নিখুঁত ম্যাচগুলি স্বীকার করে এমন অনুচ্ছেদগুলি গণনা করার গণনাগত জটিলতা

একটি undirected এবং unweighted গ্রাফ দেওয়া এবং একটি এমনকি পূর্ণসংখ্যা , ছেদচিহ্ন বেড়ে চলেছে সেট গণনীয় জটিলতা কি যেমন যে এবং subgraph প্রান্তবিন্দু সেট অবধি সীমিত একটি নিখুঁত ম্যাচিং স্বীকার? জটিলতা কি # পি-সম্পূর্ণ? এই সমস্যার জন্য একটি রেফারেন্স আছে? $G=(V,E)$ $k$ $S\subseteq V$ $|S|=k$ $G$ $S$

নোট যে সমস্যা একটি ধ্রুবক অবশ্যই সহজ হয় কারণ তাহলে সব আকারের subgraphs সময় গণিত যাবে । আরও মনে রাখবেন যে সমস্যাটি নির্ভুল মিলের সংখ্যা গণনা থেকে পৃথক। কারণটি হ'ল একটি উল্লম্বের সেট যা একটি নিখুঁত মিলের স্বীকৃতি দেয় তাতে একাধিক সংখ্যক নিখুঁত মিল থাকতে পারে। $k$ $k$ ${|V| \choose k}$

সমস্যাটি বর্ণনা করার আরেকটি উপায় নিম্নরূপ। একটি অনুরূপ একটি বলা হয় $k$ -matching যদি এটা সাথে মেলে $k$ ছেদচিহ্ন। $M$ এবং দুটি মিলে $M'$ `` ভার্টেক্স-সেট-অ-আক্রমণকারী '' যদি $M$ এবং সাথে মিলেছে উল্লম্বের সেটগুলি $M'$ অভিন্ন না হয়। আমরা ভারটিেক্স -সেট-অ- আক্রমণকারী $k$ ম্যাচিংয়ের মোট সংখ্যা গণনা করতে চাই।

cc.complexity-theory co.combinatorics counting-complexity

— হেক্টর
সূত্র

যখন

k = \log n

$k=\log n$ , তখন এই জাতীয় সাবটাইটের সংখ্যা

(\binom{| V |}{\log n}) \leq n^{\log n}

$\binom{|V|}{\log n}\leq n^{\log n}$ , এবং সাবসেট দ্বারা প্রসারণিত গ্রাফের টুটের ব্যবহার করে নিখুঁত মিল রয়েছে কিনা তা পরীক্ষা করা হচ্ছে is চরিত্রায়ন

O (2^{\log n}) = O (n)

$O(2^{\log n})=O(n)$ সময় নেয়, সুতরাং ক্ষতিকারক সময় অনুমানটি ভুল না হলে এটি NP- সম্পূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনাও কম। অতএব আকর্ষণীয় ক্ষেত্রেটি হল যখন

k = θ (\frac{n}{\log n})

$k=\theta(\frac{n}{\log n})$ which

, এই ক্ষেত্রে নির্বিকার দৃষ্টিভঙ্গিটি যদি আপনি # পি সম্পূর্ণতা খুঁজছেন তবে

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$ সময় নেয় ।

— সাজিন করোথ

@ সাজিন কোরথ: আমি আপনার মন্তব্যে শেষ বাক্যটি অনুসরণ করি না। উদাহরণস্বরূপ, যদি কে = √n হয় তবে নির্বোধ দৃষ্টিভঙ্গিটি সময় নেয় এবং আমি মনে করি না যে এটি # পি-সম্পূর্ণ হওয়ার বিরুদ্ধে কোনও প্রমাণ দেয়।

2^{n^{Ω (1)}}

$2^{n^{\Omega(1)}}$

— সোসোশি ইটো

@ শুয়ুশিআইটো: হ্যাঁ আপনি ঠিক বলেছেন। এটি "এমন একটি বেছে নেওয়া উচিত ছিল যে, নিষ্পাপ পদ্ধতির জন্য সময় লাগে "।

k

$k$

O (2^{n})

