বিচ্ছিন্ন পূর্ণসংখ্যার লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যার সমাধান সম্পর্কে কী জানা যায়?

Question

আমার যদি লিনিয়ার সীমাবদ্ধতার একটি সেট থাকে যাতে প্রতিটি প্রতিবন্ধে সর্বাধিক (বলুন) 4 ভেরিয়েবল থাকে (সমস্ত ননজিগেটভ এবং and 0,1} সহগ সহ একটি ভেরিয়েবল বাদে একটি -1 সহগ থাকতে পারে), সমাধান সম্পর্কে কী জানা যায় স্থান? ভেরিয়েবলের সংখ্যা এবং সীমাবদ্ধতার সংখ্যা, এবং প্রতি ভেরিয়েবলের সংখ্যার ফাংশন হিসাবে, উদ্দেশ্যগত কার্যের ন্যূনতমতম কত ছোট হতে পারে তা জানার চেয়ে আমি একটি দক্ষ সমাধানের সাথে (তবে যদি এটি পরিচিত হয় তবে তা চিহ্নিত করুন) বাধ্যতা।

আরও দৃ concrete়ভাবে, প্রোগ্রামটি এরকম কিছু

টি কমান
  বিষয়
সব কথা, x_i একটি ইতিবাচক পূর্ণসংখ্যা
X1 + + x2 + + X3 - টি <0
X1 + + X4 + + X5 - টি <0
...
X3 + + X6 - টি ≥ 0
X1 + + x2 + + X7 - টি ≥ 0
...

যদি একটি কংক্রিট প্রশ্নের প্রয়োজন হয়, তবে কী ক্ষেত্রে ন্যূনতম সমাধান বিচ্ছুরতার উপর নির্ভর করে O () এর ধ্রুবক সহ t <= O (পরিবর্তনশীল সর্বাধিক {#, সীমাবদ্ধতার}) মান্য করে? তবে উত্তরটি যদি না হয় তবে এ জাতীয় বিষয়ে আলোচনার জন্য আমি কী ধরণের পাঠ্যপুস্তক বা কাগজ অধ্যয়ন করতে আগ্রহী তা জানতে আগ্রহী, এবং যদি এই ধরণের বিষয়ে উত্সর্গীকৃত অধ্যয়নের কোনও ক্ষেত্র থাকে তবে আমি কেবল জানি না শর্তাবলী অনুসন্ধান করতে। ধন্যবাদ.

আপডেট: আরও প্রতিবিম্বের সাথে (এবং আইএলপিতে 3SAT না বরং সহজ হ্রাসের মাধ্যমে চিন্তাভাবনা, যা তিনটি ভেরিয়েবলের সীমাবদ্ধতা ব্যবহার করে) আমি বুঝতে পারি যে সহগের সমস্যাটি সমালোচনামূলক (যদি কোনও দক্ষ অ্যালগরিদম হতে চলেছে)। আরও স্পষ্টভাবে, সমস্ত x_i ভেরিয়েবলের 0 বা 1 সহগ রয়েছে (যে কোনও একটি সীমাবদ্ধতায় সর্বাধিক তিন 1 সহগ সহ), এবং সমস্ত টি ভেরিয়েবলের -1 সহগ আছে এবং সমস্ত তুলনাটি বামে ভেরিয়েবল এবং ডানদিকে 0 থাকে। আমি পরিষ্কার করতে উপরের উদাহরণটি আপডেট করেছি।

Comments

আপনি কি আপনার প্রশ্নের শব্দটিকে আরও স্পষ্ট করে বলতে পারেন? ভেরিয়েবল টি হ'ল negativeণাত্মক সহগ হিসাবে গণনা করা হচ্ছে কিনা তা সম্পর্কে আমি নিশ্চিত।

— চন্দ্র চেকুরি

হ্যাঁ, টি হ'ল negativeণাত্মক সহগ সহ চলক, যদি সমস্ত ভেরিয়েবলগুলি বাম পাশে থাকা প্রয়োজন। অথবা, যদি আপনি চান তবে সমস্ত সহগ {0,1 are তবে সমস্ত x_i বাম দিকে প্রদর্শিত হবে এবং টি প্রতিটি প্রতিবন্ধকের ডানদিকে প্রদর্শিত হবে।

— ডেভ ডটি

আপনার সকলের জন্য আমার x_i ≥ 1 সীমাবদ্ধতা রয়েছে, তবে আপনারও কি সেই ≥ 1 টি দরকার?

