উদাহরণ যেখানে সমতা সহজ তবে শ্রেণীর প্রতিনিধি সন্ধান করা শক্ত

Question

মনে করুন আমাদের কাছে একটি শ্রেণীর অবজেক্ট রয়েছে (গ্রাফগুলি বলুন, স্ট্রিং করুন) এবং এই বিষয়গুলির উপর একটি সমতুল্য সম্পর্ক রয়েছে। গ্রাফের জন্য এটি গ্রাফ isomorphism হতে পারে। স্ট্রিংগুলির জন্য, আমরা দুটি স্ট্রিং সমতুল্য ঘোষণা করতে পারি যদি তারা একে অপরের অ্যানগ্রগ্রাম হয়।

আমি সমতুল্য শ্রেণীর জন্য একটি প্রতিনিধি গণনা করতে আগ্রহী। অর্থাৎ, আমি একটি ফাংশন চাই (যেমন) যে কোনও দুটি বস্তুর জন্য x, y, f (x) = f (y) iff x এবং y সমান equivalent (*)

আনগ্রামগুলির উদাহরণের জন্য, চ (গুলি) স্ট্রিংয়ে অক্ষর বাছাই করতে পারে, অর্থাত্‍। f ('ক্যাব্যাক') = 'অ্যাবসিসি'। গ্রাফ আইসোমরফিজমের জন্য, আমরা f (G) কে গ্রাফ জি হিসাবে নিতে পারি যেটি জি এর আইসোমরফিক এবং এটি এই বৈশিষ্ট্যটির জন্য অভিধান হিসাবে প্রথম গ্রাফ।

এখন প্রশ্ন: এমন দুটি উদাহরণ রয়েছে যেখানে দুটি উপাদান সমতুল্য কিনা তা নির্ধারণের সমস্যাটি "সহজ" (বহু সময় সমাধানযোগ্য), তবে প্রতিনিধি সন্ধান করা কঠিন (অর্থাত্ চ গণনা করার জন্য পলি টাইম অ্যালগরিদম নেই যা সন্তুষ্ট হয় ( *))।

Comments

প্রশ্নটি খুব সাধারণ হতে পারে, কারণ এটি প্রচুর "অদ্ভুত" নির্মাণের অনুমতি দেয়: একটি এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা নিন এবং প্রতিটি উদাহরণটিকে তার নিজস্ব সমতুল্য শ্রেণি তৈরি করতে দিন। একটি নো উদাহরণস্বরূপ $s$ , সেট $f(s)=0$ । হ্যা-উদাহরণস্বরূপ , নির্ধারণ lexicographically ক্ষুদ্রতম শংসাপত্র হিসাবে। $s$$s$

— গামো

@ গামো আপনার উদাহরণে আপনি কেবল । আমি মনে করি ওপি একটি উদাহরণ চায় যেখানে কোনও সহজ উপস্থিতি নেই। $f(s)=s$$f$

— বিজার্ন কেজোস-হানসেন

অনুসন্ধানের কীওয়ার্ডগুলি হ'ল "ক্যানোনাইজেশন" বা "ক্যানোনিকাল লেবেলিং"।

— এমিল জেব্যাক মনিকে

আমার মতো বিভ্রান্তদের জন্য, স্পষ্টতই এই প্রশ্নটি 2018 সালে পুনরায় পোস্ট করা হয়েছিল, এবং এটি পরে লক্ষ্য করা গেছে এবং উত্তরগুলি এখানে আবার একত্রিত হয়েছে।

— usul

Answer 1

ঠিক আছে, কীভাবে: এবং y সমতুল্য হয় যদি x = y হয় , অথবা x এবং y উভয়েরই গুণাবলী থাকে x = p q এবং y = p r যেখানে p , q , এবং r সমস্ত প্রধান এবং p < মিনিট ( কিউ , r ) । এটি হল: দুটি প্রাইমের পণ্যগুলি যখন তাদের ক্ষুদ্রতম প্রাইম ফ্যাক্টরকে ভাগ করে; অন্যান্য সংখ্যা কেবল তাদের সমতুল্য।$x$$y$$x=y$$x$$y$$x=pq$$y=pr$$p$$q$$r$$p < \min(q,r)$

