি খুঁজছিলাম looking এটি কি নির্ধারকদের জন্য একটি সাধারণ অভ্যাস? (তথ্যসূত্র স্বাগত)।

— ভ্যালারি সোকলভ

এগুলি কমপিউটার বীজগণিতের স্ট্যান্ডার্ড কৌশল। ভন জুর গাথেন এবং গারহার্ড বা কম্পিউটার বীজগণিত সম্পর্কিত অন্য কোনও বই দ্বারা আধুনিক কম্পিউটার বীজগণিতটি দেখুন। আপনার নির্দিষ্ট সমস্যার জন্য, প্যান, ইউ এবং স্টিয়ার্ট ধূমকেতু.লেহম্যান.cuny.edu/vpan/pdf/pan146.pdf

— মার্কস ব্লুজার

মহাজন এবং বিনয়ের একটি সমন্বিত অ্যালগরিদম রয়েছে যা কমিটিকেটিভ রিংয়ের উপরে কাজ করে: http://cjtcs.cs.uchicago.edu/articles/1997/5/contents.html

— সাশো নিকোলভ
সূত্র

খুব আকর্ষণীয় কাগজের লিঙ্ক সহ আপনার জবাবের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ।

— ভালেরি সোকলভ

এছাড়াও আমি বিশ্বাস করি যে আরও বেশি দক্ষ অ্যালগরিদম রয়েছে যেহেতু এই কাগজের লেখকরা আরও সাধারণ সমস্যা সমাধান করেছেন (যে কোনও যাতায়াত রিংয়ের জন্য)।

— ভালেরি সোকলভ

"সেখানে" বলতে কি আপনার অর্থ "জ্ঞাত" বা "অস্তিত্ব" আছে (তবে এখনও পাওয়া যায় নি)? এটি একটি যুক্তিসঙ্গত অনুমান, তবে আমি কিছুটা সন্দেহবাদী যে একটি ছোট সংমিশ্রিত সংখ্যার মোড়কটির রিংয়ের কাঠামো আপনাকে এতটা সহায়তা করতে পারে। যদি আমি ভুল হয়, আমি এটি আকর্ষণীয় মনে হবে।

— সাশো নিকোলভ

@ ভালেরি সোকলভ ন্যায্য হতে, যেহেতু উত্তরটি আপনার প্রশ্নের জবাব দেয়, আপনি এটি গ্রহণ করার বিষয়টি বিবেচনা করতে পারেন (বা যদি আপনি সম্ভবত আরও উত্তরের জন্য অপেক্ষা করতে চান যা অযৌক্তিক না হয়)

— সুরেশ ভেঙ্কট

@ সাশোনিকোলোভ আমি খুঁজে পেয়েছি যে ওল্ফ্রাম ম্যাথামেটিকাকে কোনওভাবে এটি গুনে। "বাস্তবায়ন নোটগুলি" তে তারা বলে: ডিট মডিউলার পদ্ধতিগুলি এবং সারি হ্রাস ব্যবহার করে, চীনা বাকী থিমটি ব্যবহার করে একটি ফলাফল তৈরি করে। তারা ঠিক কী করে তা আমি জানতে চাই, তবে দ্রুত অনুসন্ধান আমাকে কিছুই দেয়নি। "ক্ষুদ্র যৌগিক

" হিসাবে এটির অর্থ কেবলমাত্র আমি এই রিংটিতে সংযোজন এবং গুণনের জটিলতাটিকে

।

এর মতো সমস্ত কারণকে

হিসাবে বিবেচনা করা হয় ।

m

$m$

O (1)

$O(1)$

O (\log m)

$O(\log m)$

O (1)

$O(1)$

— ভালেরি সোকলভ

এই সমস্যাটির সমাধানের জন্য স্মিথের স্বাভাবিক ফর্মগুলির উপর ভিত্তি করে একটি দ্রুত নির্বাহী অ্যালগরিদম রয়েছে যার নিকৃষ্টতম জটিলতাটি পূর্ণসংখ্যার মডুলোর উপর ম্যাট্রিক্স-গুণনের ব্যয় দ্বারা উপরের সীমিত । যে কোনও ম্যাট্রিক্স জন্য অ্যালগরিদম তার স্মিথকে স্বাভাবিক রূপ দেয়, যেখানে থেকে সহজেই গণনা করা যায়। $m$ $A$ $\text{det}(A)$

আরও concrete , সংজ্ঞায়িত করুন যাতে থেকে নেওয়া সহগের সাথে দুটি ম্যাট্রিকগুলি (পূর্ণসংখ্যা সংযোজন, গুণ, ক্ষয় ইত্যাদি) এর সাহায্যে বুনিয়াদি গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলি দিয়ে গুণিত করা যায়। তারপর, $\omega$ $n \times n$ $\mathbb{Z}_m$ $O(n^{\omega})$ $\mathbb{Z}_m$

একটি ম্যাট্রিক্স , সেখানে একটি অ্যালগরিদম রয়েছে যা [1] এর উপর বুনিয়াদি গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলি গণনা করে । $A\in \mathbb{Z}_m^{n \times n}$ $\text{det}(A)$ $O(n^{\omega})$ $\mathbb{Z}_m$

১৯৯ in সালে যখন এটি লেখা হয়েছিল সেখানে কোনও asympototically দ্রুত বিকল্প ছিল না (কাগজটি একই বাউন্ডের সাথে অ্যালগরিদমের পূর্ববর্তী অস্তিত্বের উল্লেখ করেছে তবে আমি জানি না কোনটি, বা তারা সম্ভাব্য কিনা)।

আপডেট (17 জুলাই, 2013): এই অ্যালগরিদম একটি চমৎকার বোনাস বৈশিষ্ট্য যা তা চালনা করে বহুপদী সময় নির্বিচারে জন্য যৌগিক একটি মৌলিক-nuber জেনে গুণকনির্ণয় এর ! এটি ভাল কারণ যেহেতু ফ্যাক্টরিংয়ের জন্য কোনও দক্ষ (ধ্রুপদী) অ্যালগরিদম নেই (অবশ্যই যদি আপনার কোয়ান্টাম কম্পিউটার থাকে তবে আপনি শোর অ্যালগরিদম প্রয়োগ করতে পারেন )। আপনি যদি না গুণকনির্ণয় আছে তারপর অ্যালগরিদম মার্কুস প্রস্তাব পথ বাস্তবায়ন সহজ বলে মনে হয়। $m$ $m$

দ্রষ্টব্য: কাগজে, "বুনিয়াদি গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলির জটিলতা হ'ল যদি আপনি স্ট্যান্ডার্ড পূর্ণসংখ্যার গাণিতিক ব্যবহার করেন তবে দ্রুত কৌশলগুলির সাহায্যে আপনি অর্জন করতে পারেন । দুটি বিট সংখ্যার পূর্ণসংখ্যা ব্যয় করতে সীমাবদ্ধ । জন্য বর্তমান রেকর্ড হয় 2,3727 । $O(\log^2 m)$ $O(M(\log m)\log \log m)$ $M(t)$ $t$ $\omega$

— জুয়ান বার্মেজো ভেগা
সূত্র

θ

$\theta$

ω

$\omega$

সম্ভবত, আমি এটির জন্য সবচেয়ে সাধারণ স্বরলিপিটি জানি না।

— জুয়ান বার্মেজো ভেগা

আমি মনে করি আপনি ঠিক বলেছেন, আমি এটিকে "মূল ধারা" হিসাবে পরিবর্তন করব

— হুয়ান বার্মেজো ভেগা