ট্রান্সইডেন্টাল সংখ্যার সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্যতা

Question

আমার একটি প্রশ্ন রয়েছে, যার উত্তর সম্ভবত সুপরিচিত, তবে আমি কিছুটা অনুসন্ধানের পরেও অর্থবহ কিছু খুঁজে পাচ্ছি না, তাই আমি কিছুটা সাহায্যের প্রশংসা করব।

আমার প্রশ্ন হ'ল এটি কিনা জানা যে কোনও সংখ্যাকে ট্রানসেন্টালেন্টাল কিনা তা সিদ্ধান্ত গ্রহণ করা অনস্বীকার্য।

সম্ভবত, কেউ ইনপুট হিসাবে ধরে নিয়েছে, এমন একটি প্রোগ্রাম বলুন যা সংখ্যার i ^ th বিট দেয়। কোন পয়েন্টার জন্য অগ্রিম ধন্যবাদ।

Comments

যদি রিয়েলসকে প্রদত্ত বিটের গণনা করা প্রোগ্রামগুলি বা প্রোগ্রামগুলি যৌক্তিক আনুমানিকতা বা অন্য কোনও ধরণের প্রোগ্রামের কম্পিউটিং দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, তবে বাস্তবগুলির একমাত্র নির্ধারিত সেটগুলি হ'ল তুচ্ছ (যেমন, যেগুলিতে সমস্ত গণনাযোগ্য রিয়েল থাকে বা কোনও গণনযোগ্য রিয়েল থাকে না) , রাইসের উপপাদ্য দ্বারা।

— এমিল জেব্যাক

কীভাবে তা বোঝানো হয়েছে? $\:$

Answer 1

ক্রিস্টোফারের সমাধানটি দেখানোর জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে, ধরে নেওয়া যায় যে বাস্তবগুলি উপস্থাপিত হয় যাতে আমরা রিয়েলগুলির ক্রমগুলির সীমাবদ্ধতা গণনা করতে পারি যা গণনাযোগ্য কচির। একটি ক্রম স্মরণ করুন$(a_n)_n$ কোনও গণনীয় মানচিত্র থাকলে গণনাযোগ্য কচী $f$ যেমন যে কোনও দেওয়া $k$ আমাদের আছে $|a_{m} - a_{n}| < 2^{-k}$ সবার জন্য $m, n \geq f(k)$। বাস্তবের স্ট্যান্ডার্ড উপস্থাপনাগুলি এর মতো হয়, উদাহরণস্বরূপ এমন এক যেখানে একটি মেশিন দ্বারা একটি রিয়েলকে উপস্থাপিত করা হয় যা একটি নির্বিচারে ভাল যুক্তিযুক্ত আনুমানিক গণনা করে। (আমরা কম্পিউটিং ডিজিটের ক্ষেত্রেও কথা বলতে পারি, তবে তারপরে আমাদের নেতিবাচক অঙ্কগুলি মঞ্জুর করতে হবে the এটি বাস্তবের গণ্যতা তত্ত্বের একটি সুপরিচিত বিষয়))

উপপাদ্য: ধরুন$S \subseteq \mathbb{R}$এটি একটি উপসেট যেমন একটি গণনাযোগ্য ক্রম বিদ্যমান$(a_n)_n$ যা গণনাযোগ্য কচী এবং এর সীমা $x = \lim_n a_n$বাইরে । তাহলে প্রশ্ন " একটি উপাদান একটি বাস্তব সংখ্যা " অনস্বীকার্য id$S$$x$$S$

প্রুফ। ধরুন নির্ধারিত ছিল। কোনো টুরিং মেশিন দেওয়া , ক্রম বিবেচনা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা এটি খুব সহজে পরীক্ষা করা যায় যে , তাই আমরা এর সীমা গণনা করতে । এখন আমাদের ইফ এফ বন্ধ রয়েছে, তাই আমরা হ্যালটিং সমস্যা সমাধান করতে পারি। Qed।$S$$T$$b_n$

$$b_n = \begin{cases} a_n & \text{if $T$ has not halted in the first $n$ steps,}\\ a_m & \text{if $T$ has halted in step $m$ and $m \leq n$.} \end{cases}$$ $b_n$$y = \lim_n b_n$$y \in S$$T$

এখানে একটি দ্বৈত উপপাদ্য রয়েছে যা আমরা অনুমান করি যে অনুক্রমটি বাইরে রয়েছে তবে এর সীমাটি ।$S$$S$

সেট উদাহরণ এই শর্তগুলির পরিতৃপ্ত হল: একটি খোলা বিরতি, একটি বদ্ধ অন্তর, নেতিবাচক নম্বর, Singleton , মূলদ সংখ্যার অযৌক্তিক, সংখ্যা, অতীন্দ্রিয় নম্বর, বীজগাণিতিক সংখ্যা, ইত্যাদি$S$$\lbrace 0 \rbrace$

একটি সেট যা উপপাদ্য শর্ত সন্তুষ্ট নয় সেট মূলদ সংখ্যার একটি দ্বারা অনুবাদ অ গণনীয় সংখ্যা । অনুশীলন: কি সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য ?$S = \lbrace q + \alpha \mid q \in \mathbb{Q}\rbrace$$\alpha$$S$