দুটি পৃথক সংখ্যার সমান কিনা তা পরীক্ষা করা সহজ: তাদের জিসিডির গণনা করুন, এটি অযৌক্তিক কিনা তা পরীক্ষা করুন, জিসিডি কোফ্যাক্টরগুলির চেয়ে কম কিনা তা পরীক্ষা করুন এবং জিসিডি এবং এর কোফ্যাক্টরগুলি সমস্ত মৌলিক কিনা তা পরীক্ষা করুন।

তবে এটি স্পষ্ট নয় যে কীভাবে বহু প্রতিনিধি সময়ে একটি প্রতিনিধি ফাংশন যায়, এবং যদি আপনি প্রয়োজনীয়তা যোগ করেন যে চ ( এক্স ) অবশ্যই x এর সমতুল্য হয় তবে যে কোনও প্রতিনিধি ফাংশন আমাদের দুটি প্রাইমের বেশিরভাগ পণ্যকে ফ্যাক্ট করার অনুমতি দেবে (প্রতিটি এক নয় যা প্রতিটি এটি নিজস্ব প্রতিনিধি নয়)।$f$$f(x)$$x$

Comments

লিখেছেন: "এটা গনা কিভাবে প্রতিনিধি ফাংশন সুস্পষ্ট নয় চ ": সম্ভবত আমি তোমাকে ভুল বুঝা, কিন্তু যদি এক্স , দুটি স্বতন্ত্র মৌলিক সংখ্যার পণ্য তারপর: দিন পি এই মৌলিক সংখ্যার ক্ষুদ্রতর হতে; দিন গুলি পর অন্তত মৌলিক হতে পি ; চয়ন চ ( এক্স ) = PS । তাহলে এক্স হয় না দুটি স্বতন্ত্র মৌলিক সংখ্যার পণ্য, তারপর পছন্দ করে চ ( এক্স ) = এক্স । (এগুলির সমস্তই বলার এক চক্রাকার পদ্ধতি: f ( x ) = x এর সমতুল্য শ্রেণীর সর্বনিম্ন উপাদান নির্বাচন করুন ) ) না?

— রুখ

@রুখ " এই প্রাইমগুলির চেয়ে কম হবেন" অনুমান করে আপনি এক্স ফ্যাক্টর করতে পারেন ( পি সন্ধান করতে ), তবে এটি সাধারণত শক্ত বলে ধরে নেওয়া হয়। $p$$x$$p$

— অ্যারন রথ

@ অ্যারনরোথ: আহ, আমি দেখছি। দ্বারা "এটা সুস্পষ্ট না গনা কিভাবে প্রতিনিধি ফাংশন ", তিনি কিছু বোঝানো মত "এটা সুস্পষ্ট নয় কিভাবে থাকতে হবে সহজে গনা প্রতিনিধি ফাংশন চ ", তারপরে। যা ওপি-র প্রশ্নের সাথে খাপ খায়। এটা বোঝার জন্য, ধন্যবাদ। :-)$f$$f$

— রুখ 1

হ্যাঁ, দুঃখিত, আমি এটাই বোঝাতে চাইছিলাম।

— ডেভিড এপস্টিন

Answer 2

X 2 ≡ y 2 mod n হলে দুটি পূর্ণসংখ্যা মোড n সমান । এই ফাংশনের জন্য যদি কেউ সহজেই কোনও শ্রেণির প্রতিনিধি গণনা করতে পারে তবে সম্ভাব্য পলিনামিয়াল সময়ে ফ্যাক্টরিং করা যেতে পারে।$x,y$$n$$x^{2} \equiv y^{2}$$n$