— আনন্দ কুলকার্নি

স্পষ্টতই নয়, তবে যেহেতু x_i + ... <t ফর্মের সীমাবদ্ধতা রয়েছে, তাই টি> = 1 প্রয়োগ করা হবে।

— ডেভ ডতি

আপনি ডি। চক্রবর্তী এবং নিজে dx.doi.org/10.1007/s00453-010-9431-z (এটি আরএক্সিবতেও আছেন ) দ্বারা একটি কাগজ পরীক্ষা করতে চাইতে পারেন যেখানে স্পার্স পূর্ণসংখ্যার প্রোগ্রামিংয়ের সান্নিধ্যতার উপর আমরা জরিপটি এবং ফলাফলগুলি উন্নত করে থাকি, কিছু যার তারপর এন বানসাল এট (দ্বারা উন্নত ছিল springerlink.com/content/e705157852700g23 বা arXiv)

— daveagp

Answer 1

এর উত্তর (সমাধানকে সীমাবদ্ধভাবে সীমাবদ্ধ করার বিষয়ে অন্তত কংক্রিট প্রশ্নের কাছে) কোনও উত্তর নেই। এটি নিম্নলিখিত কাগজের অংশ: http://arxiv.org/abs/1011.3493 । উপপাদ্য 5.1 এই প্রশ্নের অনুপ্রেরণা ছিল।

প্রতিরূপ উদাহরণটি হ'ল:

বেস কেস:

a_1 '+ বি_1' - টি ≥ 0
a_1 '' + b_1 '' - t ≥ 0
a_1 + b_1 '- t ≤ -1
a_1 '+ বি_1' '- টি ≤ -1

পুনরাবৃত্তির ক্ষেত্রে:

a_n '+ b_n' + a_ {n-1} - t ≥ 0
a_n '' + b_n '' + a_ {n-1} - t ≥ 0
a_n + b_n '+ a_ {n-1}' '- t ≤ -1
a_n '+ b_n' + a_ {n-1} '' - t ≤ -1

পাশাপাশি তাদের সবকেই ননজেক্টিভ করতে হবে।

আপনি আনয়ন দ্বারা প্রমাণ করতে পারেন যে কোনও আসল সমাধান অবশ্যই a_n ''> = a_n + 2 ^ n সন্তুষ্ট করতে পারে। আমরা "<0" -সাম্যগুলিকে "≤ -1" তে পরিবর্তন করি কারণ কোনও পূর্ণসংখ্যার সমাধান "0 -1" সন্তুষ্ট করে যদি এবং কেবল এটি "<0" সন্তুষ্ট হয়।

সুতরাং, নৈতিকতাটি হল এই ফর্মটির n বৈষম্যগুলির মধ্যে এমন সম্পত্তি থাকতে পারে যা সমস্ত পূর্ণসংখ্যার সমাধানগুলিতে কমপক্ষে একটি কম পূর্ণসংখ্যক হয় এনগুলিতে, অবশ্যই আমরা মূলত সন্দেহ করি তেমন রৈখিকভাবে আবদ্ধ নয়।

Answer 2

যদি সহগ ম্যাট্রিক্স সম্পূর্ণরূপে অবিস্মরণীয় হয় , তবে সাধারণ রৈখিক প্রোগ্রামিংয়ের মাধ্যমে একটি কার্যকর সমাধান বিদ্যমান। এটি যে কোনও আইএলপি রাখে, কেবল অল্প অল্প সংখ্যকই - যদিও আপনি নিজের মতো বিচ্ছিন্ন আইএলপি-র জন্য এই সম্পত্তিটি কাজে লাগাতে পারবেন এমন সম্ভাবনা বেশি।

আমি সন্দেহ করি যে আপনি এটি ইতিমধ্যে জেনে থাকতে পারেন, সুতরাং আমাকে চেষ্টা করে দেখুন এবং আরও ভাল উত্তর দিন। স্পষ্টতাগুলি খুব গভীরভাবে চিন্তা করার আগে আপনার কংক্রিট প্রশ্নের উত্তর "হ্যাঁ", একটি সীমাবদ্ধ রয়েছে। এম ভেরিয়েবলগুলিতে এন অসমতার ছেদ একটি পলিটোপ সংজ্ঞায়িত করে। যেহেতু সহগগুলি এত ভাল আচরণ করে, আমরা এর অঙ্কের সামঞ্জস্যের মাত্রাটির উপর একটি সামান্য অঙ্কগুলি সহ একটি উপরের বাউন্ডের কাজ করতে পারি। এটি আপনাকে পলিটপের অভ্যন্তরে যে কোনও পূর্ণসংখ্যার পয়েন্টের মাত্রায় খুব সহজে উপরের দিকে আবদ্ধ করে তোলে এবং এভাবে আপনার সংখ্যার প্রোগ্রামের সমাধানে। আপনি কি ইতিমধ্যে এটি চেষ্টা করেছেন?