Comments

আপনার উত্তর দেওয়ার জন্য ধন্যবাদ. কেবল একটি ব্যাখ্যা, উপপাদ্যটি কি বলে যে সেট এস এর কমপক্ষে একটি সীমা বিন্দু এস এর বাইরে থাকে, তবে সিদ্ধান্ত নিচ্ছেন যে কোনও উপাদান x এস অনির্বাচনায় আছে কিনা? তারপরে, উদাহরণগুলির মধ্যে বন্ধ বিরতি সম্পর্কে আমি কিছুটা বিভ্রান্ত।

— ইপসফ্যাক্টো

বদ্ধ ব্যবধান দ্বৈত উপপাদ্য যার মাধ্যমে আপনি একটি ক্রম বাহিরে নেওয়া দ্বারা অনুসরণ যার সীমার মধ্যে অবস্থান করছে । $S$$S$

— আন্দ্রেজ বাউয়ার 18

এটার মানে কি জন্য হতে 'বাইরে computably "(হিসাবে" বাহিরে উল্টোদিকে ") ? $x$$S$$S\hspace{.01 in}$$\:$$\;\;$

এটি একটি টাইপ ছিল। আমি এটিকে ফিরিয়ে দিয়েছি, লক্ষ্য করার জন্য ধন্যবাদ তা না হলে, " computably বাইরে মত কিছু অর্থ হতে পারে" "প্রত্যেক জন্য আমরা একটি ইতিবাচক মূলদ গনা পারে যেমন যে ", অর্থাত, বিবৃতি " "উপলব্ধি হয়েছে। কিন্তু আপনি যদি মার্কভ নীতিগতভাবে বিশ্বাসী হন, তাহলে আপনি এই ধরনের একটি মানচিত্র ঠিক যে বুদ্ধিমান দ্বারা পুনর্গঠন করতে নেই , তাই এই ক্ষেত্রে সেখানে 'বাইরে মধ্যে কোন পার্থক্য নেই এবং "computably বাহিরে ।"$x$$S$$y \in S$$q$$d(x,y) > q$$\forall y \in S . \exists q \in \mathbb{Q} . 0 < q < d(x,y)$$x$$S$$S$$S$

— Andrej বাউইর

Answer 2

একটি টুরিং মেশিন দেওয়া , একটি টুরিং মেশিন সংজ্ঞায়িত নিম্নরূপ একটি সংখ্যা প্রতিনিধিত্ব করে ইনপুটের চালানোর জন্য খালি ইনপুটের ধাপ। যদি বন্ধ হয়ে যায় তবে আউটপুট । অন্যথায় আউটপুট তম বিট ।$M$$M'$$i$$M$$i$$M$$0$$i$$\pi$

Answer 3

ট্রান্সসেন্ডেন্টালের সেটটি খোলা থাকে না (বিশেষত, এটি d তে ঘন এবং কোডেন Hence তাই এটি অনির্বাচ্য ।$\mathbf R$$\mathbf R$

Comments

গণনাযোগ্য আসল সংখ্যার সেটটি in (বিশেষত, এটি ঘন এবং কোডেড ) তে খোলা নয় , তবে এটি নির্ধারিত। $\mathbf{R}$$\mathbf{R}$$\:$

রিকি, এটা সত্য নয়। আসল সংখ্যার জন্য একটি ওরাকল দেওয়া, আপনি এটি নির্ধারণ করতে পারবেন না এটি গণনাযোগ্য কিনা।

— ডেভিড হ্যারিস

অ্যালগরিদম দ্বারা আমি যে সেটটি দিয়েছি তা স্থিরযোগ্য, যা সর্বদা "হ্যাঁ" এর উত্তর দেয়। আপনার দ্বিতীয় বাক্যটি দেখায় যে আমি যে সেটটি দিয়েছি তা টাইপ-টু সিদ্ধান্ত নেওয়ার মতো নয়। $\:$$\;\;$

@ রিকি ডেমার: গণনাযোগ্য আসল সংখ্যার সেটটি দুটি ইন্দ্রিয়তে অনস্বীকার্য: (1) bit ম্যাথবিবি একটি স্বেচ্ছাসেবী সূচক দেওয়া হয় , সিদ্ধান্ত নিন যে কোনও ট্যুরিং মেশিনের সূচক যা গণনাযোগ্য বাস্তবকে গণনা করে। (২) একটি স্বেচ্ছাসেবীকে দ্রুত রূপান্তরকারী কচির ক্রম দেওয়া হয়েছে, এটি নির্ধারণযোগ্য ক্রম কিনা তা নির্ধারণ করুন। কোনও সাধারণ জ্ঞান নেই যার মধ্যে গণনাযোগ্য আসল সংখ্যার সেটটি নির্ধারণযোগ্য। $e \in \mathbb{N}$$e$

— কার্ল ম্যামার্ট 21 '17

@ কার্ল: একটি সূচক দেওয়ার জন্য একটি অ্যালগরিদম রয়েছে th ম্যাথবিবি এটি একটি টুরিং মেশিনের সূচক যা একটি গণনাযোগ্য রিয়েলকে গণনা করে, সিদ্ধান্ত নিন যে টিউরিং মেশিনের সূচক যা গণনা করে একটি বাস্তব। এই শুধুমাত্র কারণ, reals এর সেট decidability আকর্ষণীয় ইন্দ্রিয় আপনার (1) ঠিক কোন গণনীয় reals সঙ্গে সেটে সন্তুষ্ট হয় এবং আপনার (2) দ্বারা ঠিক সন্তুষ্ট হয় এবং । $\: e\in \mathbb{N} \:$$e$$\hspace{.1 in}$$\;\;$$\hspace{.2 in}$$\hspace{2.2 in}$$\: \{\} \:$$\mathbf{R}$$\;\;\;$