সাধারণভাবে, এই জাতীয় উদাহরণটি বোঝায় যে । ধরা যাক আর একটি সমতুল্য সম্পর্ক যা বহুপদী সময়ে নির্ধারিত able তারপরে এন পি ওরাকল ব্যবহার করে লিক্সোগ্রাফিক অনুসন্ধানের মাধ্যমে , যে কোনও স্ট্রিংয়ের সমতুল্য শ্রেণিতে লেকসোগ্রাফিকভাবে সবচেয়ে কম উপাদান খুঁজে পাওয়া যায়। যদি পি = এন পি , এটি বহুপক্ষীয় সময় হয়ে যায়, তাই আপনি ক্লাসের প্রতিনিধি হিসাবে অভিধানিকভাবে সর্বনিম্ন সমতুল্য স্ট্রিংটি ব্যবহার করতে পারেন। এই পর্যবেক্ষণটি মূলত ব্লাস এবং গুরেভিচের কারণে [1]।$P \neq NP$$R$$NP$$P=NP$

এ জাতীয় উদাহরণটি (এবং তাই, বিশেষত, পি ≠ ইউ পি ) কে বোঝায় ।$UP \not\subseteq BQP$$P \neq UP$

আপনি যে প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করেছেন তা হ'ল আমরা ল্যান্স ফোর্টনউ [2] সহ আমাদের কাগজে কে ই আর ( এফ পি ) । এই কাগজটিতে আমি এখানে যে ফলাফলগুলি বলেছি সেগুলিও রয়েছে, পাশাপাশি পিটার শোর দ্বারা নির্দেশিত হ্যাশ ফাংশনগুলির উদাহরণ, আরও কয়েকটি সম্ভাব্য উদাহরণ এবং সম্পর্কিত ফলাফল এবং প্রশ্নগুলি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।$PEq =? Ker(FP)$

[1] গ্লাস, এ। এবং গুরেভিচ, ওয়াই সমতুল্য সম্পর্ক, আক্রমণকারী এবং সাধারণ ফর্ম । সিয়াম জে। কম্পিউটার। 13 (4): 682-689, 1984।

[২] ফোর্টনউ, এল এবং গ্রাচো, জেএ জটিলতার ক্লাস সমতা সমস্যার পুনর্বিবেচনা করেছে । অধিকার। এবং গণনা। 209 (4): 748-763, 2011 এছাড়াও উপলব্ধ arXiv ।

Answer 3

সমতুল্য শ্রেণিতে "প্রতিনিধি" থাকতে হবে?

যদি এটি হয়, তবে সংঘর্ষ প্রতিরোধের সাথে কোনও ক্রিপ্টোগ্রাফিকভাবে শক্তিশালী হ্যাশ ফাংশন ।$f$

যাক যদি চ ( এক্স ) = চ ( Y $x \simeq y$$f(x) = f(y)\,$। দুটি জিনিস সমান কিনা তা পরীক্ষা করা সহজ, তবে যদি দেওয়া হয় তবে আপনি h এর একটি প্রামাণিক প্রিমেজ খুঁজে পেতে পারেন, তবে আপনি দুটি স্ট্রিং x এবং y খুঁজে পেতে পারেন যে f ( x ) = f ( y $f(x) = h$$h$$x$$y$$f(x)=f(y)\,$। এটি কঠোর বলে মনে করা হচ্ছে (সংঘর্ষ প্রতিরোধের অর্থ এটাই)।

অবশ্যই, কম্পিউটার বিজ্ঞানীরা প্রমাণ করতে পারবেন না যে সংঘর্ষ প্রতিরোধের সাথে ক্রিপ্টোগ্রাফিকভাবে শক্তিশালী হ্যাশ ফাংশন বিদ্যমান, তবে তাদের বেশিরভাগ পরীক্ষার্থী রয়েছে।

Answer 4

প্রথমত, আপনি যা যা সত্যিই জিজ্ঞাসা করছেন তাকে সাধারণত সম্পূর্ণ আগমনকারী বলা হয়। একটি ক্যানোনিকাল বা স্বাভাবিক ফর্ম ব্যবহার করলে প্রয়োগকারীদের $f(x)$ সমতূল্য $x$ সবার জন্য $x$ । (একজন "প্রতিনিধি" জিজ্ঞাসা করা কিছুটা অস্পষ্ট, কারণ কিছু লেখক এটিকে প্রচলিত আকারের শর্তটি অন্তর্ভুক্ত করার জন্য বোঝাতে পারেন))