বিশেষত আপনার সমস্যার কাঠামো বেশ খানিকটা রয়েছে (আমি কৌতূহলী, কোথা থেকে এসেছে?) তাই আমি আত্মবিশ্বাসী যে আমরা যদি আরও আলোচনা করি তবে আমরা এর থেকে আরও বেশি সূক্ষ্ম হতে পারি।

এখন, এই বিষয় সম্পর্কিত তথ্য সন্ধান সম্পর্কে আরও সাধারণ প্রশ্নের জন্য। এটি এমন এক ধরণের সমস্যা যা traditionতিহ্যগতভাবে রৈখিক এবং পূর্ণসংখ্যা প্রোগ্রামিংয়ের তত্ত্বে পড়ে, এটি গাণিতিক প্রোগ্রামিংয়ের একটি উপসেট।

এটি গবেষণার বেশ সক্রিয় ক্ষেত্র, তবে কম্পিউটার বিজ্ঞানের পরিবর্তে "অপ্টিমাইজেশন" এবং "গাণিতিক প্রোগ্রামিং" শিরোনামের অধীনে অপারেশন গবেষণা বিভাগগুলিতে বেশিরভাগ কাজ ঘটে। বিষয়টি কভার করার জন্য অনেকগুলি পাঠ্যপুস্তক রয়েছে। আপনি উলসির দ্বারা বিবেচিত হতে পারেন, যা আমরা বার্কলেতে ব্যবহার করি। এখানে পূর্ণসংখ্যা এবং রৈখিক প্রোগ্রামিং সহ গ্রিনবার্গের কল্পকাহিনী এবং প্রতিবাদের উদাহরণগুলির একটি নিখরচায় তালিকা দেওয়া আছে , যা আপনাকে এই জাতীয় সমস্যা বিশ্লেষণে কী কী জিনিস বিবেচনা করে তা বোঝাতে পারে। Wolsey ঘন, কিন্তু একটি যুক্তিসঙ্গতভাবে ভাল জায়গা শুরু করার জন্য - আইএলপি বিশ্লেষণ এবং দক্ষতার বিন্দুতে সমস্যা সূত্রগুলি উন্নত করার জন্য কৌশলগুলির একটি বীভ রয়েছে।

আমাকে যুক্ত করতে দাও যে আপনি যদি আমার পরামর্শ মতো নিষ্প্রভ পদ্ধতির অনুসরণ করেন তবে পলিটোপের জ্যামিতি বিশ্লেষণ করে অনুসন্ধানের শর্তাদি বহুভুজের কোণগুলির স্থানাঙ্কের আকারের সাথে সীমাবদ্ধ থাকবে। এই পদগুলি পলিটপগুলি সম্পর্কে গাণিতিক সাহিত্যে আরও প্রায়ই আসে।

Comments

@ ডেভ ডটি: অপারেশন গবেষণা বা- এক্সচেঞ্জ.কম এর জন্য একটি স্ট্যাকেক্সচেঞ্জ সাইট রয়েছে ।

— এম আলাগান

Answer 3

আপনি আগ্রহের এই অ্যাকাউন্টটি পেতে পারেন:

http://en.wikipedia.org/wiki/Polyhedral_combinatorics

এবং বিশেষত জি জাইগেলারের নিবন্ধ:

0-1 পলিটোপে বক্তৃতা

মধ্যে:

কালাই, গিল; জিগেলার, গন্টার এম (2000), পলিটোপস: সংযুক্তি ও গণনা, ডিএমভি সেমিনার, 29, বীরখিউসার, আইএসবিএন 9783764363512।

Comments

ধন্যবাদ! এটি দেখতে এমন ধরণের ক্ষেত্রের মতো যা এই ধরণের ফলাফলের অধ্যয়ন করবে।

— ডেভ ডটি