ওভারল্যাপিং চেনাশোনাগুলির সাথে অ-পরিকল্পনাকারী গ্রাফগুলি উপস্থাপন করা

Question

আমরা জানি যে আমরা বিমানের চেনাশোনাগুলির একটি সেট দ্বারা যে কোনও পরিকল্পনাকারী গ্রাফ উপস্থাপন করতে পারি, যা মুদ্রা গ্রাফ হিসাবে পরিচিত । প্রতিটি চেনাশোনাটি একটি শীর্ষবিন্দু উপস্থাপন করে এবং দুটি চওড়ার মাঝে একটি প্রান্ত রয়েছে যদি এবং কেবলমাত্র চেনাশোনাগুলি তাদের সীমানায় "চুম্বন" করে।

মনে করুন যে পরিবর্তে আমরা চেনাশোনাগুলিকে ওভারল্যাপ করার অনুমতি দিই এবং তাদের অভ্যন্তরটি ছেদ করে এমন একজোড়া চেনাশোনা দ্বারা একটি কিনারা উপস্থাপন করি? এই মডেলটিতে আমরা কোন শ্রেণীর গ্রাফ প্রতিনিধিত্ব করতে পারি? স্পষ্টতই আমরা সম্পূর্ণ গ্রাফগুলি উপস্থাপন করতে পারি (প্রতিটি বৃত্তটি প্রতিটি অন্যান্য বৃত্তকে ছেদ করে)। আমরা কি এই জাতীয় সমস্ত গ্রাফ উপস্থাপন করতে পারি?

Answer 1

সুনির্দিষ্ট নিবন্ধটি হিলেনি এবং ক্রাটোচভিলের 2001 সালের একটি কাগজ it এতে তারা দেখায় যে ডিস্কের ছেদ গ্রাফটি (আপনার প্রশ্ন) সনাক্ত করার সমস্যাটি এনপি-হার্ড, যা বোঝায় যে একটি পরিষ্কার চরিত্রায়ন নিয়ে আসা কঠিন হবে। তারা আরও উল্লেখ করে যে আপনার প্রশ্নের অন্য অংশের উত্তর দিয়ে ডিস্কের ছেদ হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করতে পারে না।$K_{3,3}$

Comments

আরও স্পষ্টভাবে এটি সত্য হওয়া উচিত যে বাস্তবগুলির অস্তিত্বের সিদ্ধান্ত তত্ত্বের জন্য সমস্যাটি সম্পূর্ণ। এই ইউনিট ডিস্ক ছেদ গ্রাফ জন্য পরিচিত হয় - দেখুন homepages.cwi.nl/~mueller/Papers/SphericityDotproduct.pdf - কিন্তু আমি অবাধ ডিস্ক ছেদ গ্রাফ জন্য একটি রেফারেন্স জানি না।

— ডেভিড এপস্টিন

এছাড়াও, ভিসি ডাইমেনশন আর্গুমেন্টগুলি ব্যবহার করে কেউ দেখাতে পারে যে "সরল" আকারগুলি দ্বারা সংজ্ঞায়িত কোনও ছেদ গ্রাফের পরিবারটি বেশ সীমাবদ্ধ এবং অনেকগুলি গ্রাফ অন্তর্ভুক্ত করতে পারে না can বিশেষত, একটি ধ্রুব আকারের গ্রাফ রয়েছে যা তারা প্ররোচিত করতে পারে না।

— সারিল হার-পিল্ড

Answer 2

$n$$n^{3n} \cdot \Theta(1)^n$$2^{{n\choose 2}}$$n$$n^n \Theta(1)^n$$n$
$\Theta(1)^n$$c^n$$C^n$$c,C > 0$

@ ডেভিড: আমার কাজের কথা উল্লেখ করার জন্য ধন্যবাদ!
আমি এমন কোনও কাগজ সম্পর্কেও অবগত নই যা স্বেচ্ছাসেবীর ডিস্ক গ্রাফের জন্য রিয়েলস (ইআরটি) এর অস্তিত্বের তত্ত্বকে হ্রাস করে। তবে ম্যাকডিয়ারমিডের সাথে অন্য একটি গবেষণাপত্রে আমরা একটি ডিস্ক গ্রাফে "এম্বেডিং" লাইন বিন্যাসের জন্য একটি নির্মাণকাজ দিয়েছিলাম যা কাংয়ের সাথে কাগজে আমরা কী করেছি তার লাইন ধরে কিছু অতিরিক্ত কাজ করে ইআরটি-র সম্পূর্ণতার প্রমাণে পরিণত হতে পারে।

টোবিয়াস মেলার