দ্বিতীয়ত, দয়া করে নির্লজ্জ স্ব-প্রচারকে ক্ষমা করুন, তবে এটি ফোর্তনো এবং আমি [1] নিয়ে কাজ করেছি এমন প্রশ্নের মধ্যে একটি। আমরা দেখিয়েছি যে $\mathsf{P}$ মধ্যে সিদ্ধান্ত নেওয়া যেতে পারে যে প্রতিটি সমতুল্য সম্পর্ক এছাড়াও $\mathsf{FP}$ মধ্যে একটি সম্পূর্ণ আক্রমণকারী থাকে , তবে খারাপ জিনিস ঘটে। বিশেষত, এটি $\mathsf{UP} \subseteq \mathsf{BQP}$ বোঝায় । যদি এই বিবৃতিটির প্রতিশ্রুতি সংস্করণ ধারণ করে (উপপাদ্য 4.6 দেখুন) তবে $\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{BQP} \cap \mathsf{SZK}$ এবং $\mathsf{PH} = \mathsf{AM}$ ।

এখন, যদি আপনি প্রকৃতপক্ষে কোনও প্রচ্ছদ চান (প্রতিটি সমতুল্য শ্রেণীর প্রতিনিধি যা সমতুল্য শ্রেণিতেও থাকে), আমরা দেখি আরও খারাপ ঘটনা ঘটে। এটি হ'ল, যদি বহুবচনীয় সময়ে নির্ধারিত প্রতিটি সমতা সম্পর্কের একটি বহু-কালীন ক্যানোনিকাল ফর্ম থাকে, তবে:

• পূর্ণসংখ্যার সম্ভাব্য পলিটিকে সময় দেওয়া যেতে পারে
• সংঘাত-মুক্ত হ্যাশ ফাংশনগুলি যা $\mathsf{FP}$ মূল্যায়ন করা যায় তা বিদ্যমান নেই।
• $\mathsf{NP} = \mathsf{UP} = \mathsf{RP}$ (অতএব$\mathsf{PH} = \mathsf{BPP}$ )

সমতুল্য সম্পর্ক সম্পর্কে এই বিবৃতিগুলির বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই আমাদের এবং ব্লাস এবং গুরভিচকে [2] করার কারণে উভয় উপায়েই ওরাকল রয়েছে।

যদি "কোনও" প্রতিনিধির পরিবর্তে, আপনি একটি সমতুল্য শ্রেণিতে অভিধান সংক্রান্ত ন্যূনতম উপাদানটির জন্য জিজ্ঞাসা করেন, সমতুল্য শ্রেণিতে অভিধানের ক্ষুদ্রতম উপাদান খুঁজে পাওয়া $NP$ -hard (আসলে, $P^{NP}$ -হার্ড) হতে পারে - এমনকি সম্পর্ক থাকলেও বহু-কালীন ক্যানোনিকাল ফর্ম [2] রয়েছে।

[1] ল্যান্স ফোর্টনো এবং জোশুয়া এ। গ্রাচো। সমতা সমস্যার জটিলতা ক্লাস পুনরায় দেখা । অধিকার। এবং গণনা। 209: 4 (2011), 748-763। আরএক্সিভ হিসাবেও উপলব্ধ : 0907.4775v2 ।

[2] আন্ড্রেয়াস ব্লাস এবং ইউরি গুরেভিচ। সমতা সম্পর্ক, আক্রমণকারী এবং সাধারণ ফর্ম । সিয়াম জে। কম্পিউটার। 13: 4 (1984), 24-42।

Comments

দেখা গেল যে 2018 এ পোস্ট করা এই প্রশ্নের সংস্করণটি 2012 সালের একটি স্প্যাম ব্যবহারকারী দ্বারা পুনরায় পোস্ট করা হয়েছিল Maybe সম্ভবত আপনার দুটি উত্তর একত্রিত করবেন? তারা উভয়ই ইউপি এবং বিকিউপি-র উল্লেখ করেছেন তবে উপেক্ষিত উপায়ে ... আপনি কিছু প্রতিস্থাপন হারাবেন তবে আমি আপনার পুরানো উত্তরকে সমর্থন করে আংশিকভাবে এটি প্রশমিত করব :)

