জটিলতা বিশ্লেষণে বর্গমূল ধারণাটির উল্লেখযোগ্য উদাহরণ

Question

$\max \left\{k, n/k\right\}$$k=\sqrt n$

• হে (\ sqrt n) এ পৃথক লোগারিদম গণনা করার জন্য চাইল্ড-স্টেপ জায়ান্ট-স্টেপ অ্যালগরিদম $O(\sqrt n)$,
• $O(\sqrt n)$ সময় এবং $O(n)$ মেমরিতে স্থির 2D অ र्थোগোনাল পরিসীমা গণনা ,
• $O(\sqrt[k] n)$ এক্সট্রা্যাক্ট-এমআইএন এবং ও (1)-এ ডিসেক্রেস- কে দিয়ে অগ্রাধিকারের সারি $O(1)$,
• বহু-কালীন সময়ে O ( q sqrt n)$O(\sqrt n)$ রঙের সাথে একটি 3-কলারযোগ্য গ্রাফ রঙ করা,

মাত্র কয়েক নাম.

যদিও এই ধরণের অ্যালগোরিদমগুলি প্রায়শই সাবপটিমাল হয় তবে তারা শিক্ষার্থীদের দ্বারা সহজেই বুঝতে পারে এবং তাড়াতাড়ি দেখানো ভাল যে নিষ্পাপ সীমাগুলি অনুকূল নয়। এছাড়াও, স্কয়ার-রুট-আইডি ডেটা স্ট্রাকচারগুলি ক্যাশে বন্ধুত্বতার কারণে (ক্যাশে-বিস্মৃত কৌশলগুলি বিবেচনা না করে) তাদের বাইনারি গাছ ভিত্তিক সহযোগীদের তুলনায় অনেক বেশি ব্যবহারিক হয়। এই কারণেই আমি শিক্ষাদানের সময় এই বিষয়টিতে একটি দুর্দান্ত মনোযোগ দিই।

আমি এই ধরণের আরও স্বতন্ত্র উদাহরণগুলিতে আগ্রহী। সুতরাং আমি যে কোনও (পছন্দসই মার্জিত) আলগোরিদিম, ডেটা স্ট্রাকচার, যোগাযোগ প্রোটোকল ইত্যাদি সন্ধান করছি যা বিশ্লেষণটি বর্গমূলের ধারণার উপর নির্ভর করে। তাদের অ্যাসিম্পটিকগুলি সর্বোত্তম হওয়ার দরকার নেই।

Comments

আমি দুঃখিত যদি প্রশ্নটি কিছুটা অস্পষ্ট হয়; উন্নতি করতে নির্দ্বিধায়।

— Dmytro Korduban

এটি সিডব্লিউ হওয়া উচিত?

— সুরেশ ভেঙ্কট

@ সুরেশ: যদি "বিগ-লিস্ট ⇒ সিডাব্লু" বিধিটি এখনও কার্যকর হয়, তবে হ্যাঁ, এটি সিডব্লিউ হওয়া উচিত।

— Tsuyoshi Ito

অপ্রকাশিত দ্বিপক্ষীয় গ্রাফগুলিতে দ্রুত মিলানো অন্য একটি ভাল উদাহরণ।

— aelguindy

মডেল হ্রাস করার জন্য মানচিত্রের সাম্প্রতিক অ্যালগরিদমগুলিতে এটি সমস্ত মৌলিক কৌশল

— সাশো নিকোলভ

Answer 1

চ্যাজেল , লিউ এবং ম্যাগেনের কাগজ সাবলাইনার জ্যামিতিক অ্যালগোরিদমস (এসটিওসি 2003, সিকোমপ 2006) এর নিম্নলিখিত র্যান্ডম স্যাম্পলিং ট্রিকের বেশ কয়েকটি চালাক অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে। একই কৌশলটির বিভিন্নতা আগে গার্টনার এবং ওয়েলজল [ ডিসিজি 2001 ] ব্যবহার করেছিলেন, যারা সিএলআর (১৯৯০) এর প্রথম সংস্করণ উদ্ধৃত করেছিলেন।