$O(2^n)$

— সাজিন করোথ

@ সাজিন করোথ: কেন কে-এর একটি মান এমনভাবে বেছে নেওয়া উচিত যে নিষ্পাপ পদ্ধতির জন্য সময় লাগে ? এটি করার ফলে সম্ভবত কোনও ক্ষতি হয় না তবে একজনের কেন এটি করা উচিত তা আমি দেখতে পাচ্ছি না।

O (2^{n})

$O(2^n)$

— সোসোশি ইটো

দেখে মনে হয় এই ধরণের বেশিরভাগ সমস্যা "কীভাবে মানুষ উত্সাহিত সাবগ্রাফিক্সের সম্পত্তি এক্স থাকে?" শক্ত এমনকি সম্পত্তিটির "একটি কিনারা রয়েছে" শক্ত ("দ্বীপের মধ্যে" একটি প্রান্ত রয়েছে "সমাধান করে" একটি কিনারা নেই "যা" সম্পূর্ণ গ্রাফ "... ম্যাক্স ক্লিকুই সমাধান করে)। এটি সত্যই এটি অনুভব করে যে "একটি নিখুঁত মিল রয়েছে" এছাড়াও কঠিন হবে, তবে এই মুহুর্তে একটি প্রমাণ সন্ধান করা আলাদা is

— bbejot

সমস্যা # পি-সম্পূর্ণ। এটি নিম্নলিখিত কাগজের 2 পৃষ্ঠার শেষ অনুচ্ছেদ থেকে নিম্নলিখিত:

সিজে কলবর্ন, জেএস প্রোভান, এবং ডি ভার্টিগান, ট্রান্সভার্সাল ম্যাট্রয়েডস টুট্টের বহুপদী গণনার জটিলতা, কম্বিনেটরিকা 15 (1995), নং। 1, 1-10।

http://www.springerlink.com/content/wk55t6873054232q/

— হেক্টর
সূত্র

সমস্যাটি এফপিটিআরএসকে স্বীকার করে। এই এলোমেলোভাবে আলগোরিদিম যে পায় গ্রাফ , একটি প্যারামিটার , এবং মূলদ সংখ্যার এবং ইনপুট হিসাবে। যদি সংখ্যা -vertex সেট আপনি খুঁজছেন, তারপর একটি সংখ্যা আউটপুট যেমন যে $\mathbb{A}$ $G$ $k\in \mathbb{N}$ $\epsilon >0$ $\delta \in (0,1)$ $z$ $k$ $\mathbb{A}$ $z'$ এবং এটি সময় যাতে করে , যেখানে কিছু গণনীয় ফাংশন এবং কিছু বহুপদী হয়।

পি ({z- র}^{'} \in [(1 - ε) z- র, (1 + + ε) z- র]) \geq 1 - δ,

$\begin{equation} \mathbb{P}(z' \in [(1-\epsilon)z,(1+\epsilon)z]) \geq 1-\delta, \end{equation}$

f (k) \cdot g (n, ϵ^{- 1}, \log δ^{- 1})

$f(k)\cdot g(n,\epsilon^{-1},\log \delta^{-1})$

f

$f$

g

$g$

এটি থম থেকে অনুসরণ করা হয়। 3.1 (Jerrum, Meeks 13) : একটি সম্পত্তি দেওয়া গ্রাফ এর, একটি FPTRAS উপরে হিসাবে একই ইনপুট, সেট আকার পরিমাপক সঙ্গে নেই, প্রদত্ত যে গণনাযোগ্য, একঘেয়েমি এবং এর সমস্ত প্রান্ত-ন্যূনতম গ্রাফগুলিতে গাছের প্রস্থের সীমাবদ্ধ রয়েছে। তিনটি শর্তই হোল্ড করে যদি একটি নিখুঁত মিলের গ্রাফ সম্পত্তি। $\Phi$

{এস \subseteq ভী (জি) | | এস | = ট \land Φ (জি [এস])},

$\begin{equation} \{S \subseteq V(G) \mid |S| =k \wedge \Phi(G[S])\}, \end{equation}$

Φ

$\Phi$

Φ

$\Phi$

— রাদু কার্টিকাপেন
সূত্র