— -হানসেন

Answer 5

এখানে আরও একটি উত্তরের চেষ্টা রয়েছে, যেখানে আমরা "প্রতিনিধি" এর উপর প্রয়োজনীয়তাটি ooিলা করি; এটি আসলে সমতুল্য শ্রেণীর সদস্য হতে হবে না, তবে কেবল সমতা শ্রেণীর চিহ্নিতকরণ একটি ফাংশন।

ধরুন আপনার একটি গ্রুপ রয়েছে যেখানে আপনি সাবগ্রুপ সদস্যতা পরীক্ষা করতে পারেন। অর্থাৎ দেওয়া হয় , আপনি পরীক্ষা করতে পারবেন কিনা জ দ্বারা উত্পন্ন উপগোষ্ঠী হয় ছ 1 , ... , ছ ট ।$g_1, g_2, \ldots, g_k$$h$$g_1, \ldots, g_k$

আপনার সমতুল্য ক্লাসগুলিকে একই উপগোষ্ঠী উত্পন্ন উত্স হিসাবে সেট করুন । দুটি সেট একই উপগোষ্ঠী উত্পন্ন করে কিনা তা যাচাই করা সহজ। তবে, আপনি কীভাবে প্রতিটি উপগোষ্ঠীর জন্য একটি অনন্য সনাক্তকারী খুঁজে পেতে পারেন তা মোটেই পরিষ্কার নয়। আমি সন্দেহ করি যে আপনি যদি সাবগ্রুপ সদস্যপদ পরীক্ষার সাথে ব্ল্যাক-বক্স গ্রুপগুলি ধরে নেন তবে এটি সত্যিই একটি উদাহরণ। তবে, আমি জানি না এমন কোনও অ-ওরাকল গ্রুপ আছে কিনা যেখানে এই সমস্যাটি কঠিন বলে মনে হচ্ছে।$g_1, g_2, \ldots, g_k$

Answer 6

এখানে একটি স্বতন্ত্র উদাহরণ। অবজেক্টগুলি জোড়া $(H,X)$ যেখানে $H$ একটি স্যাট সূত্র এবং $X$ ভেরিয়েবলগুলির প্রস্তাবিত অ্যাসাইনমেন্ট। বলুন $(H,X) \sim (H',X')$ যদি $H=H'$ এবং হয় (ক) $X$ এবং $X'$ উভয় পরিতৃপ্ত বরাদ্দকরণ, অথবা (খ) হয় $X$ এবং $X'$ উভয় পরিতৃপ্ত হয় না বরাদ্দকরণ। এটি প্রতিচ্ছবি, প্রতিসম এবং ট্রানসিটিভ। প্রতিটি অসন্তুষ্ট$H$ এর সকলের সমন্বয়ে একটি সমতুল্য শ্রেণি রয়েছে$(H,X)$ । প্রতিটি সন্তোষজনক$H$ এর সমস্ত শ্রেণি$(H,X)$ যেখানে$X$ একটি সন্তুষ্টিজনক কার্য, এবং অ সন্তোষজনক ব্যক্তিদের সাথে অন্য শ্রেণি রয়েছে।

পরীক্ষা করা হচ্ছে কিনা $(H,X) \sim (H',X')$ সহজ যেহেতু আমরা ঠিক পরীক্ষা যদি $H=H'$ , তারপর যদি $X$ সন্তুষ্ট $H$ , তারপর যদি $X'$ সন্তুষ্ট $H$ । কিন্তু একটি বর্গ প্রদত্ত একটি ক্যানোনিকাল সদস্য গনা $(H,X)$ সঙ্গে $H$ সন্তুষ্ট $X$খুব শক্ত বলে মনে হচ্ছে (কঠোরতা কীভাবে প্রমাণ করা যায় তা আমি নিশ্চিত নই)। আমরা সহজেই স্যাট উদাহরণগুলির জন্য একটি অতিরিক্ত সমাধান রোপণ করতে পারি, সুতরাং একটি সমাধান জানলে সাধারণত আমাদের অন্য কোনও সমাধান খুঁজে পেতে সহায়তা করবে না, কেবল একটি প্রচলিত সমাধান বেছে নেওয়া যাক। (সম্পাদনা: আমার অর্থ হ'ল প্রথম সমাধান হিসাবে অতিরিক্ত সমাধান সন্ধানের জন্য আমি কোনও দক্ষ অ্যালগরিদম আশা করি না Because কারণ আমরা এটিকে প্রথমে সমস্যার অতিরিক্ত সমাধান "রোপণ" করে স্যাট সমস্যা সমাধানে ব্যবহার করতে পারতাম, তারপরে এটি খাওয়াতাম) অ্যালগরিদম। মন্তব্য দেখুন।)

