সর্বনিম্ন কর্ডলেস বিজোড়-চক্রের গ্রাফ সমাপ্তি: এটি এনপি-হার্ড?

নীচের আকর্ষণীয় সমস্যাটি সম্প্রতি আমার গবেষণায় উঠে এসেছে:

উদাহরণ হিসেবে বলা যায়: গ্রাফ । $G(V, E)$

সমাধান: একটি কর্ডলেস বিজোড়-চক্র সমাপ্তি, প্রান্ত সেট এর সুপারসেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয়েছে যাতে সম্পূর্ণ গ্রাফ এর এমন বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা প্রতিটি প্রান্ত একটি নির্বিঘ্ন বিজোড় চক্রের মধ্যে থাকে। $E'$ $E$ $G'(V, E')$ $G'$

পরিমাপ: সমাপ্তির আকার, অর্থাৎ,। $|E' - E|$

এখনও অবধি, আমরা প্রমাণ করতে পেরেছিলাম যে এই সমস্যার একটি সংশোধিত সংস্করণ এনপি-সম্পূর্ণ, যেখানে " প্রতিটি প্রান্ত একটি নিরবচ্ছিন্ন বিজোড় চক্রের মধ্যে রয়েছে" প্রয়োজনের পরিবর্তে আমাদের আরও দৃ property় সম্পত্তি প্রয়োজন যে "প্রতিটি প্রান্তটি রয়েছে একটি ত্রিভুজের মধ্যে (দৈর্ঘ্যের চক্র 3) "। (দ্রষ্টব্য যে এটি ন্যূনতম চের্ডাল গ্রাফ সমাপ্তির সমস্যার সাথে সমান নয় )) $G'$

প্রাক্তনটিকে সহজেই দ্বিতীয়টির সাধারণীকরণ হিসাবে দেখা যায়, তবে এটি এ পর্যন্ত প্রমাণ করার জন্য আমার সমস্ত প্রচেষ্টা ব্যর্থ হয়েছিল। কেউ কি পয়েন্টার / রেফারেন্স / ইত্যাদি নিয়ে আসতে পারে?

— গাবর রেটওয়ারি
সূত্র

সমস্যাটি নিখুঁত গ্রাফগুলির সাথে সম্পর্কিত বলে মনে হয় যা নিখুঁত হয় যদি কোনও বিজোড় (অ্যান্টি) গর্ত থাকে (কমপক্ষে দৈর্ঘ্যের কমপক্ষে দৈর্ঘ্য 5) [উইকিপিডিয়ায় আরও]। সুতরাং প্রস্তাবিত হতে পারে আপনি নিখুঁত গ্রাফগুলিতে প্রশ্নের শর্তে প্রশ্নটিকে সংশোধন করার চেষ্টা করছেন।

— vzn

@ ভিজেএন: আমি নিশ্চিত নই যে এই শক্তিশালী উপপাদ্যটি এখানে কোনও উপকারে আসতে পারে।

— ডোমোটরপ

আমরা কি পি-তে সিদ্ধান্ত নিতে পারি যে জি এর প্রতিটি প্রান্তটি একটি জালবিহীন বিজোড় চক্রের মধ্যে রয়েছে কিনা? আমার ধারণা এটি সম্ভব, তবে কীভাবে তা দেখছি না।

— domotorp

ঠিক আছে, আমাদের এখন দুটি সমস্যা আছে । খুব সহজেই, পি-তে আমাদের একটি সিদ্ধান্ত নেওয়া উচিত যদি আমরা প্রতিটি কিনারাটি নির্লজ্জ বিজোড় চক্রের মধ্যে থাকে কিনা তা নির্ধারণ করতে পারি। আমি একটি রেফারেন্স পেয়েছি , তাতে উল্লেখ করে যে প্রশ্নগুলি "কোনও গ্রাফের মধ্যে তিনটি চেয়ে বেশি দৈর্ঘ্যের প্ররোচিত বিজোড় চক্র থাকে যা নির্ধারিত প্রান্তের মধ্য দিয়ে যায়?" এবং "গ্রাফটিতে দুটি নির্ধারিত শীর্ষ কোণের মধ্যে কোনও প্ররোচিত বিজোড় পথ থাকে?" এনপি-সম্পূর্ণ, তবে এগুলি আমাদের কেস পুরোপুরি নিষ্পত্তি করে না। এটি দেখা দিতে পারে যে আসল সমস্যাটি এনপিতে নেই তবে এখনও এনপি-হার্ড হতে পারে।

