গ্রাফগুলি যেখানে ভার্টেক্স রঙিন পিতে রয়েছে তবে স্বতন্ত্র সেটটি এনপি সম্পূর্ণ

Question

গ্রাফগুলির এমন কোনও শ্রেণির উদাহরণ রয়েছে যার জন্য ভার্টেক্স বর্ণের সমস্যাটি পিতে রয়েছে তবে স্বতন্ত্র সেটটি কি এনপি সম্পূর্ণ?

Comments

এমন একটি ধারণা রয়েছে যার মধ্যে উভয়ের মধ্যে একটির গণনা দৃশ্যত শক্তভাবে মিলিত হয়, দেখুন লভাস স্যান্ডউইচ থম ইত্যাদি

— ভিজেএন

Answer 1

সম্ভবত একটি আরও সাধারণ বিবৃতি (একটি সহজ প্রমাণ সহ) হ'ল নিম্নলিখিত সমস্যাটি ইতিমধ্যে এনপি-সম্পূর্ণ:

ইনপুট: একটি গ্রাফ জি, একটি 3-রঙের জি, একটি পূর্ণসংখ্যা কে।

প্রশ্ন: জি এর কি আকারের স্বতন্ত্র সেট আছে?

এটি স্বাধীন সেট থেকে হ্রাস দ্বারা প্রমাণিত হতে পারে। লক্ষ্য করুন যে আমরা যদি গ্রাফ জি গ্রহণ করি, কিছু প্রান্তটি বাছাই করি এবং দু'বার উপ-বিভাগ করি (যেমন প্রান্তটি replace u, v a u, x, y, v এর মাধ্যমে প্রতিস্থাপন করি যেখানে x এবং y এর দুটি ডিগ্রি থাকে) তবে G এর স্বতন্ত্র সংখ্যা ঠিক এক দ্বারা বৃদ্ধি। (আপনি জি বা স্বতন্ত্র যে কোনও সেটে এক্স বা y এর মধ্যে একটি যোগ করতে পারেন, এবং বিপরীতটিও কঠিন নয়)) সুতরাং এম প্রান্ত সহ গ্রাফের জি আকারের একটি স্বতন্ত্র সেট থাকলে প্রশ্নটি সমান? জি ', যা জি'র সমস্ত প্রান্ত দু'বার ভাগ করে দেওয়ার ফলাফল, তার আকারের কে + মি একটি স্বতন্ত্র সেট রয়েছে কিনা। তবে মনে রাখবেন যে, জি 'কে তিনটি স্বতন্ত্র সেটে বিভক্ত করে G' এর 3-রঙিন পাওয়া সহজ: একটিতে উল্লম্ব চিহ্ন রয়েছে যা জি-তেও ছিল এবং অন্যান্য দুটি শ্রেণিতে প্রতিটি দু'জনের মধ্যে একটির একটি রয়েছে " subdivider " প্রতিটি প্রান্তের জন্য উল্লম্ব। সুতরাং এই পদ্ধতিটি একটি 3 টি বর্ণের সাথে একটি গ্রাফ জি তৈরি করে, যেমন এর স্বাধীনতার নম্বর গণনা করে আপনি মূল গ্রাফের স্বাধীনতার নম্বর দেয়।

Comments

এই হ্রাস তাত্ক্ষণিকভাবে ত্রিভুজ মুক্ত প্ল্যানার গ্রাফগুলিতে স্বতন্ত্র সেটের কঠোরতা প্রমাণ করে, আমার উত্তর থেকে, পাওয়া-নেওয়া কঠিন কাগজপত্রের উল্লেখ ছাড়াই।

— ডেভিড এপস্টিন

Answer 2

সম্ভবত উয়েহার দ্বারা "3-সংযুক্ত কিউবিক প্ল্যানার গ্রাফ এবং তাদের অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যাগুলি" রেফারেন্সটি প্রমাণ করেছে যে ত্রিভুজ-মুক্ত প্ল্যানার গ্রাফের জন্যও স্বাধীন সেটটি এনপি-সম্পূর্ণ। তবে গ্রাটজচের উপপাদ্য অনুসারে এগুলি সর্বদা 3-রঙিন থাকে এবং 3 এর চেয়ে কম সংখ্যক রঙের জন্য পরীক্ষা করা কোনও গ্রাফে সহজ, তাই তারা পিতে অনুকূল রঙিন হতে পারে so

চেনাশোনা গ্রাফগুলির বিপরীত সম্পত্তি রয়েছে: তাদের জন্য রঙিন এনপি সম্পূর্ণ তবে স্বতন্ত্র সেট সমস্যাটি সহজ।

Comments

আপনি কি বৃত্তের গ্রাফগুলি সম্পর্কে নিশ্চিত? উইকি পৃষ্ঠাটি জানাচ্ছে "এটি একটি বৃত্ত গ্রাফ বর্ণীয় সংখ্যা ইচ্ছামত বড় হতে পারে, এবং একটি বৃত্ত গ্রাফ বর্ণীয় সংখ্যা নির্ধারণের দ্বারা NP-সম্পূর্ণ হয়।"

— অঙ্কুর

ওফফ, পিছনে পেয়েছি। ঠিক করবে.

— ডেভিড এপস্টিন

ধন্যবাদ। এটি অন্যান্য উদাহরণ পেতে দুর্দান্ত হবে। উহারার কাগজটি কিছুটা বিচ্ছিন্ন বলে মনে হয়; এটির উদ্ধৃতি দেওয়ার মতো আরও অনেকগুলি কাগজপত্র নেই। আমি এটি নিশ্চিত নই যে এটি সমমনা পর্যালোচনা ও প্রকাশিত হয়েছে কিনা।

— অঙ্কুর

Answer 3

এটি কোনও নতুন উত্তর নয় বরং ত্রিভুজ-মুক্ত কিউবিক প্ল্যানার গ্রাফগুলিতে স্বতন্ত্র সেটের কঠোরতার জন্য প্রথম এবং সহজেই প্রাপ্ত রেফারেন্স: ওভেন মরফির নোট, বড় ঘেরের সাথে গ্রাফগুলিতে স্বতন্ত্র সেটগুলি গণনা , বিচ্ছিন্ন প্রয়োগিত গণিত 35 (1992) 167-170 এটি প্রমাণ করে

$n$$cn^k$$c>0$$k, 0\le k < 1$

$c$$c>0$

@ বার্টজ্যানসন দ্বারা নির্দেশিত হ্রাসটি ম্যারফির তার উপপাদ্যের প্রমাণের একটি বিশেষ মামলা।

বিপরীত বৈশিষ্ট্যের জন্য লাইন গ্রাফগুলি @ ডেভিডপেসটিন দ্বারা সম্বোধন করা বৃত্তের গ্রাফের চেয়ে বেশি প্রাকৃতিক বলে মনে হচ্ছে। লাইন গ্রাফের জন্য, রঙিং এনপি-সম্পূর্ণ তবে স্বতন্ত্র সেটটি সহজ easy

Comments

বিপরীত সম্পত্তির জন্য আরও একটি আকর্ষণীয় উদাহরণ হ'ল ভালভাবে coveredাকা গ্রাফগুলির শ্রেণি ( এখানে এবং এখানে দেখুন )। তাদের জন্য, রঙিন কঠিন তবে ইন্ডিপেন্ডেন্ট সেটটি তুচ্ছ সহজ।

— ভিবি লে