Comments

একটি স্যাট উদাহরণস্বরূপ দেওয়া: "উদ্ভিদ" করার মাধ্যমে, আপনি ভালো মানে কিছু CNF এ, একটি নতুন পরিবর্তনশীল যোগ পি মধ্যে occuring না এইচ , আর দিন কে = ⋀ আমি ( φ আমি ∨ পি ) ? $H=\bigwedge_i\varphi_i$$p$$H$$K = \bigwedge_i (\varphi_i\vee p)$

— Bjørn Kjos-Hanssen

@ বিজার্ন কেজোস-হানসেন, হ্যাঁ, এরকম কিছু। আদর্শভাবে আমরা ঠিক একটি অতিরিক্ত সমাধান তৈরি করব। তাই আমি এই কাজ মনে (CNF নেই যদিও): একটি জেনেরিক স্যাট সূত্র দেওয়া যাক কে = ( এইচ ∧ ¬ পি ) ∨ ( পি ∧ এক্স 1 ⋯ ∧ এক্স এন ) যেখানে { এক্স আমি } মূল ভেরিয়েবল। সুতরাং কেবল স্পষ্ট করে বলতে গেলে, যদি স্যাট উদাহরণগুলির জন্য দ্বিতীয় সমাধান অনুসন্ধান / অনুসন্ধান করার জন্য আমাদের কাছে একটি অ্যালগরিদম ছিল, তবে যে কোনও এইচকে দেওয়া হলে আমরা কে নির্মাণ করব$H$$K = (H \land \lnot p) \lor (p \land x_1 \cdots \land x_n)$$\{x_i\}$$H$$K$এবং এটিকে সত্য-কার্যভার সহ অ্যালগরিদমকে খাওয়ান এবং এটি আসল উদাহরণটি সমাধান করবে। আমি যদি কিছু মিস না করি।

— usul

যদিও "প্রতিনিধি" শব্দটি বোঝাতে পারে যে এর কোডোমেনটি এর ডোমেন হওয়া উচিত, এই বিধিনিষেধটি উত্থাপন এটিকে একটি অ-উদাহরণ করে তোলে। $f$

— jix

(1) দ্বিতীয় সন্তোষজনক কাজ সন্ধান করা এখনও এনপি-হার্ড। (২) বহুবর্ষে প্রদত্ত (এইচ, এক্স) শ্রেণীর একটি নৈমিত্তিক সদস্য সন্ধান করা সমতুল্য , যা পিএইচ (হেমাসপেন্দ্র-নায়েক-ওগিহার-সেলম্যান) ভেঙে যায়। তবে নোট করুন যে প্রশ্নটি আসলে শ্রেণীর কোনও নৈমিত্তিক সদস্যের জন্য জিজ্ঞাসা করে না, যেহেতু এটি x এর সাথে f (x) এর সমতুল্য হতে হবে না, এটি সত্যই কেবল সম্পূর্ণ আক্রমণকারীকে জিজ্ঞাসা করছে। $NPMV \subseteq_c NPSV$

— জোশুয়া গ্রাচো

Answer 7

এটি একটি খোলামেলা প্রশ্ন, কমপক্ষে গ্রাফের জন্য। আমি বিশ্বাস করি যে সর্বশেষ অগ্রগতি হয়েছে

বাবাই এবং কুসেরা, "লিনিয়ার গড় সময়ে গ্রাফগুলির নিয়মিত লেবেলিং," এফওসিএস, 1979

যা সম্ভাব্যতা 1 - 1 সহ সঠিক ক্যানোনিকাল গ্রাফের জন্য একটি (প্রত্যাশিত) রৈখিক সময় অ্যালগরিদম দেয়$1 - \frac{1}{2^{O(n)}}$