ধরুন আমাদের মেমরির একটি সংলগ্ন ব্লকের মধ্যে সংখ্যার একটি সাজানো বিজ্ঞপ্তিযুক্ত লিঙ্কযুক্ত তালিকা দেওয়া আছে। তা হল, আমাদের দুটি ই অ্যারে এবং এন ই x টি [ 1 .. এন ] , কোথায়$Key[1..n]$$Next[1..n]$

• দোকানে একটি সেট এন সংখ্যা নির্বিচারে অর্ডার;$Key[1..n]$$n$
• যদি সেটে সর্বাধিক সংখ্যা হয় তবে কে ই y [ এন ই x টি [ i ] ] সেটের মধ্যে সবচেয়ে ছোট সংখ্যা; অন্যথায়, কে ই y [ এন ই x টি [ i ] ] কে ই ওয়াইয়ের চেয়ে বড় সেটের সবচেয়ে ছোট সংখ্যা [ i ] ।$Key[i]$$Key[Next[i]]$$Key[Next[i]]$$Key[i]$

তারপর আমরা একটি প্রদত্ত সংখ্যার উত্তরাধিকারী জানতে পারেন মধ্যে হে ( $x$প্রত্যাশিত সময় নিম্নরূপ:$O(\sqrt{n})$

• √ এর এলোমেলো নমুনা চয়ন করুন অ্যারেKইy এরউপাদানসমূহ। যাককেইY[ঞ]বৃহত্তম নমুনা যে চেয়ে ছোট হতেএক্স(অথবা বৃহত্তম নমুনা, যদি সমস্ত নমুনার চেয়ে অনেক বেশী হয়এক্স)।$\sqrt{n}$$Key$$Key[j]$$x$$x$

• কে ই y [ জে ] থেকে পয়েন্টারগুলি অনুসরণ করুন যতক্ষণ না আমরা x এর চেয়ে বড় বা সমান একটি সংখ্যা দেখতে পাই (সমস্ত নমুনা x এর চেয়ে বড় ছিল তার চারপাশে মোড়ানোর পরে )।$Next$$Key[j]$$x$$x$

ইয়াওর লেমার একটি অপেক্ষাকৃত সহজ অ্যাপ্লিকেশনটি বোঝায় যে প্রত্যাশিত সময় সীমাটি সর্বোত্তম। এই সমস্যার জন্য যে কোনও নির্বিচারক অ্যালগরিদমের জন্যসবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রেΩ(n)সময় প্রয়োজন।$O(\sqrt{n})$$\Omega(n)$

Answer 2

আছে ত্রিভুজ কোনো মি -edge গ্রাফ এবং তারা খুঁজে পাওয়া যেতে পারে যে হে ( মি 3 / 2 ) সময়। এটি করার অনেকগুলি উপায় রয়েছে তবে আমি মনে করি প্রাথমিকতমগুলির মধ্যে একটি হ'ল ইতাই এবং রোডেহ (এসটিওসি 1977) যিনি একটি অ্যালগরিদম সরবরাহ করেন যা লিনিয়ার-সময় পুনরাবৃত্তির ক্রমগুলির মধ্য দিয়ে যায়, যার প্রতিটি গ্রাফ থেকে বিস্তৃত বনকে সরিয়ে দেয়। প্রাথমিক পুনরাবৃত্তিতে যখন বাকী বনে কমপক্ষে n - কে উপাদান থাকে, অ্যালগোরিদম প্রতি পদক্ষেপে কমপক্ষে কে প্রান্তগুলি সরিয়ে দেয় এবং শেষদিকে পুনরাবৃত্তিতে যখন এটি সর্বাধিক থাকে$O(m^{3/2})$$m$$O(m^{3/2})$$n-k$$k$ উপাদানগুলি, সর্বাধিক ডিগ্রি কে এবং প্রতিটি পদক্ষেপে কমপক্ষে একটি দ্বারা সঙ্কুচিত হয়। সুতরাং পুনরাবৃত্তিও সংখ্যা সর্বাধিক হয় মি / ট + + ট এবং ডান ট্রেড বন্ধ বেছে সামগ্রিক বাউন্ড দেয় হে ( $n-k$$k$$m/k+k$পুনরাবৃত্তিও এবং এরহে(মি 3 / 2 )সময়মত।$O(\sqrt m)$$O(m^{3/2})$