দ্বৈত একজোড়া মোটামুটি চক্র কি গ্রাফকে পৃথক করে?

Question

দিন $G$ জেনাসের একটি প্রাচ্যযোগ্য কমপ্যাক্ট পৃষ্ঠে এম্বেড থাকা গ্রাফ হতে হবে $g$যাতে এম্বেডিং সেলুলার হয়। গ্রাফের দ্বৈত বিবেচনা করুন$G^*$। দিন$C_1$ এবং $C_2$ চক্র থেকে বিরত থাকুন $G^*$ যে একে অপরের homotopic এবং যাক $E_1$ এবং $E_2$ তাদের সংশ্লিষ্ট প্রান্ত সেট করুন $G$যথাক্রমে। কি$G \setminus (E_1 \cup E_2)$ একটি সংযোগ বিচ্ছিন্ন গ্রাফ?

Answer 1

হ্যাঁ. আমাকে লিখতে দিন$\Sigma$ যে পৃষ্ঠের জন্য $G$ এবং $G^*$ এম্বেড করা হয়।

কারণ চক্র $C_1$ এবং $C_2$ হোমোপিক হয়, তারা একই হয় $\mathbb{Z}_2$হোমোলজি ক্লাস। সুতরাং সংজ্ঞা দ্বারা, প্রতিসম পার্থক্য$C_1\oplus C_2$ মুখের কিছু উপসেটের মিলনের সীমানা $G^*$; মুখের এই ইউনিয়ন কল$U$। (আসলে, হয়$U$ বা এর পরিপূরক $\Sigma\setminus U$ অবশ্যই একটি বিঘ্ন হতে হবে, তবে এটি গুরুত্বপূর্ণ নয়))

কারণ $C_1$ এবং $C_2$ প্রতিচ্ছিন্নতা, প্রতিসম পার্থক্য $C_1\oplus C_2$ ইউনিয়নের সমান $C_1\cup C_2$। বিশেষত, আমাদের আছে$C_1\oplus C_2\ne \varnothing$, যা উভয়ই বোঝায় $U$ এবং এর পরিপূরক $\Sigma\setminus U$খালি নয়। অন্য কথায়, উপগ্রহ$\Sigma \setminus (C_1\cup C_2)$ সংযোগ বিচ্ছিন্ন

কোন পথ $G$ একটি পথ হিসাবে দেখা যেতে পারে $\Sigma$ যে এর শিখর এড়ায় $G^*$, এবং তদ্বিপরীত (হোমোপি পর্যন্ত)। সুতরাং, (গ্রাফ) উপাদান$G\setminus (E_1\cup E_2)$ এর (পৃষ্ঠ) উপাদানগুলির সাথে বাইজেক্টিকভাবে মিলিত হয় $\Sigma \setminus (C_1\cup C_2)$। আমরা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছি$G\setminus (E_1\cup E_2)$ সংযোগ বিচ্ছিন্ন

অনুমান যে $\Sigma$ প্রাচ্য কখনও কখনও ব্যবহৃত হয় না।

Comments

জেফ, আপনি কি আমাকে এমন একটি রেফারেন্সে নির্দেশ করতে পারেন যাতে এই ফলাফলটি রয়েছে?

দুঃখিত, না। তবে দুটি পর্যালোচনা যে হোমটোপিক অ-সংকোচযোগ্য চক্রটি একটি অ্যানিউলাসকে আবদ্ধ করে (যা আপনাকে সেখানে বেশিরভাগ পথে পায়) ডেভিড বিএ এপস্টেইনে প্রদর্শিত হয়। 2-ম্যানিফোল্ড এবং আইসোটোপিগুলিতে কার্ভগুলি অ্যাক্টা ম্যাথেমেটিকা 115: 83–107, 1966.

— জেফি