আপনি উইকিপিডিয়ায় আরও পড়তে পারেন । নোট করুন যে বাবাইয়ের অ্যালগোরিদমের একটি ডেরানডমাইজড সংস্করণ অর্থ গ্রাফের জন্য এই জাতীয় উদাহরণ উপস্থিত নেই।

Comments

এছাড়াও সুদের: গড়-কেস ক্যানোনিকাল ফর্ম, Schweitzer-Wiebking (সাম্প্রতিক কাগজ পরিবর্তে খারাপ-কেস জন্য arxiv.org/abs/1806.07466 ) একটি পন্থা যা অনেক সংশ্লিষ্ট সমানতা সম্পর্ক ভালো ক্যানোনিকাল ফরম (কোড সমানতা, বিন্যাস দেয় গ্রুপ কনজুগেসি, হাইপারগ্রাফিক আইসো), এবং তাদের চূড়ান্ত বিভাগে তারা পরামর্শ দেয় যে তাদের কৌশলগুলি বাবাইয়ের ফলাফলের সাথেও প্রয়োগ করতে পারে, জিআইয়ের জন্য একটি আধা-বহু-কালীন ক্যানোনিকাল ফর্ম দেয়।

— জোশুয়া গ্রাচো

@ জোশুয়া গ্রাচো আমি এটি সম্পর্কে শুনিনি, তবে এটি খুব উত্তেজনাপূর্ণ। পরে পড়ার জন্য সংরক্ষণ করা হচ্ছে।

— স্টেলা বিডারম্যান

Answer 8

আকারের দুটি সার্কিট সার্কিট সমতুল্য কিনা তা পরীক্ষা করে ।$\leq N$

কিনা তা নির্ধারণ করতে আপনাকে কেবল 2 এন ইনপুট পয়েন্টগুলিতে মূল্যায়ন করতে হবে । শ্রেণীর প্রতিনিধি নির্ধারণের জন্য, সম্ভবত সমস্ত 2 Ω ( এন লগ এন ) সম্ভাব্য সার্কিট পরীক্ষা করতে হবে । জন্য এন যথেষ্ট বৃহৎ এই ব্যাখ্যা মূলকভাবে কঠিন বর্তনী সমানতা পরীক্ষা চেয়ে।$C_1 \sim C_2$$2^n$$2^{\Omega(N \log N)}$$N$

Comments

এখানে একটি ফাংশন যা প্রতিটি সার্কিটকে একটি প্রতিনিধি অবজেক্টে (কোনও সার্কিট নয়) ম্যাপ করে যত দ্রুত সমতা পরীক্ষার জন্য: প্রতিটি সম্ভাব্য ইনপুট জন্য 2 এন আউটপুটগুলির ভেক্টরে প্রতিটি সার্কিট মানচিত্র করুন। সম্ভবত এটিকে একটি সুস্পষ্ট ক্রসবার-শৈলীর সার্কিটে পরিণত করা কঠিন হবে না। $f$$2^n$

— ডেভিড এপস্টিন

আমি জোর দিয়েছিলাম যে আউটপুট থেকে সার্কিটে কোনও ম্যাপিং রোধ করার জন্য সার্কিটগুলির আকার সীমিত ছিল । যাইহোক, আমি ধরে নিয়েছিলাম যে ফাংশন এফ একটি স্বেচ্ছাসেবী স্ট্রিংয়ের বিপরীতে কোনও শ্রেণির প্রতিনিধিকে মানচিত্র করা দরকার। $2^n$$f$

— ডেভিড হ্যারিস

Answer 9

বর্ণনামূলক সেট তত্ত্বের একটি বিখ্যাত উদাহরণ:

যাক আমাদের একটি সমানতা সম্পর্ক সংজ্ঞায়িত $\sim$ উপর $\mathbb R$ দ্বারা

$$r\sim s\iff r-s\in\mathbb Q.$$

এটি একটি বরং "সহজ" সমতুল্য সম্পর্ক, বিশেষত এটি পরিমাপযোগ্য।

তবে প্রতিনিধিদের সন্ধানের জন্য একটি ভাইটালি সেট সন্ধানের সমান , যার জন্য চক্সের অ্যাক্সিয়াম প্রয়োজন এবং এটি পরিমাপযোগ্য হতে পারে না।