— গ্যাবর রেটওয়ারি

আপনি কি আপনার কাগজের কোন অংশটি উপরের সমস্যাটি সংজ্ঞায়িত করতে পারেন এবং কাগজটিতে কোন থিমটি আপনি উল্লেখ করছেন। ("পরিবর্তিত সংস্করণ প্রমানিত এনপি সম্পূর্ণ")

— ভিজএন

আমরা প্রমাণ যে সমস্যা এমনকি তাদের সিদ্ধান্ত ফর্ম, অর্থাত 'থেকে এন পি-কঠিন' ইনপুট গ্রাফ আছে কি নিম্নলিখিত সমস্যা থেকে হ্রাস দ্বারা ইতিমধ্যে একটি chordless অদ্ভুতদর্শন চক্র সমাপ্তির? '': $G$

সমস্যা পি : একটি গ্রাফ এবং একটি প্রান্ত , সেখানে কি মধ্য দিয়ে 3 এর চেয়ে বেশি দৈর্ঘ্যের একটি নির্লজ্জ বিজোড় চক্র রয়েছে ? $G$ $e\in E(G)$ $e$

এই ধরণের সমস্যাটি এনপি-হার্ড হিসাবে পরিচিত হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে '' নক্ষত্রের মধ্য দিয়ে যাওয়ার মতো কোর্ডলেস এমনকি চক্রগুলি সনাক্ত করে '' আপনার একটি মন্তব্যে দেওয়া রেফারেন্সে যা এবং দিয়ে অনুচ্ছেদে 3 এর পূর্বে অনুচ্ছেদে বর্ণিত হয়েছে : $p=0$ $q=2$

একপাশে হিসাবে, এবং যথেচ্ছ স্থির পূর্ণসংখ্যার হতে দিন। নিম্নলিখিত সমস্যাগুলি দ্বারা NP-সম্পূর্ণ: একটি গ্রাফ দেয় একটি প্রান্তবিন্দু নির্ধারিত মাধ্যমে একটি প্ররোচক চক্র ধারণ , দৈর্ঘ্য (গেলিক ভাষার )? ... $q>1$ $p\ge 0$ $G$ $u$ $p$ $q$

(এখানে কার্পের হ্রাস হতে পারে, তবে আমরা যদি কুকটিকে অনুমতি দিই তবে নীচের হ্রাসটি বিবেচনা করুন: প্রদত্ত ডিগ্রি ডি নোডকে যথাযথ বহির্গামী প্রান্তগুলির সাথে মাপের ডি এর একটি সম্পূর্ণ উপগ্রহে স্থান করে দিন Then তারপরে সম্পূর্ণ গ্রাফের প্রতিটি প্রান্তের জন্য আমরা জিজ্ঞাসা করতে পারি সমস্যাটি সমাধান করে এমন অরাকলাল। নোট করুন যে প্রদত্ত নোডের মধ্য দিয়ে একটি কর্ডলেস এমনকি চক্র সম্পূর্ণ গ্রাফের এক প্রান্তের মধ্য দিয়ে 3 টিরও বেশি পাসের দৈর্ঘ্যের কর্ডলেস বিজোড় চক্রের সাথে মিলে যায়))