Answer 10

আপনার মহাবিশ্বের বস্তু triples (হতে দিন $\Phi, b, i)$ যেখানে $\Phi$ একটি Satisfiability সমস্যা হতে, ভেরিয়েবল উপর $x_0, \ldots, x_{k-1}$ , $b$ পারেন 0 বা 1, এবং $i$ দৈর্ঘ্যের একটি bitstring হয় $k$ , যেখানে $\Phi(i)=b$ । এটি হ'ল, $i$$x_0, \ldots, x_k$ একটি অ্যাসাইনমেন্ট যা সন্তুষ্ট $\Phi$ যদি $b$1 বা সন্তুষ্ট নয় $\Phi$ যদি $b$ 0।

যদি তারা একই আছে দুটি বস্তুর হয় সমতুল্য $\Phi$ । চেক করা সহজ।

সমতুল্য শ্রেণীর সকলের মধ্যে প্রতিনিধি অবজেক্টটি অভিধানিকভাবে সবচেয়ে বড় হতে দিন greatest

প্রতিনিধি সন্ধানের জন্য এনপি-সম্পূর্ণ: এটি স্যাটকে সমাধান করবে, কারণ যদি অভিধানকোষের দিক থেকে সর্বাধিক $b=0$ তবে $\Phi$ অসন্তুষ্ট হয় না; যদি এর $b=1$ তবে তা সন্তুষ্টিজনক।

দেখে মনে হচ্ছে বেশিরভাগ এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যাগুলি এইভাবে উত্থাপিত হতে পারে; এটি উপাদানটির এনকোডিংয়ে সদস্যতার শংসাপত্র রাখার বিষয়টি।

আমি ভেবেছিলাম সম্ভবত এটি একটি হোমওয়ার্কের সমস্যা ছিল, এই কারণেই আমি সমাধানটি আগে পোস্ট করি নি। আমার করা উচিত ছিল; @ ডেভিড-এপস্টিয়ান যে পয়েন্টগুলি পেয়েছিল তা আমি ব্যবহার করতে পারতাম। কল্যাণ জানে, তার দরকার নেই।

Comments

আহ কিন্তু এক্ষেত্রে সেখানে প্রতিনিধির একটি সহজ পছন্দ: শুধু নিতে কিছু হওয়ার এবং b হতে Φ ( আমি ) । $i$$b$$\Phi(i)$

— বিজার্ন কেজোস-হানসেন

Answer 11

আমি মনে করি আপনি যে ধরণের বর্ণনা করেছেন তার কার্যত কোনও সমস্যার জন্য আপনি এটি সহজেই অর্জন করতে পারেন।

তুচ্ছ উদাহরণ: ধরুন বস্তুগুলি স্ট্রিং এবং যে কোনও কেবলমাত্র তার সমতুল্য। দুটি উপাদান সমতুল্য কিনা তা নির্ধারণ করা সর্বদা সহজ (এটি কেবল সাম্য) তবে, আপনি আপনার প্রিয় ইনজেকশন হার্ড ফাংশন হিসাবে এফ ( ) সংজ্ঞায়িত করতে পারেন ।$x$$f()$

Comments

তবে আপনি যে ক্ষেত্রে বর্ণনা করেছেন তার মধ্যে আলাদা আলাদা যা গণনা করা সহজ: পরিচয় ফাংশন। $f$

— ডেভিড এপস্টিন

প্রশ্ন থেকে, এটি পরিষ্কার নয় যে কঠোরতা সমস্ত থেকে প্রয়োজন , কিছু চ এর পরিবর্তে । $f$$f$

— এমসিএইচ

@ এমসিএচ আমি মনে করি এটি পুরোপুরি পরিষ্কার, যেহেতু অন্যথায় কোনও সন্দেহ নেই এবং প্রশ্নটি নির্বিকার হবে।

— র্যান্ডম 832