এখন মূল হ্রাস জন্য। সমস্যা পি এর একটি উদাহরণ দেওয়া, প্রথমে আমরা সনাক্ত করব যে মধ্য দিয়ে কোনও ত্রিভুজ রয়েছে কিনা ; যদি তা হয় তবে সাথে একটি ত্রিভুজ গঠনের প্রতিটি নোড মুছুন । লক্ষ্য করুন মোছার নোড সঙ্গে একটি ত্রিভুজ গঠন করে যে মাধ্যমে ক্ষণস্থায়ী কোনো chordless বিজোড় চক্র সরানোর করা হবে না (chordless সম্পত্তি দ্বারা)। $e$ $e$ $e$ $e$

এর পরে, প্রতিটি প্রান্ত জন্য ছাড়া অন্য আমরা একটি অক্জিলিয়ারী নোড যোগ এবং দুই প্রান্ত এবং । পালন যে নতুন গ্রাফ নিম্নলিখিত সম্পত্তি রয়েছে: $f$ $e=(u,v)$ $v_f$ $(v_f,u)$ $(v_f,v)$ $G'$

3 চেয়ে দৈর্ঘ্য বৃহত্তর একটি chordless বিজোড় চক্র মাধ্যমে ক্ষণস্থায়ী হয়েছে যদি এবং কেবল যদি একটি chordless অদ্ভুতদর্শন চক্র সমাপ্তির হয়। $G$ $e$ $G'$

শুধুমাত্র যদি দিক, এটি মধ্যে প্রান্ত বিভিন্ন ধরনের বিবেচনা করে প্রমানিত হতে পারে । বাদে প্রতিটি প্রান্ত (নতুন যুক্ত হওয়া প্রান্তগুলি সহ) কমপক্ষে একটি ত্রিভুজের মধ্যে থাকবে (যার মধ্যে সহায়ক নোড রয়েছে); এবং একটি chordless বিজোড় চক্র থাকবে যেহেতু একটি chordless বিজোড় চক্র মাধ্যমে ক্ষণস্থায়ী হয় মধ্যে , এবং চক্র নোড-মোছার প্রক্রিয়ার সময় মুছে ফেলা না হয়। $G'$ $e$ $e$ $G′$ $e$ $G$

যদি দিকের জন্য, যেহেতু ব্যতীত অন্যান্য প্রান্তগুলি অবশ্যই কমপক্ষে একটি ত্রিভুজের মধ্যে থাকে, আমাদের কেবল প্রান্ত নিয়ে চিন্তা করতে হবে । একটি chordless বিজোড় চক্র মাধ্যমে ক্ষণস্থায়ী নেই মধ্যে ( একটি chordless বিজোড় চক্র সমাপ্তির যায়)। চক্রের নির্মাণ দ্বারা দৈর্ঘ্য 3 থাকতে পারে না এবং যেহেতু চক্র কোন অক্জিলিয়ারী নোড (chordless সম্পত্তি দ্বারা) থাকতে পারে না, এটা গ্রাফ হবে হিসাবে ভাল। সুতরাং প্রমাণ সম্পূর্ণ। $e$ $e$ $e$ $G'$ $G'$ $G'$ $G$

— হিসিয়েন-চিহ চাং 張顯之
সূত্র

হ্রাস উভয়ই অনুসরণ করে আমার সমস্যা হয়। প্রথম হ্রাসে, প্রদত্ত নোড ভি এর ডিগ্রি থাকলে, 5 বলুন, হ্রাসের পরে এটি কে_5 হয়ে যায় এবং এই কে_ 5 এর মধ্যে একটি বিজোড় দৈর্ঘ্যের চক্র থাকে তবে এটি ভি সমেত একটি সম-দৈর্ঘ্যের চক্রের সাথে সামঞ্জস্য করে না In মূল হ্রাস, ধরুন যে জি = (ভি, ই) যেখানে ভি = {1,2,3,4,5}, ই = {12,23,34,45,15,35।, এবং ই = 34। জি এর দৈর্ঘ্য 5 এর একটি চক্র রয়েছে যা ই এর মধ্য দিয়ে যায়, তবে G 'এ প্রান্ত 34 একটি সেতু এবং কোনও বিজোড় চক্রের সাথে সম্পর্কিত নয়, যদি আমি আপনার হ্রাসের সংজ্ঞাটি সঠিকভাবে বুঝতে পারি।

— সোসোশি ইতো

@ শুয়োশি: আমি আপনার বক্তব্যটি দেখছি। প্রবলেম পিতে আমাদের বিজোড় চক্রটি কর্ডলেস হওয়ার জন্য প্রয়োগ করা উচিত। অতএব কোন সম্পূর্ণ গ্রাফ chordless বিজোড় দৈর্ঘ্যের চক্র ধারণ করে না এবং কোন chordless বিজোড় দৈর্ঘ্যের চক্র মাধ্যমে ক্ষণস্থায়ী জন্য

, কোন মাধ্যমে ক্ষণস্থায়ী ত্রিভুজ হয়

যে চক্র উপর প্রান্ত ব্যবহার করে। আমি উত্তর আপডেট করব।

e

$e$

e

$e$

— হিসিয়েন-চিহ চাং 之 r

@ শিয়েন-ChihChang張顯之কি প্রধান হ্রাস সংক্রান্ত দ্বিতীয় বিন্দু সম্পর্কে, যে যদি আমরা অসতর্কতাবশত "প্রত্যেক নোড যে ফর্ম একটি ত্রিভুজ সঙ্গে মুছতে

আমরা বৈধ chordless অদ্ভুতদর্শন চক্র সরানোর শেষ হতে পারে"

? এবং আরেকটি প্রশ্ন: মূল রেফারেন্স "chordless detecting জন্য দ্বারা NP-সম্পূর্ণতার প্রমাণ বিজোড় একটি প্রদত্ত নোড মাধ্যমে ক্ষণস্থায়ী -cycles", কিন্তু আপনি "সনাক্ত chordless ব্যবহৃত এমনকি ফর্ম -cycles"। আপনি কি নীরবে নিজের জন্য প্রমাণ করেছেন যে প্রাক্তনটি পরবর্তীকালের (যা মোটামুটি প্রশংসনীয় বলে মনে হয়) বোঝায়?

e

$e$

G^{'}

$G'$

— গ্যাবর রেটওয়ারি

@ হিসিয়েন-চিহচ্যাং 之 any: যাইহোক: যেহেতু অনুগ্রহটি শীঘ্রই শেষ হবে এবং আমি আমার কম্পিউটার থেকে দূরে থাকব, তাই আমি আপনাকে এখন দাম দিয়ে পুরষ্কার দেব। আপনার উত্তরের জন্য আপনাকে অনেক ধন্যবাদ, এটি সত্যই আমাকে নতুন উপায়ে সমস্যাটি সম্পর্কে ভাবতে সহায়তা করেছে। আপনি যদি পরে ফিরে আসতে পারেন এবং উপরের সমস্যাগুলি পরিষ্কার করতে পারেন তবে আমি সবচেয়ে কৃতজ্ঞ হব।

— গ্যাবর রেটওয়ারি

@Gabor: প্রশ্ন 1, নোড মোছার একটি ত্রিভুজ ফর্ম যে

মাধ্যমে ক্ষণস্থায়ী কোনো chordless চক্র সরানোর করা হবে না

মধ্যে

(chordless সম্পত্তি দ্বারা)। এটি অন্য কিছু কর্ডলেস চক্রকে ধ্বংস করতে পারে, তবে যেহেতু কেবলমাত্র

-কে কর্ডলেস বিজোড়-চক্র সমাপ্তির প্রয়োজন, তাই

ব্যতীত অন্য প্রতিটি প্রান্তটি অন্তত ত্রিভুজে থাকবে (যার মধ্যে সহায়ক নোড রয়েছে ); এবং

একটি chordless বিজোড় চক্র থাকবে

iff একটা chordless বিজোড় চক্র মাধ্যমে ক্ষণস্থায়ী হয়

মধ্যে

।

e

$e$

e

$e$

G^{'}

$G'$

G^{'}

$G'$

e

$e$

e

$e$

G^{'}

$G'$

e

$e$

G

$G$

— Hsien-Chhh চ্যাং 之 r